Simulação computacional de processos estocásticos

Objetivo

O objetivo deste repositório é expor simulações de sistemas estudados na disciplina de dinâmica estocástica do programa de pós graduação em física da UFPB.

Sistemas simulados

• Movimento Browniano;

Introdução

O movimento browniano é o movimento aleatório de partículas minúsculas suspensas em um fluido. O resultado destes movimentos errantes advém de inúmeras colisções que as partículas sofrem.

Caminhada aleatória

Na caminhada aleatória unidimensional, a partícula pode executar um passo para a esquerda ou para a direita com igual probabilidade. Na imagem abaixo podemos observar este processo realizado por três partículas diferentes, todas elas iniciando na origem.

Processos de Wiener

Propriedades matemáticas do movimento browniano unidimensional foram estudadas pelo matemático americano Norbert Wiener. Neste processo, o movimento é modelado considerando o tempo como uma variável contínua. As duas principais características deste processo é a estacionariedade e incrementos independentes. Este tipo de processo encontra muitas aplicações nos mais variados campos, por exemplo, economia, física quântica, biologia, dentre outros.

Dedução da distribuição de probabilidade do processo de wiener

Equação de Fokker-Planck para o processo de Wiener com a condição de contorno:

$\frac{∂}{∂t} P(\omega, t|\omega_0, t_0) = \frac{1}{2} \frac{∂^2}{∂\omega^2} P(\omega, t|\omega_0, t_0)$ (1)

$P(\omega, t_0|\omega_0, t_0) = \delta(\omega-\omega_0)$ (2)

Função característica:

$\phi(s,t) = \int d\omega P(\omega, t|\omega_0, t_0) e^{is\omega}$

$\frac{∂}{∂t} \phi(s,t) = \frac{∂}{∂t} [\int d\omega P(\omega, t|\omega_0, t_0) e^{is\omega}]$

$\frac{∂}{∂t} \phi(s,t) = \int d\omega \frac{∂}{∂t} [P(\omega, t|\omega_0, t_0)] e^{is\omega}$

Note que o primeiro termo da equação de Fokker-Planck surgiu dentro da integral, por esta razão podemos substituir pelo segundo termo.

$\frac{∂}{∂t} \phi(s,t) = \int d\omega \frac{1}{2} \frac{∂^2}{∂\omega^2}[ P(\omega, t|\omega_0, t_0) e^{is\omega}]$

Aplicando a técnica de integração por partes na primeira na equação acima, ficamos com:

$\frac{∂}{∂t} \phi(s,t) = -\frac{1}{2}(is) \int \frac{∂}{∂\omega}P(\omega, t|\omega_0, t_0) e^{is\omega}$

Aplicando novamente a técnica de integração por partes, finalmente obtemos que:

$\frac{∂}{∂t} \phi(s,t) = -\frac{s^2}{2}\phi(s,t)$,

cuja solução geral dessa equação diferencial é $\phi(s,t) = \phi(s,t_0)exp[-\frac{s^2}{2}(t-t_0)]$

Utilizando a condição (2) de contorno para determinar $\phi(s,t_0)$:

$\phi(s,t_0) = \int d\omega P(\omega, t_0|\omega_0, t_0) e^{is\omega} = \int d\omega \delta(\omega-\omega_0) e^{is\omega} = e^{is\omega_0}$

Por fim, nossa função característica para o processo de Wiener está totalmente definida por:

$\phi(s,t) = exp[is\omega_0 -\frac{s^2}{2}(t-t_0)]$