fmt5.tex

% arara: xelatex
\documentclass[11pt]{article} % размер шрифта

\usepackage{tikz} % картинки в tikz
\usepackage{microtype} % свешивание пунктуации

\usepackage{array} % для столбцов фиксированной ширины

\usepackage{indentfirst} % отступ в первом параграфе

\usepackage{multicol} % текст в несколько колонок
\usepackage{verbatim}

\graphicspath{{images/}} % путь к картинкам

\usepackage{sectsty} % для центрирования названий частей
\allsectionsfont{\centering} % приказываем центрировать все sections

\usepackage{amsmath, amssymb} % куча стандартных математических плюшек

\usepackage[top=2cm, left=1cm, right=1cm, bottom=1cm]{geometry} % размер текста на странице

\usepackage{lastpage} % чтобы узнать номер последней страницы

\usepackage{enumitem} % дополнительные плюшки для списков
%  например \begin{enumerate}[resume] позволяет продолжить нумерацию в новом списке
\usepackage{caption} % подписи к картинкам без плавающего окружения figure

\usepackage{circuitikz} % для рисовки электрических цепей

\usepackage{physics} 

\usepackage{fancyhdr} % весёлые колонтитулы
\pagestyle{empty}
%\lhead{ФМТ}
%\chead{}
%\rhead{КЛШ-2019}
%\lfoot{}
%\cfoot{}
%\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
%\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}



\usepackage{todonotes} % для вставки в документ заметок о том, что осталось сделать
% \todo{Здесь надо коэффициенты исправить}
% \missingfigure{Здесь будет картина Последний день Помпеи}
% команда \listoftodos — печатает все поставленные \todo'шки

\usepackage{booktabs} % красивые таблицы
% заповеди из документации:
% 1. Не используйте вертикальные линии
% 2. Не используйте двойные линии
% 3. Единицы измерения помещайте в шапку таблицы
% 4. Не сокращайте .1 вместо 0.1
% 5. Повторяющееся значение повторяйте, а не говорите "то же"

\usepackage{fontspec} % поддержка разных шрифтов
\usepackage{polyglossia} % поддержка разных языков

\setmainlanguage{russian}
\setotherlanguages{english}

\setmainfont{Linux Libertine O} % выбираем шрифт
% можно также попробовать Helvetica, Arial, Cambria и т.Д.

% чтобы использовать шрифт Linux Libertine на личном компе,
% его надо предварительно скачать по ссылке
% http://www.linuxlibertine.org/

\newfontfamily{\cyrillicfonttt}{Linux Libertine O}
% пояснение зачем нужно шаманство с \newfontfamily
% http://tex.stackexchange.com/questions/91507/

\AddEnumerateCounter{\asbuk}{\russian@alph}{щ} % для списков с русскими буквами
\setlist[enumerate, 2]{label=\asbuk*),ref=\asbuk*} % списки уровня 2 будут буквами а) б) ...

%% эконометрические и вероятностные сокращения
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand \hVar{\widehat{\Var}}
\let\P\relax
\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}}
\let\Re\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}


% делаем короче интервал в списках
\setlength{\itemsep}{0pt}
\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\parsep}{0pt}




\newcommand{\putlogo}{
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.25]{klshlogo.pdf} &
\raisebox{1cm}{
    {\Large\bf ФМТ тур-5}
}
\end{tabular}
\end{center}
}


\newcommand{\easymath}{
Зондер Даня для ловли рыбов сплёл верёвочную сетку размером 5 на 7 клеточек. 

Сколько максимум верёвочек можно перерезать, чтобы сетка не распалась на куски?

Разрез не может проходить через узел сетки. 
}

\newcommand{\easymathb}{
Зондер Даня для ловли рыбов сплёл верёвочную сетку размером 500 на 700 клеточек. 

Сколько максимум верёвочек можно перерезать, чтобы сетка не распалась на куски?

Разрез не может проходить через узел сетки. 
}


\newcommand{\soleasymath}{
Сетка состоит из $(n + 1) \cdot (k + 1) = nk + n + k + 1$ вершин. 
Резать веревочки можно до исчезновения циклов. При этом число вершин будет на 1 больше числа веревочек. 
Значит веревочек останется $nk + n + k$, а было $n(k+1) + k(n+1)= 2nk + n +k$. Удалить можно $nk$ веревочек. 
}



\newcommand{\hardmath}{
Прямоугольник со сторонами $24$ и $7$ вписан в окружность. Его вершины делят окружность на четыре дуги. 

Найди расстояния от середины одной из более длинных дуг до всех вершин прямоугольника.
}
\newcommand{\solhardmath}{
Находим диаметр окружности по теореме Пифагора как диагональ прямоугольника, получаем $D=25$. 
От центра большой дуги до ближайшей стороны, следовательно, $25/2 - 7/2 = 9$. 
Снова две теоремы Пифагора и получаем расстояния от центра дуги до ближайшей вершины $\sqrt{12^2 + 9^2}= 15$ и до дальней $\sqrt{(9+7)^2 + 12^2} = 20$.
}


\newcommand{\veryhardmath}{
Биссектрисы тупых углов $\angle B$ и $\angle C$ при основании трапеции $ABCD$ пересекаются на её большем основании $AD$. 
Высота трапеции равна $12$, а биссектрисы равны $15$ и $13$. 

Найди периметр трапеции.
}

\newcommand{\solveryhardmath}{
Биссектрисы отрезают от трапеции равнобедренные треугольники по краям. 

Обозначим точку пересечения биссектрис на основании $AD$ буквой $K$. Проведем перпендикуляр $KL$ на $BC$.
По Пифагору, $BL = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$, $CL = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$. 
Используя теорему синусов, $AB = AK = 12.5$, $CD = DK = 16.9$. 

Стороны: $AB = 12.5$, $CD=16.9$, $AD = 12.5 + 16.9 = 29.4$, $BC = 14$. Периметр: $72.8$.
}

\newcommand{\easyphys}{
Приближаясь к кофемобилю, Вова Колчин увидел в его плоском лобовом стекле Солнце. 
Под каким углом к горизонту наклонено стекло, если высота Солнца над горизонтом равна $18^\circ$? 

Отраженный от стекла луч попадает Вове в глаз горизонтально. 
Солнце, кофемобиль и Вова находятся в одной вертикальной плоскости.
}

\newcommand{\soleasyphys}{
$18^\circ/2= 9^\circ$, ответ равен дополняющему углу до прямого, $81^\circ$. 
}

\newcommand{\hardphys}{
Серёжа Ламзин нежно прижимает к стене рыбную котлету массой 5 кг, чтобы она не упала вниз. 
Коэффициент трения между котлетой и стеной равен $k=0.1$. 

Какой минимальной горизонтально направленной силы достаточно Серёже?
}
\newcommand{\solhardphys}{
На котлету действуют $mg$ — сила тяжести, $N$ — сила реакции опоры, $F$ — школьница, $kN$ — сила трения. 
В равновесии $N=F$, $kN=mg$. Отсюда, минимальная сила равна $F = mg/k = 50g$. Если $g=9.8$, то $490$ Н.
}


\newcommand{\veryhardphys}{
Из однородной проволоки сделана окружность сопротивлением 1 Ом. 
Из той же проволоки к окружности прикреплены два ортогональных проводника-диаметра,
соединенных в центре окружности. К концам одного диаметра присоединены две клеммы. 
Найди сопротивление между точками $A$ и $B$. 


\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
    \draw (0,0) circle (3);
    \draw (-3,0) -- (3,0);
    \draw (0,-3) -- (0,3);
    \draw[fill=black] (3,0) circle (0.07);
    \draw[fill=black] (0,0) circle (0.07);
    \draw[fill=black] (0,3) circle (0.07);
    \draw[fill=black] (-3,0) circle (0.07);
    \draw[fill=black] (0,-3) circle (0.07);
    \draw (3,0) node[anchor=west] {$B$};
    \draw (-3,0) node[anchor=east] {$A$};
\end{tikzpicture}
}

\newcommand{\solveryhardphys}{
Диаметр, перпендикулярный диаметру с клеммами, можно не учитывать в силу нулевой разницы потенциалов. 
Сопротивление диаметра в $\pi$ раз меньше сопротивления окружност и равно $1/\pi$.
Получаем три параллельных резистора $1/r = 1/(1/2) + 1/(1/2) + 1/(1/\pi) = 4 + \pi$ и $r=1/(4+\pi)$.

Конкретно в этой задаче за отсутствие размерности не штрафуем!
}


\begin{document}

\textbf{TOP SECRET! Сдать задачи после разбора!}

\begin{enumerate}
\item \easymath

\soleasymath
\item \hardmath

\solhardmath
\item \easyphys

\soleasyphys
\item \hardphys

\solhardphys
\end{enumerate}

Задачи для топ-3 столов:
\begin{enumerate}[resume]
\item \veryhardmath
\solveryhardmath
\item \veryhardphys
\solveryhardphys
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{TOP SECRET! Судейский экземпляр обычных столов!}

\begin{enumerate}
    \item \easymath 
    
    \soleasymath
    \item \hardmath 
    
    \solhardmath
    \item \easyphys 
    
    \soleasyphys
    \item \hardphys 
    
    \solhardphys
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{TOP SECRET! Судейский экземпляр top-3 столов!}

\begin{enumerate}
    \item \easymathb
    
    \soleasymath
    \item \veryhardmath 
    
    \solveryhardmath
    \item \hardphys 
    
    \solhardphys
    \item \veryhardphys 
    
    \solveryhardphys
\end{enumerate}


\newpage % школьный экземпляр обычных столов
\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \hardmath
    \item \easyphys
    \item \hardphys
\end{enumerate}

\vfill

\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \hardmath
    \item \easyphys
    \item \hardphys
\end{enumerate}

% \end{document} % если деления задач по столам нет

\newpage % школьный экземпляр top3 столов

\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymathb
    \item \veryhardmath
    \item \hardphys
    \item \veryhardphys
\end{enumerate}

\vfill

\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymathb
    \item \veryhardmath
    \item \hardphys
    \item \veryhardphys
\end{enumerate}


\end{document}



% ФМТ-финал

% задача про кузнечника и соломинку, 615 задачник степановой