Stima del movimento, fino a movimento camera

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 # Telecamera
 
+Siano:
+- F: Lunghezza Focale;
+- C: centro focale;
+- Z: Profondità
+## Prospettica
+
+Assumiamo che:
+- L'origine del sistema di coordinate 3D globale sia localizzata in C;
+- Il piano XY sia parallelo al piano xy (nel sistema di coordinate dell'immagine);
+- Il sistema di riferimento globale e quello dell'immagine usino la stessa unità di misura.
+
+Sistema con Prospettiva: la dimensione di un'oggetto sull'immagine è inversamente proporzionale alla sua distanza.
+
+![[03-Stima Movimento-20240117184241159.png|384]]
+
+$x,y$ piccole rappresentano la posizione della proiezione 2D,
+$X,Y,Z$ coordinate nel mondo reale 3D. 
+
+
+Se la focale F della camera diminuisce, il piano si avvicina a C, e il punto proiettato in 2D si sposta. 
+
+Se aumenta C:
+- Il piano si allontana;
+- L'oggetto si avvicina.
+
+### Proiezioni Prospettiche
+
+Basate su proporzioni.
+
+- $\dfrac{x}{F}=\dfrac{X}{Z}$ 
+- 
+- $\dfrac{y}{F}=\dfrac{Y}{Z}$ 
+- 
+- $x=F\cdot \dfrac{X}{Z}$ 
+- 
+- $y=F\cdot \dfrac{Y}{Z}$ 
+
+
+
 ## Ortografica
 
-## Prospettica
+Assumiamo che gli oggetti da rappresentare nell'immagine siano a distanza (Z) molto grande. 
+
+In Ortografia, la dimensione di un oggetto sull'immagine è indipendente dalla sua distanza.
+
+Le proiezioni sono molto semplici:
+- $x = X$
+- $y = Y$
+
+Dato che non tengo conto della profondità, non mi interessa neanche la focale.
 
 ### Note sulle proiezioni
 
+**Invertibilità:** Sia le proiezioni prospettiche che quelle ortografiche stabiliscono una relazione molti-a-uno.
+- Per invertire il processo e ricostruire una scena 3D partendo da un'immagine 2D ho bisogno di informazioni aggiuntiva (z-mapping, stereoscopia...);
+- Insomma, perdendo la Z, il processo non è facilmente invertibile (al più posso stimare la distanza con regressione).
+
+**Occlusione:** Nell'immagine compaiono solo gli oggetti che intercettano per primi le linee di visioni che partono dal centro focale C, ovviamente.
+
 ### Modello CAHV
 
+- $C$ : Centro focale;
+- $A$ : Versore Z;
+- $H_{0}$ : Versore X;
+- $V_{0}$ : Versore Y
+
+Permette una visualizzazione più comoda del sistema di riferimento della videocamera se questa è in movimento, e inoltre, può descrivere un piano dell'immagine non allineato al sistema di riferimento della videocamera (**distorsione del sistema ottico**).
+
+![[03-Stima Movimento-20240117191225297.png|512]]
+
+Dalle formule sulle proiezioni prospettiche, ricaviamo:
+
+$p=\displaystyle\binom{x}{y}=\dfrac{F}{A^T\cdot (P-C)}\cdot \binom{H_{0}^T\cdot (P-C)}{V_{0}^T\cdot (P-C)}$
+
+Dove:
+
+- $P-C$ è la traslazione dall'origine;
+- I versori A,H,V sono trasposti perché normalmente troviamo i vettori in colonna, qui li rappresentiamo in riga.
+
+Essenzialmente questo modello applica un cambio di sistema di riferimento, dato che si ha una traslazione dell'origine.
+
 # Movimenti
 
 ## Spostamenti in 3D e 2D
 
+![[03-Stima Movimento-20240117192511672.png]]
+
+Siano:
+- Posizione iniziale a $t_{1}:$
+	- $X = [X,Y,Z]^T$
+	   
+
+	- $x=[x,y]^T$
+	   
+
+- Posizione finale a $t_{2}:$
+	- $X' = [X',Y',Z']^T=[X+D_{X},Y+D_{Y},Z+D_{Z}]^T$
+	   
+
+	- $x'=[x',y']^T=[x+d_{x},y+d_{y}]^T$
+	   
+
+- Spostamento 3D: $D(X;t_{1},t_{2})=X'-X=[D_{X},D_{Y},D_{Z}]^T$
+- Spostamento 2D:  $d(x;t_{1,t_{2}})=x'-x=[d_{x},d_{y}]^T$
+- D è il vettore di spostamento, il *displacement*.
 ### Modelli di movimento in 2D
 
+Quando abbiamo degli istanti $t_{1}$ e $t_{2}$ ben identificati (sempre nei video) allora si può scrivere solo $d(x)$. 
+
+Un altro nome per $d(x)$ displacement è "Vettore di movimento 2D", oppure **Motion Vector** (MV). 
+
+Un'insieme di motion vector per ogni $x$ dell'immagine è detto **Motion Field**.
+
+![[03-Stima Movimento-20240117193222700.png|512]]
+
+
+Esempio di Motion Field.
+#### Funzione di mapping
+
+$w(x)=x+d(x)$ 
+
+Ci interessa sapere il movimento di tutti gli elementi della immagine (a seconda della separazione che utilizziamo, pixel, blocchi, etc...).
+
+Ogni pixel contiene un valore diverso da quello iniziale. All'inizio, $d(x)$ potrebbe non essere noto. Di solito infatti si stima un $w'(x)$, perché $w(x)$, cioè il movimento reale, è difficile da stimare correttamente. 
+
+Se ci sono molti elementi $w'(x)\longrightarrow 0$ significa che mi sono avvicinato molto a $w(x)$, e quindi ho stimato correttamente il movimento.
+
 ## Movimenti della Telecamera
 
-Booming, Tracking, Dollying, Zoom;  
+| Traslazione | Asse Perno | Rotazione |
+| :--: | :--: | :--: |
+| Tracking | $\textcolor{red}{X}$ | Tilting |
+| Booming | $\textcolor{blue}{Y}$ | Panning |
+| Dollying | $\textcolor{green}{Z}$ | Rolling |
+
+- Con Z: asse perpendicolare all'immagine (di profondità), e Y: asse altezza.
+- Potrebbe non essere immediatamente chiaro nel contesto delle rotazioni: immagina di utilizzare l'asse di rotazione appunto come 'perno' su cui la telecamera ruota.
+
+![[03-Stima Movimento-20240117195242072.png|512]]
+
+> [!warning] Dollying != Zooming
+
 
-Panning, Tilting, Rolling
 
 ### Modello a 4 parametri
 
@@ -42,6 +166,11 @@ Panning, Tilting, Rolling
 
 ### Three-Step Search
 
+
+> [!warning] RISPOSTA DOMANDA ESAME❗ :
+
+$L=\log_{2}R_{0}+1$ formula fondamentale da ricordare.
+
 ## Features from Accelerated Segment Test (FAST)
 
 ### High-Speed Test