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01.Monotone-Stack.md

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1. 单调栈简介

单调栈（Monotone Stack）：一种特殊的栈。在栈的「先进后出」规则基础上，要求「从 栈顶 到 栈底 的元素是单调递增（或者单调递减）」。其中满足从栈顶到栈底的元素是单调递增的栈，叫做「单调递增栈」。满足从栈顶到栈底的元素是单调递减的栈，叫做「单调递减栈」。

注意：这里定义的顺序是从「栈顶」到「栈底」。有的文章里是反过来的。本文全文以「栈顶」到「栈底」的顺序为基准来描述单调栈。

1.1 单调递增栈

单调递增栈：只有比栈顶元素小的元素才能直接进栈，否则需要先将栈中比当前元素小的元素出栈，再将当前元素入栈。

这样就保证了：栈中保留的都是比当前入栈元素大的值，并且从栈顶到栈底的元素值是单调递增的。

单调递增栈的入栈、出栈过程如下：

  • 假设当前进栈元素为 x，如果 x 比栈顶元素小，则直接入栈。
  • 否则从栈顶开始遍历栈中元素，把小于 x 或者等于 x 的元素弹出栈，直到遇到一个大于 x 的元素为止，然后再把 x 压入栈中。

下面我们以数组 [2, 7, 5, 4, 6, 3, 4, 2] 为例，模拟一下「单调递增栈」的进栈、出栈过程。具体过程如下：

  • 数组元素：[2, 7, 5, 4, 6, 3, 4, 2]，遍历顺序为从左到右。
第 i 步 待插入元素 操 作 结 果（左侧为栈底） 作 用
1 2 2 入栈 [2] 元素 2 的左侧无比 2 大的元素
2 7 2 出栈，7 入栈 [7] 元素 7 的左侧无比 7 大的元素
3 5 5 入栈 [7, 5] 元素 5 的左侧第一个比 5 大的元素为：7
4 4 4 入栈 [7, 5, 4] 元素 4 的左侧第一个比 4 大的元素为：5
5 6 4 出栈，5 出栈，6 入栈 [7, 6] 元素 6 的左侧第一个比 6 大的元素为：7
6 3 3 入栈 [7, 6, 3] 元素 3 的左侧第一个比 3 大的元素为：6
7 4 3 出栈，4 入栈 [7, 6, 4] 元素 4 的左侧第一个比 4 大的元素为：6
8 2 2 入栈 [7, 6, 4, 2] 元素 2 的左侧第一个比 2 大的元素为：4

最终栈中元素为 [7, 6, 4, 2]。因为从栈顶（右端）到栈底（左侧）元素的顺序为 2, 4, 6, 7，满足递增关系，所以这是一个单调递增栈。

我们以上述过程第 5 步为例，所对应的图示过程为：

1.2 单调递减栈

单调递减栈：只有比栈顶元素大的元素才能直接进栈，否则需要先将栈中比当前元素大的元素出栈，再将当前元素入栈。

这样就保证了：栈中保留的都是比当前入栈元素小的值，并且从栈顶到栈底的元素值是单调递减的。

单调递减栈的入栈、出栈过程如下：

  • 假设当前进栈元素为 x，如果 x 比栈顶元素大，则直接入栈。
  • 否则从栈顶开始遍历栈中元素，把大于 x 或者等于 x 的元素弹出栈，直到遇到一个小于 x 的元素为止，然后再把 x 压入栈中。

下面我们以数组 [4, 3, 2, 5, 7, 4, 6, 8] 为例，模拟一下「单调递减栈」的进栈、出栈过程。具体过程如下：

  • 数组元素：[4, 3, 2, 5, 7, 4, 6, 8]，遍历顺序为从左到右。
第 i 步 待插入元素 操 作 结 果（左侧为栈底） 作用
1 4 4 入栈 [4] 元素 4 的左侧无比 4 小的元素
2 3 4 出栈，3 入栈 [3] 元素 3 的左侧无比 3 小的元素
3 2 3 出栈，2 入栈 [2] 元素 2 的左侧无比 2 小的元素
4 5 5 入栈 [2, 5] 元素 5 的左侧第一个比 5 小的元素是：2
5 7 7 入栈 [2, 5, 7] 元素 7 的左侧第一个比 7 小的元素是：5
6 4 7 出栈，5 出栈，4 入栈 [2, 4] 元素 4 的左侧第一个比 4 小的元素是：2
7 6 6 入栈 [2, 4, 6] 元素 6 的左侧第一个比 6 小的元素是：4
8 8 8 入栈 [2, 4, 6, 8] 元素 8 的左侧第一个比 8 小的元素是：6

最终栈中元素为 [2, 4, 6, 8]。因为从栈顶（右端）到栈底（左侧）元素的顺序为 8, 6, 4, 2，满足递减关系，所以这是一个单调递减栈。

我们以上述过程第 6 步为例，所对应的图示过程为：

2. 单调栈适用场景

单调栈可以在时间复杂度为 $O(n)$ 的情况下，求解出某个元素左边或者右边第一个比它大或者小的元素。

所以单调栈一般用于解决一下几种问题：

  • 寻找左侧第一个比当前元素大的元素。
  • 寻找左侧第一个比当前元素小的元素。
  • 寻找右侧第一个比当前元素大的元素。
  • 寻找右侧第一个比当前元素小的元素。

下面分别说一下这几种问题的求解方法。

2.1 寻找左侧第一个比当前元素大的元素

  • 从左到右遍历元素，构造单调递增栈（从栈顶到栈底递增）：
    • 一个元素左侧第一个比它大的元素就是将其「插入单调递增栈」时的栈顶元素。
    • 如果插入时的栈为空，则说明左侧不存在比当前元素大的元素。

2.2 寻找左侧第一个比当前元素小的元素

  • 从左到右遍历元素，构造单调递减栈（从栈顶到栈底递减）：
    • 一个元素左侧第一个比它小的元素就是将其「插入单调递减栈」时的栈顶元素。
    • 如果插入时的栈为空，则说明左侧不存在比当前元素小的元素。

2.3 寻找右侧第一个比当前元素大的元素

  • 从左到右遍历元素，构造单调递增栈（从栈顶到栈底递增）：

    • 一个元素右侧第一个比它大的元素就是将其「弹出单调递增栈」时即将插入的元素。
    • 如果该元素没有被弹出栈，则说明右侧不存在比当前元素大的元素。

  • 从右到左遍历元素，构造单调递增栈（从栈顶到栈底递增）：

    • 一个元素右侧第一个比它大的元素就是将其「插入单调递增栈」时的栈顶元素。
    • 如果插入时的栈为空，则说明右侧不存在比当前元素大的元素。

2.4 寻找右侧第一个比当前元素小的元素

  • 从左到右遍历元素，构造单调递减栈（从栈顶到栈底递减）：

    • 一个元素右侧第一个比它小的元素就是将其「弹出单调递减栈」时即将插入的元素。
    • 如果该元素没有被弹出栈，则说明右侧不存在比当前元素小的元素。

  • 从右到左遍历元素，构造单调递减栈（从栈顶到栈底递减）：

    • 一个元素右侧第一个比它小的元素就是将其「插入单调递减栈」时的栈顶元素。
    • 如果插入时的栈为空，则说明右侧不存在比当前元素小的元素。

上边的分类解法有点绕口，可以简单记为以下条规则：

  • 无论哪种题型，都建议从左到右遍历元素。

  • 查找 「比当前元素大的元素」 就用 单调递增栈，查找 「比当前元素小的元素」 就用 单调递减栈。

  • 从 「左侧」 查找就看 「插入栈」 时的栈顶元素，从 「右侧」 查找就看 「弹出栈」 时即将插入的元素。

3. 单调栈模板

以从左到右遍历元素为例，介绍一下构造单调递增栈和单调递减栈的模板。

3.1 单调递增栈模板

def monotoneIncreasingStack(nums):
    stack = []
    for num in nums:
        while stack and num >= stack[-1]:
            stack.pop()
        stack.append(num)

3.2 单调递减栈模板

def monotoneDecreasingStack(nums):
    stack = []
    for num in nums:
        while stack and num <= stack[-1]:
            stack.pop()
        stack.append(num)

4. 单调栈的应用

4.1 下一个更大元素 I

4.1.1 题目链接

4.1.2 题目大意

给定两个没有重复元素的数组 nums1 和 nums2 ，其中 nums1 是 nums2 的子集。

要求：找出 nums1 中每个元素在 nums2 中的下一个比其大的值。

  • nums1 中数字 x 的下一个更大元素是指： x 在 nums2 中对应位置的右边的第一个比 x 大的元素。如果不存在，对应位置输出 -1。

4.1.3 解题思路

第一种思路是根据题意直接暴力求解。遍历 nums1 中的每一个元素。对于 nums1 的每一个元素 nums1[i]，再遍历一遍 nums2，查找 nums2 中对应位置右边第一个比 nums1[i] 大的元素。这种解法的时间复杂度是 $O(n^2)$。

第二种思路是使用单调递增栈。因为 nums1 是 nums2 的子集，所以我们可以先遍历一遍 nums2，并构造单调递增栈，求出 nums2 中每个元素右侧下一个更大的元素。然后将其存储到哈希表中。然后再遍历一遍 nums1，从哈希表中取出对应结果，存放到答案数组中。这种解法的时间复杂度是 $O(n)$。具体做法如下：

  • 使用数组 res 存放答案。使用 stack 表示单调递增栈。使用哈希表 num_map 用于存储 nums2 中下一个比当前元素大的数值，映射关系为 当前元素值：下一个比当前元素大的数值。

  • 遍历数组 nums2，对于当前元素：

    • 如果当前元素值较小，则直接让当前元素值入栈。
    • 如果当前元素值较大，则一直出栈，直到当前元素值小于栈顶元素。
      • 出栈时，出栈元素是第一个大于当前元素值的元素。则将其映射到 num_map 中。

  • 遍历完数组 nums2，建立好所有元素下一个更大元素的映射关系之后，再遍历数组 nums1。

  • 从 num_map 中取出对应的值，将其加入到答案数组中。

  • 最终输出答案数组 res。

4.1.4 代码

class Solution:
    def nextGreaterElement(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> List[int]:
        res = []
        stack = []
        num_map = dict()
        for num in nums2:
            while stack and num > stack[-1]:
                num_map[stack[-1]] = num
                stack.pop()
            stack.append(num)

        for num in nums1:
            res.append(num_map.get(num, -1))
        return res

4.2 每日温度

4.2.1 题目链接

4.2.2 题目大意

描述：给定一个列表 temperatures，temperatures[i] 表示第 i 天的气温。

要求：输出一个列表，列表上每个位置代表「如果要观测到更高的气温，至少需要等待的天数」。如果之后的气温不再升高，则用 0 来代替。

说明：

  • $1 \le temperatures.length \le 10^5$。
  • $30 \le temperatures[i] \le 100$。

示例：

输入: temperatures = [73,74,75,71,69,72,76,73]
输出: [1,1,4,2,1,1,0,0]


输入: temperatures = [30,40,50,60]
输出: [1,1,1,0]

4.2.3 解题思路

题目的意思实际上就是给定一个数组，每个位置上有整数值。对于每个位置，在该位置右侧找到第一个比当前元素更大的元素。求「该元素」与「右侧第一个比当前元素更大的元素」之间的距离，将所有距离保存为数组返回结果。

最简单的思路是对于每个温度值，向后依次进行搜索，找到比当前温度更高的值。

更好的方式使用「单调递增栈」，栈中保存元素的下标。

思路 1：单调栈
  1. 首先，将答案数组 ans 全部赋值为 0。然后遍历数组每个位置元素。
  2. 如果栈为空，则将当前元素的下标入栈。
  3. 如果栈不为空，且当前数字大于栈顶元素对应数字，则栈顶元素出栈，并计算下标差。
  4. 此时当前元素就是栈顶元素的下一个更高值，将其下标差存入答案数组 ans 中保存起来，判断栈顶元素。
  5. 直到当前数字小于或等于栈顶元素，则停止出栈，将当前元素下标入栈。
  6. 最后输出答案数组 ans。
思路 1：代码
class Solution:
    def dailyTemperatures(self, T: List[int]) -> List[int]:
        n = len(T)
        stack = []
        ans = [0 for _ in range(n)]
        for i in range(n):
            while stack and T[i] > T[stack[-1]]:
                index = stack.pop()
                ans[index] = (i-index)
            stack.append(i)
        return ans
思路 1：复杂度分析
  • 时间复杂度：$O(n)$。
  • 空间复杂度：$O(n)$。

参考资料