Распространение волн в неоднородных дискретных средах

PDF-файл с аналитическим решением: ANALYTICAL EXPRESSIONS.

Код на Python для цепочек:

Код на Python для решёток:

Далее представлен краткий обзор результатов (численных экспериментов + аналитических выводов) и вопросы.

Содержание

• Случай нулевой и отрицательной жёсткости на границе двух цепочек

• Мысленный эксперимент. Волна падает на интерфейс двух решёток под углом

• Мониторинг энергий в системе

• Вопросы

• Наблюдения

• Заметки по коду

Случай нулевой и отрицательной жёсткости на границе двух цепочек

При нулевой жёсткости на границе волновой пакет отражается:

Мысленный эксперимент. Волна падает на интерфейс двух решёток под углом

Из дисперсионного соотношения:

Пусть волна падает на интерфейс под углом $\gamma=\pi/4$. Тогда проекции волнового вектора $k_1^x=k_1^y$.

Пусть выполняется закон синусов для преломления, тогда $k_1^y=k_2^y$. Индекс 1 - для падающей волны; индекс 2 - для проходящей.

Тогда для падающей волны дисперсионное соотношение запишется в виде:

$$ m_1\Omega^2=4C\left(\sin^2{\frac{k_1^x a}{2}+\sin^2{\frac{k_1^xa}{2}}}\right) $$

Для проходящей волны:

$$ m_2\Omega^2=4C\left(\sin^2{\frac{k_2^x a}{2}+\sin^2{\frac{k_1^xa}{2}}}\right) $$

Пусть $m_2=0.5m_1$. Тогда из последних двух равенств следует, что $k_2^x=0$.

Вывод. Волна, падающая под углом $\gamma=\pi/4$ не пройдёт через интерфейс, если $m_2\leqslant 0.5m_1$. Этот вывод не согласуется с компьютерным экспериментом.

Мониторинг энергий в системе

Полная энергия в системе сохраняется.

В однородной решётке при невысокой частоте (трансформация в эллипс):

При наличии интерфейса:

При наличии интерфейса под углом:

Для цепочек:

В однородной решётке при частоте, близкой к максимальной (трансформация в ромб с закруглёнными вершинами):

В однородной решётке при максимальной частоте:

Вопросы

• Почему со временем происходит закругление и расплытие волнового пакета в однородной решётке?

• По решению алгебраического уравнения для определения волнового числа $k$ из дисперсионного соотношения в случае распространения волны под углом $\gamma$ к оси $Ox$. Сейчас в коде решаю это уравнение численно. Вид уравнения относительно $k$:

$$ m\Omega^2=4C\left(\sin^2{\frac{ak\cos{\gamma}}{2}}+\sin^2{\frac{ak\sin{\gamma}}{2}}\right) $$

• Существуют ли углы, при которых волна полностью отражается или полностью проходит через границу двух решёток?

• При $k^x<\frac{\pi}{2a}$ и при $k^x>\frac{\pi}{2a}$ разное поведение волнового пакета, бегущего по однородной решётке?

• Почему строить скорости лучше, чем перемещения?

• В презентации: что значит резкий и плавный переходы? Постепенное изменение массы (или жёсткостей) на границе?

• Выражение для энергии пружины с отрицательной жёсткостью?

• Моделирование волны под углом к интерфейсу или интерфейс под углом к векторам решётки?

Наблюдения

• В решётке могут распространяться волны с большей частотой, чем в цепочке (так как есть возможность распространяться под углом к векторам решётки)

Заметки по коду

• Сделать возможность вывода на график (монитор энергий) значения с произвольным шагом по времени (сейчас дробные шаги могут выдавать ошибку)

---

---

LaTeX formulas are rendered by MathJax.

<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true } }); </script> <script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"> </script>