骨骼动画

本次实验使用 CMU 的动画课作业框架 Scotty3D 实现了骨骼动画，包括非关键帧插值、正向动力学、逆向动力学、基于线性混合的蒙皮。

结果见 results/

算法原理

骨骼动画的制作，即先编辑关键帧，再使用将非关键帧插值出来。

制作关键帧时，需要动画师操作骨骼完成动作的编辑。在技术上，为了达成这一目的，有两个步骤：

1. 由绑定师完成骨骼与 mesh 的绑定（bind）与蒙皮操作。
2. 由动画师转动关节来完成动作编辑。

首先看骨骼。上图中，每个长方形是一块骨骼，骨骼之间的连接处称之为关节。骨骼延伸出去的关节可以继续连接新的骨骼，由于一个关节可以连接多个骨骼，所以骨骼会形成一个树状结构。

树上每个节点保存两个信息：当前骨骼相对于父节点骨骼的长度与方向（extent），当前关节的转动角度（pose）。其中 extent 用来给绑定师完成对标准动作的绑定，pose 给动画师用来转动关节。

extent 是一个三维向量，长度代表这一块骨骼的长度，角度代表相对角度。

pose 是一个三维的欧拉角，代表旋转的角度。

所以，只需要在绑定时制定好 extent，之后使用 extent 和 pose 完成正向运动学和逆向运动学的解算，就可以操作骨骼了。最后使用蒙皮技术来完成骨骼带动 mesh。

非关键帧插值

动画师指定了关键帧后，非关键帧的 pose 都可以通过插值来计算得到。

插值问题，即给定 $f(0)=p_0, f(1)=p_1$ ，求 $f(t), 0<t<1$

本次实验采用 Hermite Curve 插值，其需要给定端点的值与导数值，其插值公式是 $$ f(t)=h_{00}(t)p_0+h_{10}(t)m_0+h_{01}(t)p_1+h_{11}(t)m_1 $$ 其中 $p_0,p_1$ 是端点值， $m_0,m_1$ 是端点导数值。

四个参数如下计算 $$ h_{00}(t)=2t^3-3t^2+1 \ h_{01}(t)=t^3-2t^2+t \ h_{10}(t)=-2t^3+3t^2 \ h_{11}(t)=t^3-t^2 \ $$

正向运动学

正向运动学，就是通过控制每块骨骼的参数（extent 或 pose），进行末端影响器坐标的计算。

其实就是一个坐标不断变换的过程。

我们有五种坐标系：

1. 世界坐标系。顾名思义。骨骼树根的坐标代表了对应的物体在世界坐标系下的坐标，令其为 base_pos。
2. 骨骼的绑定坐标系。以骨骼树根为原点的坐标系，只考虑 extent，不考虑 pose。
3. 骨骼的姿态坐标系。以骨骼树根为原点的坐标系，即考虑 extent，又考虑 pose。
4. 关节的绑定坐标系。针对于一块骨骼，以其根部关节作为原点的坐标系。只考虑 extent。
5. 关节的姿态坐标系。针对于一块骨骼，以其根部关节作为原点的坐标系。考虑 extent 和 pose。

假设我们想要求解某块骨骼的末端点在世界坐标系下的坐标，可以如下计算：

1. 找到该块骨骼，通过 extent 和 pose（如果需要解姿态）得到末端在它的关节坐标系下的坐标。
2. 在骨骼树中寻找父节点，如果有父节点，进入第 3 步，否则跳到第 4 步。
3. 通过父节点的 extent 和 pose（如果需要解姿态）进行平移/旋转变换，得到在当前关节坐标系下的坐标。跳到第 2 步。
4. 此时得到了骨骼的绑定/姿态坐标系下的坐标，利用 base_pos 进行平移变换计算出其在世界坐标系下的坐标，结束。

所以，关节坐标系的坐标到骨骼的绑定/姿态坐标系下的坐标的变换，可以通过骨骼树上从上到下的变换矩阵连乘得到，最后再通过 base_pos 转换到世界坐标系。

另外，如果需要求解所有关节端点的世界坐标，只需要进行 dfs 遍历即可

逆向运动学

正向运动学是通过骨骼参数计算出末端影响器的坐标，逆向运动学是通过末端影响器的坐标计算出骨骼参数。这对于控制人物动作来说非常重要。

这里只考虑对于 pose 的求解，即转动角度。

假设我们规定了某个关节的末端影响器的位置 $p(\theta)$ 需要达到 $q$ ，那么可以解如下优化 $$ \theta^*=\mathop{\arg\min}{\theta}\frac{1}{2}(p(\theta)-q)^2 $$ 其中 $\theta$ 代表该关节到根的所有关节的 pose 。令 $f=\frac 1 2 (p(\theta)-q)^2$ ，这是个无约束最小化问题，直接采用梯度下降法 $$ \theta{t+1}=\theta_{t}-\alpha \grad f $$ 计算梯度 $$ \grad f=(p(\theta)-q)\grad p $$ 下面考虑末端影响器的位置 p 对与转动角度的梯度。不妨假设每个关节都是三个自由度，它可以看做是三个单自由度的关节，分别绕 x 轴、y 轴、z 轴转动。所以对于三自由度角度的梯度，就是对于三个单自由度角度的梯度之和。

几何法可以发现： $$ \frac{\part p}{\theta_{i,j}}=|r_j\times(p-o_i)| $$ r 是转动轴的单位向量，p 是当前末端影响器的位置，o 是该关节的坐标。

蒙皮

蒙皮即让骨骼可以带动 mesh 进行运动。

采用线性混合方式。对于 mesh 上每个顶点，找到所有可以控制它的骨骼所在的关节坐标系，分别计算出每个关节坐标系的权重以及按其变换的结果，进行线性混合。

权重：与骨骼最近距离的倒数。

按照关节坐标系进行变换，需要：找到该顶点在骨骼的绑定坐标系下的坐标，将其变换到该关节的绑定坐标系下，再将其变换到骨骼的姿态坐标系下。

线性混合：通过权重进行线性累加，最后除以权重之和。

另外，我们需要找到具体是哪些骨骼控制了这个点，可以通过简单的 Capsule-Radius 方法，即给每块骨骼设置一个控制半径，只有这个范围内的点才能被控制。