-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
section-texto-3.html
176 lines (176 loc) · 17.2 KB
/
section-texto-3.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
<!DOCTYPE html>
<!--**************************************-->
<!--* Generated from PreTeXt source *-->
<!--* on 2020-10-25T19:41:13-04:00 *-->
<!--* *-->
<!--* https://pretextbook.org *-->
<!--* *-->
<!--**************************************-->
<html lang="en-US">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8">
<title>Un problema inconcluso, pero cada vez más interesante</title>
<meta name="Keywords" content="Authored in PreTeXt">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0, user-scalable=0, minimum-scale=1.0, maximum-scale=1.0">
<script type="text/x-mathjax-config">
MathJax.Hub.Config({
tex2jax: {
inlineMath: [['\\(','\\)']]
},
asciimath2jax: {
ignoreClass: ".*",
processClass: "has_am"
},
jax: ["input/AsciiMath"],
extensions: ["asciimath2jax.js"],
TeX: {
extensions: ["extpfeil.js", "autobold.js", "https://pretextbook.org/js/lib/mathjaxknowl.js", ],
// scrolling to fragment identifiers is controlled by other Javascript
positionToHash: false,
equationNumbers: { autoNumber: "none", useLabelIds: true, },
TagSide: "right",
TagIndent: ".8em",
},
// HTML-CSS output Jax to be dropped for MathJax 3.0
"HTML-CSS": {
scale: 88,
mtextFontInherit: true,
},
CommonHTML: {
scale: 88,
mtextFontInherit: true,
},
});
</script><script src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.5/MathJax.js?config=TeX-AMS_CHTML-full"></script><script src="https://pretextbook.org/js/lib/jquery.min.js"></script><script src="https://pretextbook.org/js/lib/jquery.sticky.js"></script><script src="https://pretextbook.org/js/lib/jquery.espy.min.js"></script><script src="https://pretextbook.org/js/0.12/pretext.js"></script><script src="https://pretextbook.org/js/0.12/pretext_add_on.js"></script><script src="https://pretextbook.org/js/lib/knowl.js"></script><link href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Open+Sans:400,400italic,600,600italic" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="https://fonts.googleapis.com/css?family=Inconsolata:400,700&subset=latin,latin-ext" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="https://pretextbook.org/css/0.2/pretext.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="https://pretextbook.org/css/0.2/pretext_add_on.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="https://pretextbook.org/css/0.2/toc.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="https://pretextbook.org/css/0.2/colors_default.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="https://pretextbook.org/css/0.2/setcolors.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<link href="https://pretextbook.org/css/0.2/features.css" rel="stylesheet" type="text/css">
<script>var logged_in = false;
var role = 'student';
var guest_access = true;
var login_required = false;
var js_version = 0.12;
</script>
</head>
<body class="mathbook-article has-toc has-sidebar-left">
<a class="assistive" href="#content">Skip to main content</a><div class="hidden-content" style="display:none">\(\newcommand{\doubler}[1]{2#1}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}
\newcommand{\amp}{&}
\)</div>
<header id="masthead" class="smallbuttons"><div class="banner"><div class="container">
<a id="logo-link" href="https://ciencia.digital.info.ve" target="_blank"><img src="./images/que_puede_hacer_un_fisico_trasparente.png" alt="Logo image"></a><div class="title-container">
<h1 class="heading"><a href="paper.html"><span class="title">El Problema de los Números Congruentes:</span> <span class="subtitle">Controversia no concluida</span></a></h1>
<p class="byline">Rommel J. Contreras G.</p>
</div>
</div></div>
<nav id="primary-navbar" class="navbar"><div class="container">
<div class="navbar-top-buttons">
<button class="sidebar-left-toggle-button button active" aria-label="Show or hide table of contents sidebar">Contents</button><div class="tree-nav toolbar toolbar-divisor-3"><span class="threebuttons"><a id="previousbutton" class="previous-button toolbar-item button" href="section-texto-2.html" title="Previous">Prev</a><a id="upbutton" class="up-button button toolbar-item" href="paper.html" title="Up">Up</a><a id="nextbutton" class="next-button button toolbar-item" href="section-texto-4.html" title="Next">Next</a></span></div>
</div>
<div class="navbar-bottom-buttons toolbar toolbar-divisor-4">
<button class="sidebar-left-toggle-button button toolbar-item active">Contents</button><a class="previous-button toolbar-item button" href="section-texto-2.html" title="Previous">Prev</a><a class="up-button button toolbar-item" href="paper.html" title="Up">Up</a><a class="next-button button toolbar-item" href="section-texto-4.html" title="Next">Next</a>
</div>
</div></nav></header><div class="page">
<div id="sidebar-left" class="sidebar" role="navigation"><div class="sidebar-content">
<nav id="toc"><ul>
<li class="link"><a href="frontmatter-1.html" data-scroll="frontmatter-1"><span class="title">Preliminar</span></a></li>
<li class="link"><a href="section-texto-1.html" data-scroll="section-texto-1"><span class="codenumber">1</span> <span class="title">Introducción</span></a></li>
<li class="link"><a href="section-texto-2.html" data-scroll="section-texto-2"><span class="codenumber">2</span> <span class="title">La congruencia entera o racional</span></a></li>
<li class="link active"><a href="section-texto-3.html" data-scroll="section-texto-3"><span class="codenumber">3</span> <span class="title">Un problema inconcluso, pero cada vez más interesante</span></a></li>
<li class="link"><a href="section-texto-4.html" data-scroll="section-texto-4"><span class="codenumber">4</span> <span class="title">Conclusión</span></a></li>
<li class="link"><a href="referencias-globales.html" data-scroll="referencias-globales"><span class="codenumber">5</span> <span class="title">Referencias</span></a></li>
<li class="link"><a href="colophon-1.html" data-scroll="colophon-1"><span class="title">Colofón</span></a></li>
</ul></nav><div class="extras"><nav><a class="mathbook-link" href="https://pretextbook.org">Authored in PreTeXt</a><a href="https://www.mathjax.org"><img title="Powered by MathJax" src="https://www.mathjax.org/badge/badge.gif" alt="Powered by MathJax"></a></nav></div>
</div></div>
<main class="main"><div id="content" class="pretext-content"><section class="section" id="section-texto-3"><h2 class="heading hide-type">
<span class="type">Section</span> <span class="codenumber">3</span> <span class="title">Un problema inconcluso, pero cada vez más interesante</span>
</h2>
<a href="section-texto-3.html" class="permalink">¶</a><p id="p-14">En la sección anterior mostramos una pequeñísima parte de los grandes esfuerzos humanos respecto al problema de los números congruentes (<a href="section-texto-2.html" class="internal" title="Section 2: La congruencia entera o racional">2</a>). En los últimos años, se han postulados resultados parciales que dependen de conjeturas ampliamente aceptadas; pero aún no demostradas, por lo tanto, no se tiene una respuesta concreta.</p>
<p id="p-15">El problema de los números congruente ha atormentado a muchos, desde antes del año 972 con Ben Alcohain hasta el año 1995 con Andrew Wiles de Cambridge. La conjetura de Taniyama-Shimura establece que cada curva elíptica puede combinarse con una forma modular; un objeto matemático que es simétrico en infinitas formas. Este descomunal avance fue posible, debido a que los matemáticos fueron construyendo sólidas bases; y allanando los espacios que iban quedando para darle solidez a todo el edificio argumentativo. Por ejemplo, los argumentos sugeridos por Frey en 1982, permitieron una ruta irrefutable que conectaba la conjetura de Taniyama-Shimura con la demostración del último teorema de Fermat. Frey propuso un contra ejemplo falso para la conjetura de Fermat <a data-knowl="./knowl/Internet6.html" title="Bibliographic Entry 5.8: Apuntes sobre una de las más importantes demostraciones de la historia de las matemáticas: El último teorema de Fermat">[5.8]</a>, argumento que de ser cierto crearía una curva que no sería modular; afortunadamente Ribet en 1986 demostró la validez argumentativa de Frey. Si el último teorema de Fermat fuese falso, entonces existiría una curva elíptica tal que no puede asociarse con ninguna forma modular y por lo tanto la conjetura de Taniyama-Shimura sería falsa. <article class="assemblage-like" id="assemblage-2"><p id="p-16">El argumento de Frey consistió en suponer que existía al menos una solución entera para la ecuación de Fermat: \(x^n + y^n = z^n\) para \(n \gt 2\text{.}\)</p>
<ul class="disc">
<li id="li-1"><p id="p-17">Si (y solo sí) el último teorema de Fermat es falso, entonces existe la solución elíptica de Frey.</p></li>
<li id="li-2"><p id="p-18">La ecuación elíptica de Frey es tan extraña que de ninguna manera puede ser modular.</p></li>
<li id="li-3"><p id="p-19">La conjetura de Taniyama-Shimura asegura que cada ecuación elíptica debe ser modular. Y si existiera solución a la curva propuesta por Frey, la conjetura de Taniyama-Shimura debe ser falsa.</p></li>
<li id="li-4"><p id="p-20">Si la conjetura de Taniyama-Shimura se puede demostrar cierta, entonces cada ecuación elíptica tiene que ser modular.</p></li>
<li id="li-5"><p id="p-21">Si cada ecuación elíptica es modular, entonces está prohibida la existencia de la ecuación elíptica de Frey.</p></li>
<li id="li-6"><p id="p-22">Si la ecuación elíptica de Frey no existe, entonces no puede haber solución a la ecuación de Fermat.</p></li>
<li id="li-7"><p id="p-23">¡Entonces el último teorema de Fermat es cierto!</p></li>
</ul></article> El mundo matemático ya conocía la tarea que tenían por delante para resolver la última conjetura de Fermat: demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura. En 1993, Andrew Wiles anuncia la verificación parcial de la conjetura de Shimura y Taniyama de 1950 (sólo para curvas elípticas <em class="emphasis">semiestables</em> en \(\mathbb{Q}\)); trabajo que corrige y expande en 1995 con ayuda de R. Taylor (<a data-knowl="./knowl/Internet1.html" title="Bibliographic Entry 5.3: Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem">[5.3]</a> y <a data-knowl="./knowl/Internet2.html" title="Bibliographic Entry 5.4: Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras.">[5.4]</a>). Esta conjetura es ahora conocida como teorema de la modularidad, ya que fue corroborado en el 2001 por un grupo de matemáticos; donde también participa Taylor <a data-knowl="./knowl/Internet3.html" title="Bibliographic Entry 5.5: On the modularity of elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises">[5.5]</a>; con el avance de Wiles de 1995, la última conjetura de Fermat (¡ahora y por siempre!) será conocida como el Teorema de Fermat-Wiles.</p>
<article class="theorem-like" id="theorem-TS"><h6 class="heading">
<span class="type">Teorema</span> <span class="codenumber">3.1</span>. <span class="title">Teorema de la Modularidad.</span>
</h6>
<p id="p-24">Para toda curva elíptica \(E\) con coeficientes racionales existe una forma modular \(f\) (de peso 2) tal que la serie \(L\) asociada a \(E\) y la serie \(L\) asociada a \(f\) coinciden. Esto equivale a que los coeficientes \(a_{p}\) asociados a la curva \(E\) (que se obtiene a partir del número de puntos de la curva módulo \(p\text{,}\) para \(p\) primo de buena reducción de \(E\)) coinciden con los coeficientes de Fourrier en el infinito de \(f\text{.}\)</p></article><article class="hiddenproof" id="proof-3"><a data-knowl="" class="id-ref" data-refid="hk-proof-3"><h6 class="heading"><span class="type">Prof.</span></h6></a></article><div id="hk-proof-3" class="hidden-content tex2jax_ignore"><article class="hiddenproof">En castellano para el vulgo: <article class="assemblage-like" id="assemblage-3"><p id="p-25"><em class="emphasis">«Las curvas elípticas de coeficientes racionales … son modulares».</em></p></article></article></div>
<p id="p-26">El mejor resultado conocido respecto al problema de los números congruentes, se debe a J.Tunnell que mostró que \(N\) es congruente si la curva elíptica generada por la ecuación cúbica Diofantina \(y^2 = x^3 - N^2x\) pasa a través de ciertos rangos de puntos sobre el plano \(\left(x,y\right)\text{;}\) específicamente puntos cuyas coordenadas \(x,y\) son números racionales y que además \(x\) satisfaga tres condiciones. Digamos que, si \(x = u/v\) entonces: i) \(u\) y \(v\) son cuadrados perfectos. ii) \(v\) es par. iii) \(u\) no tiene factor común con \(N\text{.}\) Si podemos encontrar un punto que cumpla esas propiedades, entonces podemos hallar infinitos puntos. Este resultado fue expandido por Tunnell mediante un teorema en 1983 <a data-knowl="./knowl/Internet4.html" title="Bibliographic Entry 5.6: Elliptic Curves, Modular Forms, And Their L-Functions">[5.6]</a>.</p>
<article class="theorem-like" id="theorem-Tunnell"><h6 class="heading">
<span class="type">Teorema</span> <span class="codenumber">3.2</span>. <span class="title">Tunnell, 1983.</span>
</h6>
<p id="p-27">Si \(n\) es un entero positivo, libre de cuadrados y \(n\) es el área de un triángulo rectángulo con lados racionales, entonces las siguientes cardinalidades son iguales:</p>
<div class="sidebyside"><div class="sbsrow" style="margin-left:0%;margin-right:0%;"><div class="sbspanel fixed-width" style="width:100%;justify-content:flex-start;"><table>
<tr>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
</tr>
<tr>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines">si \(n\) es impar:</td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines">\(\#\left\{\left(x,y,z\right) \in \mathbb{Z} ^{3}:n= 2x^{2} + y^{2} + 32 z^2\right\} = \)</td>
</tr>
<tr>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
</tr>
<tr>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines">\(\frac{1}{2}\#\left\{\left(x,y,z\right) \in \mathbb{Z} ^{3} :n= 2x^{2} + y^{2} + 32 z^2\right\}\)</td>
</tr>
<tr>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
</tr>
<tr>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines">si \(n\) es par:</td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines">\(\#\left\{\left(x,y,z\right) \in \mathbb{Z} ^{3}: \frac{n}{2}= 4x^{2} + y^{2} + 32 z^2\right\} = \)</td>
</tr>
<tr>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
</tr>
<tr>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines">\(\frac{1}{2}\#\left\{\left(x,y,z\right) \in \mathbb{Z} ^{3} :\frac{n}{2}= 4x^{2} + y^{2} + 8 z^2\right\}\)</td>
</tr>
<tr>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
<td class="l m b0 r0 l0 t0 lines"></td>
</tr>
</table></div></div></div></article><article class="hiddenproof" id="proof-4"><a data-knowl="" class="id-ref" data-refid="hk-proof-4"><h6 class="heading"><span class="type">Prof.</span></h6></a></article><div id="hk-proof-4" class="hidden-content tex2jax_ignore"><article class="hiddenproof"><p id="p-28">Si la <a class="external" href="https://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf" target="_blank">conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer</a> es verdadera, a la inversa, estas igualdades implican que \(n\) es un <em class="emphasis">número congruente</em> <a data-knowl="./knowl/Internet5.html" title="Bibliographic Entry 5.7: Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture (Official Problem Description)">[5.7]</a>.</p></article></div>
<article class="assemblage-like" id="assemblage-4"><p id="p-29">Lo adelantado por Taniyama, Shimura, Tunnell, Wiles y otros, respecto a la conexión entre los números congruentes y las curvas elípticas, puede resumirse en una proposición de amplio espectro (<a data-knowl="./knowl/congruente_eliptica.html" title="Proposición 3.3: Conexión del Problema de los Números Congruentes con las Curvas Elípticas">3.3</a>) que presenta su estado actual y magnifica la visión y la derrota respecto al futuro del problema de los números congruentes.</p></article><article class="theorem-like" id="congruente_eliptica"><h6 class="heading">
<span class="type">Proposición</span> <span class="codenumber">3.3</span>. <span class="title">Conexión del Problema de los Números Congruentes con las Curvas Elípticas.</span>
</h6>
<p id="p-30">El número \(N > 0 \) es congruente si y solo si la curva \(y^2 = x^3 - N^2x\) tiene un punto \(\left(x,y\right)\) con \(x,y \in \mathbb{Q}\) para todo \(y\neq 0\text{.}\) Más precisamente, si existe una correspondencia biunívoca \(C_{n} \leftrightarrow E_{n} \) entre los siguientes conjuntos algebráicos: <div class="displaymath" id="p-31">
\begin{equation*}
C_{n} = \left\{\left(a,b,c\right) : a^{2}+b^2=c^2, \quad \frac{ab}{2}=N \right\}
\end{equation*}
</div> <div class="displaymath" id="p-32">
\begin{equation*}
E_{n} = \left\{\left(x,y\right) : y^{2}=x^3-N^2x, \quad y\neq 0 \right\}
\end{equation*}
</div></p></article></section></div></main>
</div>
<div class="login-link"><span id="loginlogout" class="login">login</span></div>
<script src="https://pretextbook.org/js/0.12/login.js"></script>
</body>
</html>