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<title>La congruencia entera o racional</title>
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<h1 class="heading"><a href="paper.html"><span class="title">El Problema de los Números Congruentes:</span> <span class="subtitle">Controversia no concluida</span></a></h1>
<p class="byline">Rommel J. Contreras G.</p>
</div>
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<nav id="toc"><ul>
<li class="link"><a href="frontmatter-1.html" data-scroll="frontmatter-1"><span class="title">Preliminar</span></a></li>
<li class="link"><a href="section-texto-1.html" data-scroll="section-texto-1"><span class="codenumber">1</span> <span class="title">Introducción</span></a></li>
<li class="link active"><a href="section-texto-2.html" data-scroll="section-texto-2"><span class="codenumber">2</span> <span class="title">La congruencia entera o racional</span></a></li>
<li class="link"><a href="section-texto-3.html" data-scroll="section-texto-3"><span class="codenumber">3</span> <span class="title">Un problema inconcluso, pero cada vez más interesante</span></a></li>
<li class="link"><a href="section-texto-4.html" data-scroll="section-texto-4"><span class="codenumber">4</span> <span class="title">Conclusión</span></a></li>
<li class="link"><a href="referencias-globales.html" data-scroll="referencias-globales"><span class="codenumber">5</span> <span class="title">Referencias</span></a></li>
<li class="link"><a href="colophon-1.html" data-scroll="colophon-1"><span class="title">Colofón</span></a></li>
</ul></nav><div class="extras"><nav><a class="mathbook-link" href="https://pretextbook.org">Authored in PreTeXt</a><a href="https://www.mathjax.org"><img title="Powered by MathJax" src="https://www.mathjax.org/badge/badge.gif" alt="Powered by MathJax"></a></nav></div>
</div></div>
<main class="main"><div id="content" class="pretext-content"><section class="section" id="section-texto-2"><h2 class="heading hide-type">
<span class="type">Section</span> <span class="codenumber">2</span> <span class="title">La congruencia entera o racional</span>
</h2>
<a href="section-texto-2.html" class="permalink">¶</a><article class="definition-like" id="numero-congruente"><h6 class="heading">
<span class="type">Definición</span> <span class="codenumber">2.1</span>. <span class="title">Número Congruente.</span>
</h6>
<p id="p-3">Decimos que un número es congruente si existe un triángulo recto cuyos lados son números racionales con área igual a \(n\) para \((n \geq 1)\text{.}\)</p></article><p id="p-4">El triángulo rectángulo ayuda a geometrizar esta definición: para un triángulo recto de lados \((a, b, c)\text{,}\) donde \(a,b\) son los catetos y \(c\) la hipotenusa se cumple la ecuación \(a^2 + b^2 = c^2 \text{;}\) atribuida a Pitágoras de Samos, aunque ya era conocida por los matemáticos en Babilonia un milenio antes de él <a data-knowl="./knowl/blog-2.html" title="Bibliographic Entry 5.2">[5.2]</a>.</p>
<p id="p-5">Fermat plantea el teorema de la suma de dos cuadrados mostrando una conexión sorprendente entre cuadrados y números primos, Ejem: el número primo \(5 = 2^2+1^2 = 4 \times 1+1\text{.}\) <article class="theorem-like" id="theorem-FSC"><h6 class="heading">
<span class="type">Teorema</span> <span class="codenumber">2.2</span>. <span class="title">Suma de dos Cuadrados.</span>
</h6>
<p id="p-6">Un número primo \(P\) es una suma de dos cuadrados si y solo si: \(P = 2\) o \(P=4N+1\text{,}\) para algunos \(N \geq 1\text{.}\)</p></article><article class="hiddenproof" id="proof-1"><a data-knowl="" class="id-ref" data-refid="hk-proof-1"><h6 class="heading"><span class="type">Prof.</span></h6></a></article><div id="hk-proof-1" class="hidden-content tex2jax_ignore"><article class="hiddenproof"><p id="p-7">Se le deja al lector ...estudiar la forma modular.</p></article></div></p>
<article class="assemblage-like" id="assemblage-1"><p id="p-8">El teorema sobre la <a data-knowl="./knowl/theorem-FSC.html" title="Teorema 2.2: Suma de dos Cuadrados">Suma de dos Cuadrados</a> fue luego generalizado por Gauss como la ley de reciprocidad cuadrática.</p></article><p id="p-9"><article class="theorem-like" id="theorem-QR"><h6 class="heading">
<span class="type">Teorema</span> <span class="codenumber">2.3</span>. <span class="title">Ley de Reciprocidad Cuadrática.</span>
</h6>
<p id="p-10">Dado un número entero \(A\text{,}\) es posible determinar cuándo \(A\) es congruente con el cuadrado de un entero \(x\text{:}\) \(\ A \equiv x^2(mod\ P)\text{.}\)</p></article><article class="hiddenproof" id="proof-2"><a data-knowl="" class="id-ref" data-refid="hk-proof-2"><h6 class="heading"><span class="type">Prof.</span></h6></a></article><div id="hk-proof-2" class="hidden-content tex2jax_ignore"><article class="hiddenproof"><p id="p-11">Sea \(A\) un entero no divisible por \(P\text{.}\) Decimos que A es un residuo cuadrático \((mod \ P)\text{,}\) si \(A \equiv x^2(mod \ P)\text{.}\)</p></article></div></p>
<p id="p-12">Puede existir un triángulo recto de catetos con valores enteros, cuya área tenga un valor entero. Sin embargo, para ciertos valores de áreas enteras, no es posible construir triángulos rectángulos con catetos enteros. Por ejemplo, no existe un triángulo de lados enteros con área \(a = 5\) (aunque \(5\) es un número congruente). Pero, si los lados del triángulo rectángulo tienen valores en el campo de los números racionales, se verifica que \(5\) es un número congruente en concordancia con la definición de <a data-knowl="./knowl/numero-congruente.html" title="Definición 2.1: Número Congruente">Número Congruente</a>. Ejemplo, el triángulo recto construido con los resultados racionales aportados por Fibonacci \((3/2, 20/3, 41/6)\) tiene área \(a =5\text{.}\)</p>
<p id="p-13">La generalización de la definición de número congruente, no excluye a elementos del campo de los números racionales, aunque sí a los pertenecientes a los irracionales. En general, Alfred Wiles demostró en 1995 (por reducción al absurdo) que la última conjetura de Fermat es correcta para el campo de los números enteros <a data-knowl="./knowl/Internet1.html" title="Bibliographic Entry 5.3: Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem">[5.3]</a>.</p></section></div></main>
</div>
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