Модель Марковица с безрисковым активом

Задача Марковица - это задача формирования инвестиционного портфеля. В самом простом виде она звучит так: имеем N рисковых активов, хотим получить определенную ожидаемую доходность всего портфеля при минимальных рисках. Какие активы и в каком количестве нужно задействовать?
По формулам этой статьи я написала класс модели Марковица, которая умеет работать с безрисковым активом. Практически это значит, что она умеет уменьшать риски при сохранении той же ожидаемой доходности путем добавления к рисковым активам одного безрискового.

Формальная постановка задачи

Каждый рисковый актив характеризуется доходностью: $$r_j = \frac{S_j(1) - S_j(0)}{S_j(0)}$$ Здесь $S_j(t)$ - стоимость актива в момент времени $t$. Мы знаем начальную стоимость бумаги, но не знаем в момент времени $1$. Поэтому это случайная величина, и у нее есть матожидание и дисперсия.
В задаче мы хотим найти вектор $w$: $$w_j = \frac{N_j S_j(0)}{S_p(0)}, \ S_p(0) = \sum_{n=1}^{N}{N_nS_n(0)}$$ Здесь $N_j$ - число приобретенных бумаг j-го типа (может быть отрицательным, что означает короткую позицию).
Добавим сюда безрисковый актив и напишем формальную постановку задачи, которую решает моя модель: $$\displaystyle\min_w \hspace{1mm}\frac{1}{2}w^TVw$$ $$w^Te+(1-w^T\mathbb{I})r(w)=e_p$$ Здесь $r(w)= r_l$ или $r_b$ в зависимости от позиции безрискового актива (если $1 - w^T\mathbb{I} \geq 0$, то длинная, иначе короткая);
$V$ - ковариационная матрица, $e_p$ - ожидаемая доходность портфеля, которую мы хотим получить, $r_l$ и $r_b$ - ставки доходности безрискового актива в случае длинной и короткой позиций соответственно.

Возможности модели

Модель может не только находить оптимальные веса для заданной ожидаемой доходности портфеля, но и строить график решений в осях - его характеристиках:

Она также хранит промежуточные результаты и все точки касания\перелома, что может быть полезно для исследований.