fmt3.tex

% arara: xelatex
\documentclass[11pt]{article} % размер шрифта

\usepackage{tikz} % картинки в tikz
\usepackage{microtype} % свешивание пунктуации

\usepackage{array} % для столбцов фиксированной ширины

\usepackage{indentfirst} % отступ в первом параграфе

\usepackage{multicol} % текст в несколько колонок
\usepackage{verbatim}

\graphicspath{{images/}} % путь к картинкам

\usepackage{sectsty} % для центрирования названий частей
\allsectionsfont{\centering} % приказываем центрировать все sections

\usepackage{amsmath, amssymb} % куча стандартных математических плюшек

\usepackage[top=2cm, left=1cm, right=1cm, bottom=1cm]{geometry} % размер текста на странице

\usepackage{lastpage} % чтобы узнать номер последней страницы

\usepackage{enumitem} % дополнительные плюшки для списков
%  например \begin{enumerate}[resume] позволяет продолжить нумерацию в новом списке
\usepackage{caption} % подписи к картинкам без плавающего окружения figure

\usepackage{circuitikz} % для рисовки электрических цепей

\usepackage{physics} 

\usepackage{fancyhdr} % весёлые колонтитулы
\pagestyle{empty}
%\lhead{ФМТ}
%\chead{}
%\rhead{КЛШ-2019}
%\lfoot{}
%\cfoot{}
%\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
%\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}



\usepackage{todonotes} % для вставки в документ заметок о том, что осталось сделать
% \todo{Здесь надо коэффициенты исправить}
% \missingfigure{Здесь будет картина Последний день Помпеи}
% команда \listoftodos — печатает все поставленные \todo'шки

\usepackage{booktabs} % красивые таблицы
% заповеди из документации:
% 1. Не используйте вертикальные линии
% 2. Не используйте двойные линии
% 3. Единицы измерения помещайте в шапку таблицы
% 4. Не сокращайте .1 вместо 0.1
% 5. Повторяющееся значение повторяйте, а не говорите "то же"

\usepackage{fontspec} % поддержка разных шрифтов
\usepackage{polyglossia} % поддержка разных языков

\setmainlanguage{russian}
\setotherlanguages{english}

\setmainfont{Linux Libertine O} % выбираем шрифт
% можно также попробовать Helvetica, Arial, Cambria и т.Д.

% чтобы использовать шрифт Linux Libertine на личном компе,
% его надо предварительно скачать по ссылке
% http://www.linuxlibertine.org/

\newfontfamily{\cyrillicfonttt}{Linux Libertine O}
% пояснение зачем нужно шаманство с \newfontfamily
% http://tex.stackexchange.com/questions/91507/

\AddEnumerateCounter{\asbuk}{\russian@alph}{щ} % для списков с русскими буквами
\setlist[enumerate, 2]{label=\asbuk*),ref=\asbuk*} % списки уровня 2 будут буквами а) б) ...

%% эконометрические и вероятностные сокращения
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand \hVar{\widehat{\Var}}
\let\P\relax
\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}}
\let\Re\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}


% делаем короче интервал в списках
\setlength{\itemsep}{0pt}
\setlength{\parskip}{0pt}
\setlength{\parsep}{0pt}




\newcommand{\putlogo}{
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.25]{klshlogo.pdf} &
\raisebox{1cm}{
    {\Large\bf ФМТ, III тур}
}
\end{tabular}
\end{center}
}


\newcommand{\easymath}{
На собрании судей ФМТ в ряд стоят 9 стульев, на них сидят 9 человек, из них — четыре Михаила. 
Сколько существует способов рассадить Михаилов на стулья, чтобы максимальное количество судей могли загадать желание?
Рассадки считаются различными, если хотя бы один Михаил сидит на другом стуле. 
Все Мишки разные, а загадать желание может только тот, у кого оба соседа — Мишки.
}
\newcommand{\soleasymath}{
$3\cdot 4!= 3\cdot 24 = 72$
}



\newcommand{\hardmath}{
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD > BC$ высота $BH=h$ падает на сторону $AD$. 
Известны также длины диагоналей, $AC = d_1$, $BD = d_2$.  Чему равна площадь трапеции?
}
\newcommand{\solhardmath}{
Обозначим вторую высоту $CE$. По теореме Пифагора находим $AE^2 = d_1^2 - h^2$ и
$DH^2 = d_2^2 - h^2$. Площадь равна 
\[
S = \frac{h}{2}AH + h\cdot HE + \frac{h}{2}ED = \frac{h}{2}(AE + DH) = \frac{h}{2}\left(\sqrt{d_1^2 - h^2} + \sqrt{d_2^2 - h^2} \right) 
\]
}


\newcommand{\veryhardmath}{
В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle BAC = 75^\circ$, $\angle BCA = 60^\circ$ и сторона $AC=\sqrt 2$.
Проведены высоты $CE$ и $AT$. Чему равна длина отрезка $ET$?
}
\newcommand{\solveryhardmath}{
Угол $ABC = 45^\circ$. Четырехугольник $AETC$ вписан в окружность с диаметром $AC$, 
так как прямые углы опираются на диаметр. 

Сумма противоположных углов на вписанном четырехугольнике равна $180^\circ$. 
Отсюда $\angle BET = 60^\circ$, $\angle BTE = 75^\circ$. Замечаем, что $\angle BEC$ — прямой.

Треугольники $BET$ и $BCA$ подобны. $BE/BC=BT/BA = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = ET/AC$.
Отсюда $ET=1$.

Обнаружено подобие, то +1 балл и задача снята.
}

\newcommand{\easyphys}{
Найди сопротивление цепи:

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{circuitikz}[european, scale=1]
    \draw (-2,0) node[anchor=east] {B}
    to[R, l=1 Ом, o-*] (0,0)
    to[R=10 Ом, *-*] (0,2)
    to[R=1 Ом, *-] (2,2)
    to[R=8 Ом] (2,0)
    to[R, a=1 Ом, -*] (0,0)
    (0,2) to[R, a=1 Ом, *-o] (-2,2) node[anchor=east]{A};
\end{circuitikz}
\end{minipage}
}

\newcommand{\soleasyphys}{
Заменяем параллельные резисторы на один: $1/10 + 1/(1+8+1)= 1/5$. 
Далее складываем последовательные $1+5+1 = 7$, Ответ: 7.
}

\newcommand{\hardphys}{
% 619 
Из окошка, находящегося на высоте $h$, падает чьё-то сферическое тело. Когда тело пролетает мимо окна, находящегося на высоте $h/2$, 
в тело попадает горизонтально летящяя рыбная котлета и застревает в центре тела. Котлета имеет массу в 10 раз меньше массы тела,
её скорость в момент попадания равна $v$. Ускорение свободного падения равно $g$.

С какой скоростью тело упадёт на землю?
}
\newcommand{\solhardphys}{
Время вертикального падения с высоты $h$ равно $\sqrt{2h/g}$, а вертикальная составляющая скорости равна $v_y=\sqrt{2gh}$.
Горизонтальная компонента скорости: $v_x = v/(10 + 1)$. Итоговая скорость по теореме Пифагора, $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v^2/11 + 2gh}$.
Если выписан закон сохранения импульса, то ставим 1 балл и снимаем.
}


\newcommand{\veryhardphys}{
% 620 Степанова
Требушет массой 200 кг установлен у края плоской крыши высокой башни. Требушет выбрасывает стул массой 5 кг горизонтально. 
Стул приземляется на расстоянии 300 метров от основания башни. Требушет, колеса которого вращаются без трения, также движется и падает на землю.

На каком расстоянии от основания башни упадет требушет?
}

\newcommand{\solveryhardphys}{
Обозначим массы требушета и стула $M$ и $m$, горизонтальные скорости — $V$ и $v$, расстояния падения от башни — $L$ и $\ell$. 
Закон сохранения импульса: $MV = mv$. Скорость стула равна $v=\ell/t$ и скорость требушета равна $V=L/t$. 
Отсюда $L/\ell = M/m$ и $L = 300 \cdot 5/200 = 7.5$. 

Один балл ставим за оба ингридиента: закон сохранения импульса и одинаковое время.
}


\begin{document}

\textbf{TOP SECRET! Сдать задачи после разбора!}

\begin{enumerate}
\item \easymath

\soleasymath
\item \hardmath

\solhardmath
\item \easyphys

\soleasyphys
\item \hardphys

\solhardphys
\end{enumerate}

Задачи для топ-3 столов:
\begin{enumerate}[resume]
\item \veryhardmath
\solveryhardmath
\item \veryhardphys
\solveryhardphys
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{TOP SECRET! Судейский экземпляр обычных столов!}

\begin{enumerate}
    \item \easymath \\
    
    \soleasymath
    \item \hardmath \\
    
    \solhardmath
    \item \easyphys \\
    
    \soleasyphys
    \item \hardphys \\
    
    \solhardphys
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{TOP SECRET! Судейский экземпляр top-3 столов!}

\begin{enumerate}
    \item \easymath \\
    
    \soleasymath
    \item \veryhardmath \\
    
    \solveryhardmath
    \item \easyphys \\
    
    \soleasyphys
    \item \veryhardphys \\
    
    \solveryhardphys
\end{enumerate}


\newpage
\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \hardmath
    \item \easyphys
    \item \hardphys
\end{enumerate}

\vfill

\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \hardmath
    \item \easyphys
    \item \hardphys
\end{enumerate}

% \end{document} % если деления задач по столам нет

\newpage

\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \veryhardmath
    \item \easyphys
    \item \veryhardphys
\end{enumerate}

\vfill

\putlogo

\begin{enumerate}
    \item \easymath
    \item \veryhardmath
    \item \easyphys
    \item \veryhardphys
\end{enumerate}


\end{document}



% ФМТ-финал

% задача про кузнечника и соломинку, 615 задачник степановой