Author: Kang-Kang Shao
Date: October 7, 2025
简要介绍张量的基本思想：
张量被定义为一种多线性函数，它接受若干向量并返回一个标量。
通过具体的坐标展开（如 (T(v, w)) 的形式），说明张量与矩阵表示之间的关系，并强调张量的本质是抽象的多线性映射，而矩阵只是计算工具。
本章奠定线性代数基础，从向量空间、线性无关性到对偶空间与厄米形式，为理解张量提供抽象框架。
介绍抽象向量空间及其公理体系，包括加法与数乘的封闭性、结合律、分配律等。
举例说明典型向量空间：如 ( \mathbb{R}^3 )、Hilbert 空间 (L^2[a,b])、矩阵空间等。
定义生成子集（span）、线性无关性和基（basis），并展示如何通过基表示任意向量。
说明向量在给定基下的分量展开形式 (v = \sum_i v_i e_i)。
定义线性算符 (T: V \to V)，解释其矩阵表示及与基变换的关系。
以矩阵空间 (M_n(\mathbb{R})) 为例，演示线性算符的矩阵表示构造。
定义对偶空间 (V^*)，即所有从 (V) 到标量域的线性函数集合，并说明基与对偶基的关系。
讨论非退化厄米型（Hermitian）形式及其性质，如线性性、厄米性与非退化性。
举例包括欧几里得度量、厄米内积与闵可夫斯基度规。
展示如何通过非退化厄米形式在 (V) 与其对偶空间 (V^*) 之间建立对应关系。
通过闵氏空间与 Dirac 符号（bras & kets）说明协变与逆变分量的区别。
系统介绍张量的定义、基变换规律、张量积及其在经典与量子物理中的应用。
定义一般型 ((r,s)) 张量及其分量展开。
展示算符 (H) 在量子力学中的分量表示与 Levi-Civita 张量的定义。
讲解基变换下张量分量的协变与逆变变换规律。
两组基之间的线性变换关系。
对偶基的变换法则。
标准张量变换公式推导。
二维旋转的基变换矩阵实例。
区分主动与被动变换：
主动变换改变物理向量，被动变换改变参考系。
解释向量本身变换但坐标系固定的情形。
解释坐标变换但物理向量不变的情形。
定义张量积 (V \otimes W) 及其双线性性质，推导其基的构造。
形式定义与维度计算。
展示混合张量空间 (V^{*\otimes r} \otimes V^{\otimes s}) 与分量展开。
联系 Dirac 外积与线性算符的矩阵展开。
解释麦克斯韦应力张量在电磁学中的物理意义。
介绍电磁场强张量 (F_{\mu\nu})，并展示其协变/逆变矩阵形式。
轨道角动量与自旋角动量的张量积结构。
Clebsch–Gordan 系数与角动量加法的具体实例。
区分可分态与纠缠态的张量积表达。
定义对称张量及其性质。
定义反对称张量及其与外积（wedge product）的联系。
定义外积 (f \wedge g = f \otimes g - g \otimes f)。
介绍 ( \epsilon_{ijk} ) 与高维 Levi-Civita 张量的性质与恒等式。
用 Levi-Civita 张量表示行列式的定义与几何解释。
在狭义相对论与广义相对论中定义四维梯度（Four-Gradient）。
指标记号约定：拉丁指标表示三维空间，希腊指标表示四维时空。
给出协变与逆变的四维梯度形式，说明 (\partial_\mu) 与 (\partial^\mu) 的区别。