bilibili 宋浩老师 “惊叹号” 系列 《线性代数》网课 笔记及时间点目录 
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- 行列式一定是方的
- 主对角线：╲
- 副对角线：╱
- 排列：1，2，……，n组成的一个有序数组叫n级排列，中间不能缺数
- 如
3级排列：123，132，213，231，312，321
- 如
- 逆序：大数排在小数前面
- 逆序数：逆序的总数
- 奇/偶排列：逆序数为奇/偶
- 标准排列：
123……N - 对换：交换排列中的两个数
- 做一次对换，排列奇偶性改变
- 按行展开：
- 行标取标准排列
- 列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘
- 共有N!项
- 每一项的符号由列标排列的奇偶性决定，偶正奇负
- 右上方三角形区域元素全部为0
- 下三角行列式 = 主对角线元素相乘
- 左下方三角形区域元素全部为0
- 上三角行列式 = 主对角线元素相乘
- 只有主对角线上有数
- 副对角线行列式 =
(-1)^(n(n-1)/2) * 副对角线元素相乘
- 1.按行展开，符号由列标排列决定
- 2.按列展开，符号由行标排列决定
- 3.胡乱展开，符号由行标排列逆序数和列标排列逆序数之和决定
(-1)^(N(i1,i2,……,iN)+N(j1,j2,……,jN)), i：行标，j：列标
- 行列式对行成立的性质对列也成立
- 转置：把行按列写
- 行列式转置后值不变
- 行列式转置的转置等于本身
- 行列式两行互换，值变号
- 行列式两行相同，等于0
- 行列式某行都乘以k，等于用k乘以这个行列式。即行列式某一行有公因子k，可往外提一次
- 若行列式所有元素都有公因子k，k外提N次
- 行列式两行成比例，则行列式值为0
- 某一行全为0，则行列式为0
- 若行列式某一行元素都可以表示为两项和，则行列式等于两个行列式相加
| 1+2 2+3 | | 1 2 | | 2 3 | | 3 3 | = | 3 3 | + | 3 3 | | 4 6 | | 4 6 | | 4 6 |
- 某一行乘以一个数加到另一行上去，行列式值不变
- 将行列式化为上三角行列式，连乘对角线元素
- 利用性质七将左下角元素从左到右从上到下消为0
- 在行列式中选中某个元素，去掉所在行列，剩余的元素构成的行列式叫这个元素的余子式
M_ij，M代表余子式，i代表选中元素的行标，j列标，ij从1开始
- 在余子式前面加上符号
(-1)^(i+j)
- 行列式的值 = 某一行所有元素乘以自己的代数余子式的积之和，列同理
- 某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为零
- k阶子式：任取k行k列，交叉处构成的行列式为k阶子式
- k阶子式的余子式：除去选中行列，其余行列形成的子式为k阶子式的余子式
- k阶子式的代数余子式：多个符号
(-1)^所有行标与列标之和
- 取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与其代数余子式乘积之和 = 行列式值
- 同阶行列式相乘的值 = 两个行列式做矩阵乘法后得到的行列式的值
- 将行列式化为上三角行列式，连乘对角线元素
- 构造新行列式
- 1.化成上三角
- 2.把某行/列尽可能多得化成0，然后展开
- 加边法：在顶上加一行1，左边多出的一列（除第一行）为0，行列式值不变
a_ij = -a_ji- 主对角线全为0
- 上下位置对应成相反数
- 奇数阶，行列式值 D = 0
a_ij = a_ji- 主对角线无要求
- 上下位置对应相等
- n个方程，n个未知量
- D ≠ 0
- x_j = D_j / D，D为方程组系数构成的行列式，D_j代表把方程组值用于替换D的第j列得到的行列式，x_j代表解
- n个方程，n个未知量
- 齐次：方程组值都为0，即无常数
- 齐次方程，至少有零解
- 若 D ≠ 0，只有零解；若 D = 0 <=> 有非零解
- 矩阵可以是不方的
- 零矩阵：元素都是0的矩阵为零矩阵（有形状）
- 负矩阵：A的负矩阵为
-A，所有元素取相反数 - 方阵：行数 = 列数
- 单位阵
E：对角线上为1，其余元素为0，一定为方阵 - 同型矩阵：形状相同
- 矩阵相等：同型且值对应相等
- 零矩阵不一定相等
- 方阵的主对角线：╲，次对角线：╱，不是方阵则没有
- 只有同型矩阵才能相加减
- 对应元素相加减
- 用k乘以矩阵，相当于把k乘以矩阵所有元素
- 矩阵所有元素均有公因子，公因子外提一次（行列式是n次）
- 前提：左矩阵列数 = 右矩阵行数
- 结果矩阵的行数 = 左矩阵行数，列数 = 右矩阵列数
- 结果矩阵第i行第j列的值 = 左矩阵第i行与右矩阵第j列对应元素乘积之和
- 宋氏七字：中间相等，取两头
AB 一般≠ BAAB有意义，BA不一定有意义。若AB = BA，则称A，B可交换- 左乘：在矩阵左边乘上一个矩阵，右乘同理
AB = 0 ≠> A=0 或 B=0AB = AC，A≠0 ≠> B=C- 与零矩阵左/右乘：零矩阵与任何矩阵相乘都为零矩阵
- 与单位阵左/右乘：
AE = A, EA = A，此时E的形状可能不同 (AB)C = A(BC)，AB顺序不可变(A + B)C = AC + BC，AB顺序不可变k(AB) = (kA)B = A(kB)，AB顺序不可变
A^0 = EA^k1 · A^k2 = A^(k1+k2)(A^k1)^K2 = A^k1k2(AB)^k 一般≠ A^k · B^k(AB)^2 = ABAB ≠ A^2 · B^2 = AABB
(A + B)^2 = A^2 + BA + AB + B^2 ≠ A^2 + 2AB + B^2(A - B)^2 ≠ A^2 - 2AB + B^2
(A + E)^2 = A^2 + 2AE + E^2- A^k需满足A为方阵
A^T代表A的转置，把行按列写(A^T)^T = A(A + B)^T = A^T + B^T(kA)^T = kA^T(AB)^T = B^T · A^T
- 数量矩阵：主对角线元素全部相等，其余元素为0
- 对角形矩阵：对角线上有值，其余为0
- 对角线矩阵可以表示为
diag(a1, a2, ……, an)，a1~n为对角线上的元素
- 对角线矩阵可以表示为
- 三角矩阵
- 对称矩阵
- 对于对称矩阵A，
A^T = A - A,B对称，AB对称 <=> A,B可交换
- 对于对称矩阵A，
- 反对称矩阵
- 主对角线元素全部为0
|A^T| = |A||kA| = k^n · |A||AB| = |A| · |B|
- 只有方阵才有伴随矩阵
- 伴随矩阵
A^*：求所有元素的代数余子式，按行求的代数余子式按列放，构成矩阵 AA^* = A^*A = |A|E|AA^*| = ||A|E||A|·|A^*| = |A|^n|A^*| = |A|^(n-1)
- 逆矩阵：设A为n阶方阵，存在同阶方阵B，使得AB=BA=E，则A的逆矩阵
A^-1 = B- 未必所有方阵均可逆，比如零矩阵
- 如果方阵可逆，逆矩阵唯一
- 若矩阵满足
|A| ≠ 0，则其非奇异，非退化，满秩 - A可逆 <=> |A| ≠ 0，
A^-1 = 1/|A| · A^* - 若A、B都为n阶方阵，|A| ≠ 0 且 (AB = E 或 BA = E)，则
A^-1 = B
- 1.伴随矩阵法
- 2.初等变换法（一般用这个）
- 1.注意提的方向
- 2.矩阵不能减一个数字，需要补一个E
- 3.永远不要把矩阵放在分母上
- 4.一定要先判断矩阵可逆，再用逆矩阵
- A可逆，则A^-1可逆，且
(A^-1)^-1 = A - A,B均可逆，则AB可逆，
（AB)^-1 = B^-1 A^-1 - A可逆，则
- A^T可逆
(A^T)^-1 = (A^-1)^T- 若 k ≠ 0，
(kA)^-1 = A^-1/k
- 若A可逆，
|A^-1| = |A|^-1 - 若A可逆，
A^*也可逆，(A^*)^-1 = A/|A|
- 1.求代数余子式，按行求，按列放
- 2.
AA^* = A^*A = |A|E - 3.
|A^*| = |A|^(n-1) - 4.
A^-1 = A^*/|A|, A^* = |A|A^-1 - 5.
(A^*)^* = |A|^(n-2) A - 6.
((A^*)^*)^* = |A|^((n-1)(n-2)+1) A^-1
- 横线/竖线一气到头
- 从左上角开始的一串1不断，其余全是0
- 不一定是方阵
- 把每个子块看作元素，做矩阵乘法
- 前提：子块可乘
- 先把子块视作元素求矩阵转置，再对每个子块求转置
- 例题：求特殊分块矩阵行列式
- 对角分块矩阵求逆，直接把所有对角子块变为对应的逆矩阵
- 交换两行
- 用k(k≠0)乘某一行
- 某一行的L倍加到另一行上去
- 做初等变换要用箭头
→，不能用等号=
- 任何矩阵通过初等变换可以化为标准型
- A经初等变换可得B，则A与B等价
- 反身性：A与自身等价，
A≌A - 对称性：
A≌B => B≌A - 传递性：
A≌B, B≌C => A≌C
- 反身性：A与自身等价，
- 任何矩阵等价于标准型
- 对E做一次初等(行/列)变换得到的矩阵为初等方阵
- 初等方阵均可逆，其逆矩阵也是初等方阵
- 初等方阵的转置也是初等方阵
- 用初等变换得到的初等方阵左乘A，相当于对A实施同种初等行变换；右乘相当于列变换
- 初等方阵是初等变换的载体
- 多个初等方阵可以化矩阵为标准形
- 若A与B等价，存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ = B
- A可逆 <=> A的标准形为E
- A可逆 <=> A = 多个初等方阵乘积
A^-1 = Q1Q2……Qt=> A^-1 = Q1Q2……QtE, E = Q1Q2……QtA初等行变换法：将A通过一系列初等行变换得到E之时，施加相同的初等行变换在E可以使E变为A^-1。(A, E) → (E, A^-1)
- 注1.先第1列再第2列再第3列……
- 注2.写整行，对整行操作
- 注3.第一列处理好后，第一行不再主动参与运算，后面同理
- 注4.做变换时矩阵与矩阵直接用箭头连接
- 注5.只做行变换
- 注6.不管是否可逆，如坐标化不成E，则不可逆，因为初等变换对于矩阵行列式值的改变是非零倍
- k阶子式：任取k行k列，交叉处构成的行列式为k阶子式
- 非零子式的最高阶数：秩
- 矩阵A的秩表示为
rank(A) = r(A) - 设A形状为
(m, n)- 若
r(A) = m，则行满秩 - 若
r(A) = n，则列满秩 - 否则
r(A) < min(m, n)，降秩
- 若
- 若A为方阵，满秩 <=> 行列式 ≠ 0 <=> A可逆
r(A) = r<=> 有一个r阶子式不为0，所有r+1阶为0
- 若有零行，零行在非零的下边
- 左起有首非零元左边零个数随行数增加而严格增加
- 宋氏阶梯折线法：横线可跨多个数，竖线只跨一个数
- 行简化阶梯形：是阶梯
- 非零行的首非零元是1
- 首非零元所在列的其余元素是0
- 宋氏三步走（判断行简化阶梯形）
- 画折线，判断阶梯形
- ○画出首非零元
- 首非零元画竖虚线，开头是1其余都为0
- 矩阵的秩 = 非零行的行数
- 初等变换不改变秩
- 矩阵求秩：A--初等变换-->阶梯形--数非零行的行数-->OK
- 1.
r(A) = r(A^T) - 2.任意矩阵乘以可逆矩阵，秩不变
- 设
A(m, n), P为m阶可逆方阵, Q为n阶可逆方阵 - 则
r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)，因为可逆矩阵可以表示为一系列初等方阵的积
- 设
- 线性代数好深奥
- 矩阵方程行列式
- 数学如何呵呵学得好奥
- 山东财大找宋浩
- 向量：N个数组成的有序数组，常用αβγ表示
- 维数：N
- 行向量：横着写，列向量：竖着写的向量
- 零向量：元素全为0
- 负向量：取相反数
- 向量相等：同维数，元素对应相等
kα = 0 <=> k=0 or α=0
- 1.零向量可由任意向量组表示
- 2.向量组中任一向量可由向量组表示
- 3.任一向量都可由N维基本向量组表示
- 同维
- 两个向量组可以相互线性表示
- 线性相关：
α1,α2,...,αn是n个m维向量组，若存在一组不全为0的k1,k2,...,kn，使得k1α1 + k2α2 + ... + knαn = 0，则向量组线性相关，否则无关 - 向量组中两向量成比例，向量组必线性相关
- 含零向量的向量组，必线性相关
- 一个零向量必相关
- 一个非零向量必无关
- 一个向量α相关 <=> α=0
- 若向量组线性相关，增加向量后依然相关
- 部分组相关 → 整体相关
- 整体组无关 → 部分无关
- 线性无关的向量组接长后也线性无关；线性相关的向量组截短后也线性相关
- n个n维向量（维数=个数）构成的行列式D≠0，那么线性无关，否则相关
α1,α2,...,αs相关 <=> 至少一个向量可由其余向量表示
α1,α2,...,αs无关，α1,α2,...,αs,βs相关，β可由α1,α2,...,αs唯一表示
α1,α2,...,αs无关，可由β1,β2,...,βt表示，则s≤tα1,α2,...,αs可由β1,β2,...,βt表示，s>t，α1,α2,...,αs相关
- 若向量个数m>向量维数n，则m个n维向量相关
- n+1个n维向量相关
- 两个等价的线性无关组含向量个数相同
α1,α2,...,αs的部分组α1,α2,...,αr满足：α1,α2,...,αr无关α1,α2,...,αs中每个向量均可由α1,α2,...,αr表示- 任意r+1个都相关
- 任意两个极大无关组，含向量个数相同
- 全是零的向量组，没有极大线性无关组
- 一个线性无关的向量组，它的极大无关组就是它本身
- 任何一个向量组和它的极大无关组是等价的
- 向量组的秩：极大无关组含向量个数，记作
r(α1,α2,...,αs) - 如果全是零向量，秩为0
0 ≤ r(α1,α2,...,αs) ≤ min(向量个数s，向量维数n)α1,α2,...,αr无关 <=>r = sα1,α2,...,αr相关 <=>r < s- 若
α1,α2,...,αs可由β1,β2,...,βt表示，那么r(α1,α2,...,αs) ≤ r(β1,β2,...,βt)- 等价向量组有相同的秩
- 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩
r(AB) ≤ min(r(A), r(B))
- 初行变换不改变矩阵列向量组的线性关系
-
- 不管原向量是行或列，均按列构成矩阵
-
- 只做行变换，化行简化
-
- 首非零元所在列做极大无关组
-
- 其余向量表示系数直接写出
- 求秩过程类似与求方程组的解，初等变换类似于消元
- 系数矩阵
A=方程组左边系数构成的矩阵 - 增广矩阵
A^-=A右边加上结果那一列 - 设m为方程组个数，n为未知数个数，当
r(A) = r(A^-)，有解r(A) = r(A^-) = n，唯一解r(A) = r(A^-) < n，无穷解
- 当`r(A) ≠ r(A^-)'，无解
- 行简化阶梯型首非零元
1的个数就是n
- 一定有解，至少有零解
r(A) = n<=> 唯一零解r(A) < n<=> 有非零解/无穷解- 方程个数m < 未知量个数n，有非零解，
r(A) ≤ min(m, n) = m < n - m = n 有非零解 <=>
|A| = 0<=>r(A) < n<=> A可逆
- 两解
（η1，η2）相加仍是解 - 解的倍数
kη仍然解
-
η1, η2, ..., ηs线性无关
-
- 任何解可由
η1, η2, ..., ηs表示
- 任何解可由
-
- 列出系数矩阵
A
- 列出系数矩阵
-
- 只做初等行变换化为行简化阶梯型
-
- 得到首非零元的表示
-
- 对自由项取极大无关组（One-Hot）并带入所有x即可得到基础解系
- 解个数：
n - r(A) - 理解：齐次线性方程组其实就是对各个变量
x1,x2,...,xn间关系的限制，通过初等行变换可以消除潜在的非自由变量，矩阵的秩指关系的最简表示个数，在此处代表非自由变量的个数，基础解系实际上是由自由变量决定的 - 齐次方程组的通解就是常数与基础解系积的和，可以表示任意一个解
- 若矩阵
A_m*n和B_n*s满足AB = 0，则r(A) + r(B) ≤ n- 推理：
AB = 0=> A左乘B的每一列都为0 => B的每一列都是A的一组解 =>r(B) = B的列秩 ≤ A的自由变量数 = n（A列数，也就是A中变量x的个数） - r(A)
- 设非齐次线性方程组为
Ax = b，则其导出组为Ax = 0 - 设α为
Ax = b的解，η为Ax = 0的解，则A(α + η) = b=>α + η是Ax = b的解
- 特解：满足非齐次方程组的随便一个解
- 非齐次方程组的解 = 特解 + 导出组的通解
- 求特解：化
A^-至行最简阶梯型，得到首非零元表示，令所有自由变量为0，得到一个特解
- 设A为n阶方阵，对一个数λ，存在非零列向量α，使得
Aα = λα- 则λ为一个特征值
- α为λ对应的特征向量
- λ可为0
- α不可为0
Aα = λα=>(λE - A)α = 0(λE - A)x = 0有非零解 <=>|λE - A| = 0
- 特征矩阵：
λE - A - 特征多项式：
|λE - A|化简后 - 特征方程：
|λE - A| = 0 - 特征值/特征根：
x - 若α为λ对应的特征向量，则cα也是，c为常数
- α对应唯一一个λ，λ可对应多个α
- 若
α1, α2都为λ对应的特征向量，则c1α1 + c2α2是λ的特征向量
- 把某行尽可能化为零，按行展开
- 提含参数的公因子
-
- 列出
|λE - A|，检查10秒
- 列出
-
- 通过
|λE - A| = 0或|A - λE| = 0求出λ
- 一般利用按行展开或提公因子的技巧直接得到一个根，然后计算剩下的根
- 通过
-
- 代入λ，得到矩阵
λE - A
- 代入λ，得到矩阵
-
- 化为行简化阶梯型
-
- 写出同解方程组
-
- 对自由未知量取One-Hot，得到基础解系
-
- 引入c写出通解，所有c不能同时为0
- N阶三角形矩阵的特征值是主对角线上的元素
- A和A^T有相同的特征值，特征向量可能不同
- 若矩阵A的每行元素绝对值之和小于1，且每列元素绝对值之和也小于1，则所有特征值的膜小于1
- 韦达定理
- 特征值之和（称为矩阵的迹
tra(A)）等于对角线元素之和 - 特征值之积等于行列式的值
- 特征值之和（称为矩阵的迹
- A可逆 <=>
|A| ≠ 0<=> A所有特征根不等于0 <=> A满秩 <=> 行/列向量线性无关 <=>Ax = 0只有零解 - 互不相同的特征值对应的特征向量线性无关
- 互不相同的特征值对应的所有线性无关的特征向量线性无关
- k重特征根对应的线性无关的特征向量的个数 ≤ k
- 若λ是A的单根，那么λ对应的线性无关的特征向量只有一个
- n阶矩阵A所有线性无关的特征向量的个数最多n个
- 若
λ是A的特征值kλ是kA的特征值λ^k是A^k的特征值- 哈密顿一凯莱定理：
f(A)的特征值为f(λ)，此处f代表多项式函数 1/λ是A^-1的特征值|A|/λ是A^*的特征值
- 若A、B为n阶方阵，存在n阶可逆矩阵P，使得
P^-1AP = B，则A与B相似，即A ~ B - A ~ A
- A ~ B <=> B ~ A
- A ~ B, B ~ C => A ~ C
- 若 A ~ B，则：
- A、B有相同的特征值
- |A| = |B|
- tra(A) = tra(B)
- 有相同特征值未必相似
- 若 A ~ B，则 A可逆 <=> B可逆，A^-1 ~ B^-1
- 若 A ~ B，则 A^m ~ B^m
- 若 A ~ B，则 r(A) = r(B)
- A相似于对角形
Λ<=> A有n个线性无关的特征向量- ⭐若P为特征向量的列组合(α1, α2, α3)，则P^-1AP = Λ = diag(λ1, λ2, λ3) => A = PΛP^-1
- 若A有n个互异的特征值，则
A ~ Λ - A ~ Λ <=> 对每个ri重特征根有ri个解（即ri个自由变量）
- 所有实对称矩阵都能对角化
- 内积：两个向量对应相乘再相加得到的数
- α和α的内积
(α, α) ≥ 0(α, α) = 0 <=> α = 0
(α, β) = (β, α)(kα, β) = k(α, β) = (α, kβ)(α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ)
- 范数：||α|| = √(α, α)
- 单位向量：模为1
- 单位化/标准化α：乘上1/||α||
- ||α|| ≥ 0，||α|| = 0 <=> α = 0
- ||kα|| = |k|·||α||
|(α, β)| ≤ ||α||·||β||
- ||α + β|| ≤ ||α|| + ||β||`
(α, β) = 0, α ⊥ β(0, α) = 0- 正交向量组：组中向量两两正交，不含零向量
- 标准正交向量组：是正交向量组，组内都是单位向量
- 若
α1,α2,...,αs是正交向量组，那么α1,α2,...,αs线性无关
- 施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。（来自百度百科）
- 正交矩阵A满足：A是n阶方阵，
AA^T = E - 若A是正交矩阵：
- |A| = ±1
- A^-1 = A^T，且A^-1和A^T均正交
- 若A、B都是正交矩阵，AB也正交
- 若A正交，α、β为n维列向量，则
(Aα, Aβ) = (α, β) - A正交 <=> A的列(行)向量组是标准正交向量组
- 实对称A的不同特征值的特征向量正交
- 若A、B是同阶方阵，存在正交矩阵P，使得
P^-1AP = B，则A与B正交相似- 正交相似一定相似
- 若A实对称，一定存在正交矩阵Q，使得
Q^-1AQ = Λ = diag(λ1, λ2, ..., λn)- n阶实对称矩阵A一定有n个线性无关的特征向量
- 设A是n阶实对称矩阵，λi是它的一个ri重特征根，那么A对应于λi的特征向量一定有ri个
- 给定实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使得
Q^-1AQ = Λ - 对于普通矩阵：
- 如有n个无关的特征向量，可对角化
P^-1AP = Λ = diag(λ1, λ2, ..., λn) - 若无，不能对角化
- 如有n个无关的特征向量，可对角化
- 实对称矩阵一定能对角化：
-
- 求特征值
-
- 求特征向量
-
- 特征向量正交化、单位化
-
- 特征向量做成列构成Q
-
- 特征值与特征向量顺序对应
- 第三步-正交化技巧：因为实对称的不同特征值的特征向量正交，因此仅需要正交化所有重根的特征向量
-
- 所有项都是二次（包括平方项和交叉项）
- 包含n个变量的二次型
-
- 平方项系数直接做成主对角线元素
-
- 交叉项的系数除以2放到俩个对称的相应位置上
-
X^TAX，A的秩叫二次型的秩
- 二次型的矩阵一定对称
- 只有平方项
f(X) = X^TAX，引入X = CY，则f(X) = Y^T(C^TAC)Y
- A、B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得
C^TAC = B，则A与B合同 - A与自身合同
- A合同于B <=> B合同于A
- A合同于B，B合同于C => A合同于C
- A、B合同:
r(A) = r(B)- 同时对称：
A^T = A<=>B^T = B - 若A、B可逆，则A^-1与B^-1合同
- A^T与B^T合同
- 配方法
- 初等变换法
- 正交替换法（同实对称矩阵的对角化）
- 注意：
- 先x1，再x2，x3，……
- 利用y线性替换x，使得对y的方程满足标准型
- 反向求x关于y的表达式
- 只有交叉项的题的解题技巧
-
- 对A、E做同样的初等列变换
-
- 只对A做相应的初等行变换（配套的）
-
- A化成对角阵之时，E化成的就是C
╭ A ╮ ▁▁▁对整个矩阵做列变换 ▁▁▁╲ ╭ Λ ╮
╰ E ╯ ▔▔▔只对A做相应的行变换 ▔▔▔╱ ╰ C ╯- 每次做完一套列行变换，上矩阵会变成对称的
- 在标准型的基础上继续变换Λ，使得对角线变为
1, ..., 1, -1, ..., -1, 0, ..., 0的形式（规范形） - 惯性定理：任意一个二次型可以通过非退化的线性替换化为规范形
- 其中1和-1的总数等于原来矩阵的秩，且个数由原矩阵决定
- -1无法化成1
- 正惯性指数：正项（1）的个数
- 负惯性指数：负项（-1）的个数
- 符号差 = 正惯性指数 - 负惯性指数
- 任意矩阵A与规范形合同
- 合同 <=> 有相同的秩、正惯性指数、负惯性指数
- 二次型A必然为实对称矩阵
-
- 求特征值
-
- 求特征向量，正交化、单位化
-
- 特征向量做成列，构成C；特征值按对应顺序做成对角阵
-
- 计算量大，用的比较少
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