-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Analysis-1.tex
724 lines (638 loc) · 34.9 KB
/
Analysis-1.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
% Analysis 1 Formelsammlung
% B.Sc. Elektrotechnik und Informationstechnik, TUM, 1. Semester
% Dokumenteinstellungen
% ======================================================================
% Dokumentklasse (Schriftgröße 6, DIN A4, Artikel)
\documentclass[6pt,a4paper]{scrartcl}
% Pakete laden
\usepackage[utf8]{inputenc} % Zeichenkodierung: UTF-8 (für Umlaute)
\usepackage[german]{babel} % Deutsche Sprache
\usepackage{multicol} % Spaltenpaket
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{esint} % erweiterte Integralsymbole
\usepackage{multicol} % ermöglicht Seitenspalten
\usepackage{wasysym} % Blitz
\usepackage{graphicx}
% Seitenlayout und Ränder:
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper,landscape, left=6mm,right=6mm, top=0mm, bottom=3mm,includeheadfoot}
% UPDATE WITHOUT CLASS CHANGE
% ----------------------------------------------------------------------
% LastPage
\usepackage{lastpage}
% Allow hyperlinks
\RequirePackage[pagebackref=true,pdfpagelabels]{hyperref}
% Colors
\RequirePackage{latex4ei/latex4ei_colors}
\colorlet{col_link}{tum_blue_dark}
\hypersetup{
colorlinks=true,
linkcolor=col_link,
urlcolor=col_link,
citecolor=col_link,
}
% set pdfoptions
\AtBeginDocument{
\hypersetup{
pdftitle={Analysis 1},
pdfauthor={Lukas Kompatscher},
pdfcreator={LaTeX4EI template (www.latex4ei.de)},
pdfkeywords={latex4ei}
}
}
% Date with git commit number
\newcommand{\themydate}{\today} % Default URL placeholder
\newcommand{\mydate}[1]{\renewcommand{\themydate}{#1}}
% Header and Footer
\RequirePackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\AtBeginDocument{
\IfFileExists{git.id}{\input{git.id}}{}
\ifdefined\GitNiceDate\mydate{\GitNiceDate\ (git \GitRevision)}\fi
\ifdefined\GitIssuesURL
\ifdefined\setissueslinkurl
\setissueslinkurl{\GitIssuesURL} % Set the actual URL
\fi
\fi
}
% Define Email
\providecommand{\email}[1]{\href{mailto:#1}{\nolinkurl{#1}}}
%
\fancyfoot[C]{von Lukas Kompatscher\ -- Mail: \email{[email protected]}}
\fancyfoot[R]{Stand: \themydate \qquad \thepage/\pageref{LastPage}}
\fancyfoot[L]{Homepage: \url{www.latex4ei.de} -- Fehler bitte \emph{sofort} \href{\issueslinkurl}{melden}.}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.0pt} %obere Linie ausblenden
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} %obere Linie ausblenden
\newcommand{\issueslinkurl}{https://github.com/latex4ei/Allgemein/issues} % Default URL placeholder
\newcommand{\setissueslinkurl}[1]{\renewcommand{\issueslinkurl}{#1}}
% ----------------------------------------------------------------------
% Schriftart SANS für bessere Lesbarkeit bei kleiner Schrift
\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
% Custom Commands
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
\newcommand{\me}[1]{\ensuremath{\left\{#1\right\}}}
\newcommand{\dme}[2]{\ensuremath{\left\{#1\,\vert\,#2 \right\}}}
\newcommand{\abs}[1]{\ensuremath{\left\vert#1\right\vert}}
\newcommand{\un}[1]{\; \unit{#1} }
\newcommand{\unf}[2]{\;\left[ \unitfrac{#1}{#2} \right]}
\newcommand{\norm}[2][\relax]{\ifx#1\relax \ensuremath{\left\Vert#2\right\Vert}\else \ensuremath{\left\Vert#2\right\Vert_{#1}}\fi}
\newcommand{\enbrace}[1]{\ensuremath{\left(#1\right)}}
\newcommand{\nira}[1]{\ensuremath{\overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}}}
\newcommand{\os}[2]{\ensuremath{\overset{#1}{#2}}}
\makeatletter
\newcommand{\Ra}[0]{\ensuremath{\Rightarrow}}
\newcommand{\ra}[0]{\ensuremath{\rightarrow}}
\newcommand{\gk}[1]{\ensuremath{\left\lfloor#1\right\rfloor}}
\newcommand{\sprod}[2]{\ensuremath{%
\setbox0=\hbox{\ensuremath{#2}}
\dimen@\ht0
\advance\dimen@ by \dp0
\left\langle #1\rule[-\dp0]{0pt}{\dimen@},#2\right\rangle}}
%Custom functions
\DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}
% Dokumentbeginn
% ======================================================================
\begin{document}
%\section{}
% ----------------------------------------------------------------------
% Aufteilung in Spalten
\begin{multicols*}{4}
\parbox{2.3cm}{
\includegraphics[height=2cm]{./img/Logo.pdf}
}
\parbox{4cm}{
\huge{\textbf{Analysis 1}}
}
\subsection{Allgemeines} % (fold)
\label{sub:allgemeines}
Dreiecksungleichung \qquad \qquad \qquad
\begin{math}\begin{array}{l}
\abs{x + y} \le \abs{x} + \abs{y} \\
\abs{\abs{x}- \abs{y}} \le \abs{x-y}
\end{array}\end{math} \\
Cauchy-Schwarz-Ungleichung: \qquad
\begin{math}\begin{array}{l}
\left| \sprod{x}{y} \right| \le \| x\| \cdot \| y\|
\end{array}\end{math} \\
\\
Arithmetische Summenformel \qquad
\begin{math}\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^{n}k = \frac{n (n+1)}{2}
\end{array}\end{math} \\
\\
Geometrische Summenformel \qquad
\begin{math}\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 0}^{n}q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}
\end{array}\end{math}\\
\\
Bernoulli-Ungleichung \qquad \qquad \quad
\begin{math}\begin{array}{l}
(1+a)^n \ge 1 + na
\end{array}\end{math}\\
\\
Binomialkoeffizient \qquad \qquad \qquad
\begin{math}\begin{array}{l}
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \\
\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1
\end{array}\end{math}\\
\\
Binomische Formel \qquad \qquad \qquad
\begin{math}\begin{array}{l}
(a+b)^n = \sum\limits_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}
\end{array}\end{math} \\
\\
Äquivalenz von Masse und Energie
\begin{math}\begin{array}{l}
E = mc^2
\end{array}\end{math}\\
\\
Wichtige Zahlen: $\sqrt{2} = 1,41421$\quad $\pi=$ ist genau 3 \quad $e = 2,71828$ \quad $\pi = 3,14159$
\paragraph{Fakultäten} % (fold)
\label{par:fakultaeten}
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$ \qquad $0! = 1! = 1$
% paragraph fakultäten (end)
% subsubsection subsection_name (end)
% subsection allgemeines (end)
\subsection{Mengen}
% ----------------------------------------------------------------------
Eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Elemente zu einer Menge\\
explizite Angabe: $A=\{1;2;3\}$\\
Angabe durch Eigenschaft: $A=\{n\in\mathbb N\ \vert\ 0<n<4\}$
\subsubsection{Für alle Mengen A,B,C gilt:}
\begin{enumerate}\itemsep-1pt
\item $\emptyset \subseteq B $
\item $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$
\item $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$\\
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
\end{enumerate}
$\mathbb Q=\{\frac{p}{q}\ \vert\ p\in\mathbb Z; q\in\mathbb N\}$\\
\\
Jede rationale Zahl $\frac m n \in \mathbb Q$ hat ein Dezimaldarstellung.\\
$0,25\overline{54} =: a \rightarrow 10000a - 100a = 2554 -25 \Rightarrow a(9900) = 2529 \qquad \Rightarrow a = \frac{2529}{9900} = \frac{281}{1100}$
\subsection{Vollständige Induktion}
Behauptung: $f(n)=g(n)$ für $n_0 \le n \in \mathbb N$\\
IA: $n=n_0$: \quad Zeige $f(n_0)=g(n_0)$.\\
IV: Annahme $f(n)=g(n)$ gilt für ein beliebiges $n\in\mathbb N$\\
IS: $n \rightarrow n+1$: \quad Zeige $f(n+1)=\underset{=wahr}{f(n)} \dotsc=g(n+1)$
\subsection{Komplexe Zahlen}
% ----------------------------------------------------------------------
Eine komplexe Zahl $z=a+b\mathbf{i},\ z\in \mathbb C, \quad a,b \in \mathbb R$ besteht aus einem Realteil $\Re(z)=a$ und einem Imaginärteil $\Im(z)=b$, wobei $\mathbf{i}=\sqrt{-1}$ die immaginären Einheit ist.
Es gilt: \quad $i^2 = -1$ \quad $i^4 = 1$
\subsubsection{Kartesische Koordinaten}
Rechenregeln:\\
$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\mathbf{i}$\\
$z_1\cdot z_2=(a_1\cdot a_2-b_1\cdot b_2)+(a_1\cdot b_2+a_2\cdot b_1)\mathbf{i}$\\
\\
Konjugiertes Element von $z=a+b\mathbf{i}$:\\
$\overline{z}=a-b\mathbf{i}$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $e^{\overline{ix}} = e^{-ix}$ \\
$z\overline{z}=|z|^2=a^2+b^2$\\
\\
Inverses Element:\\
$z^{-1}=\frac{1}{z}\frac{\overline z}{\overline z z}=\frac{\overline z}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}\mathbf{i}$
\subsubsection{Polarkoordinaten}
$z=a+b\mathbf{i}\ne0$\ in Polarkoordinaten:\\
$z=r (\cos(\varphi)+\mathbf{i}\sin(\varphi))=r\cdot e^{\mathbf{i} \varphi}$\\
$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\quad\varphi=\arg(z)=\begin{cases}+\arccos \left( \frac{a}{r}\right), & b\ge0 \\ -\arccos \left( \frac{a}{r}\right), & b<0\end{cases}$
\begin{description}\itemsep0pt
\item[Multiplikation:] $z_1\cdot z_2=r_1 \cdot r_2 ( \cos ( \varphi_1 + \varphi_2) + \mathbf{i} \sin (\varphi_1 + \varphi_2))$
\item[Division:] $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2} ( \cos ( \varphi_1 - \varphi_2) + \mathbf{i} \sin (\varphi_1 - \varphi_2))$
\item[n-te Potenz:] $z^n=r^n\cdot e^{n\varphi \mathbf{i}}= r^n (\cos (n \varphi) + \mathbf{i} \sin (n \varphi))$
\item[n-te Wurzel:] $\sqrt[n]{z}= z_k = \sqrt[n]{r} \left(\cos \left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right) + \mathbf{i} \sin \left(\frac{\varphi + 2k\pi}{n}\right)\right) \\ k =0,1, \ldots, n-1$
\item[Logarithmus:] $\ln(z)=\ln(r) + \mathbf{i}(\varphi + 2k\pi)$ \quad (Nicht eindeutig!)
\end{description}
Anmerkung: Addition in kartesische Koordinaten umrechnen(leichter)!
\subsection{Funktionen}
Eine Funktion $f$ ist eine Abbildung, die jedem Element $x$ einer Definitionsmenge $D$ genau ein Element $y$ einer Wertemenge $W$ zuordnet.\\
$f:D\rightarrow W,\ x \mapsto f(x):=y$\\
\\
\textbf{Injektiv}: $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$\\
\textbf{Surjektiv}: $\forall y\in W \exists x\in D:f(x)=y$\\ \quad (Alle Werte aus $W$ werden angenommen.)\\
\textbf{Bijektiv}(Eineindeutig): $f$ ist injektiv und surjektiv $\Rightarrow$ $f$ umkehrbar. \\
\textbf{Ableitung der Umkehrfunktion} \\
$f$ stetig, streng monoton, an $x_0$ diff'bar und $y_0=f(x_0) \\
\Rightarrow \enbrace{f^{-1}}(y_0)= \frac{1}{f'(x_0)} =\frac{1}{f'(f^{-1}\enbrace{y_0})}$
\subsubsection{Symmetrie einer Funktion $f$}
\textbf{Achsensymmetrie} (gerade Funktion): $f(-x)=f(x)$\\
\textbf{Punktsymmetrie} (ungerade Funktion): $f(-x)=-f(x)$\\
\\
Regeln für gerade Funktion $g$ und ungerade Funktion $u$:\\
$g_1 \pm g_2 = g_3$ \qquad $u_1 \pm u_2 = u_3$\\
$g_1 \cdot g_2=g_3$ \qquad $u_1 \cdot u_2 = g_3$ \qquad $u_1 \cdot g_1=u_3$
\subsubsection{Kurvendiskussion von $f: I = [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$}
\textbf{Kandidaten für Extrama (lokal, global)}
\begin{enumerate}\itemsep0pt
\item Randpunkte von $I$
\item Punkte in denen $f$ nicht diffbar ist
\item Stationäre Punkte ($f'(x)=0$) aus $(a,b)$
\end{enumerate}
\textbf{Lokales Maximum} \\
wenn $x_0$ stationärer Punkt ($f'(x_0) = 0$) und
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item
$f''(x_0)<0$ oder
\item
$f'(x) > 0, x \in (x_0-\varepsilon, x_0) \\
f'(x) < 0, x \in (x_0, x_0+\varepsilon)$
\end{itemize}
\textbf{Lokales Minimum} \\
wenn $x_0$ stationärer Punkt ($f'(x_0) = 0$) und
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item
$f''(x_0)>0$ oder
\item
$f'(x) < 0, x \in (x_0-\varepsilon, x_0) \\
f'(x) > 0, x \in (x_0, x_0+\varepsilon)$
\end{itemize}
%$f'(x_0) = 0 \quad \begin{cases}f''(x_0)<0 \ \rightarrow \ \text{Maximum (lokal)} \\ f''(x_0)>0 \ \rightarrow \ \text{Minimum (lokal)} \end{cases} $\\
\textbf{Monotonie} \\
$f'(x) \underset{(>)}{^{\ge}} 0 \rightarrow$ \ $f$ (streng) Monoton steigend, $x\in(a,b)$\\
$f'(x) \underset{(<)}{^{\le}} 0 \rightarrow$ \ $f$ (streng) Monoton fallend, $x\in(a,b)$\\
\textbf{Konvex/Konkav} \\
$f''(x) \underset{(>)}{^{\ge}} 0 \ \rightarrow$ \ $f$ (strikt) konvex, $x\in(a,b)$\\
$f''(x) \underset{(<)}{^{\le}} 0 \ \rightarrow$ \ $f$ (strikt) konkav, $x\in(a,b)$\\
$f''(x_0)=0 \text{ und } f'''(x_0) \ne 0 \rightarrow x_0$ Wendepunkt \\
$f''(x_0)=0 \text{ und Vorzeichenwechseln an } x_0 \rightarrow x_0$ Wendepunkt \\
\subsubsection{Asymptoten von $f$}
Horizontal: $c=\lim\limits_{x\ra \pm \infty} f(x)$\\
Vertikal: $\exists \text{ Nullstelle } a \text{ des Nenners }: \lim\limits_{x \rightarrow a^{\pm}} f(x) = \pm \infty$\\
Polynomasymptote $P(x)$: $f(x):=\frac{A(x)}{Q(x)}=P(x)+ \underset{\ra 0}{\frac{B(x)}{Q(x)}}$ \\
\subsubsection{Wichtige Sätze für \underline{stetige} Fkt. $f: [a,b] \rightarrow \mathbb R, f \mapsto f(x)$ }
\textbf{Zwischenwertsatz:} $\forall y \in [f(a),f(b)]\ \exists x\in [a,b]:f(x)=y$\\
\textbf{Satz von Rolle:} Falls $f(a)=f(b)$, dann $\exists x_0: f' (x_0) = 0$\\
\textbf{Mittelwertsatz:} Falls $f$ diffbar, dann $\exists x_0:f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$\\
\textbf{Regel von L'Hospital}:\\ $\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \left[ \frac{0}{0} \right] / \left[ \frac{\infty}{\infty} \right] \rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
% ----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Polynome $P(x)\in\mathbb R[x]_n$}
$P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\dotsc+a_1x+a_0$ \\
Lösungen für $ax^2+bx+c=0$ \\
\begin{tabular}{l|l}
\textbf{Mitternachtsformel}: & Satz von Vieta:\\
$x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ \quad & \quad $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$
\end{tabular}
\subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
$f(t)=A\cdot \cos(\omega t + \varphi_0)=A\cdot \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}+ \varphi_0)$
\begin{eqnarray*}
\sin (-x) = -\sin (x) \quad & \quad \cos (-x) = \cos (x) \\
\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \quad & \quad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \\
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x) \quad & \quad e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x) \\
\sin(x)=\frac{1}{2i}\enbrace{e^{ix}-e^{-ix}} \quad & \quad \cos(x)=\frac{1}{2}\enbrace{e^{ix}+e^{-ix}} \\
\sinh(x)=\frac{1}{2}(-e^{-x}+e^x) & \cosh(x)=\frac{1}{2}(e^{-x}+e^x)
\end{eqnarray*}
\paragraph{Additionstheoreme} % (fold)
\label{par:additionstheoreme}
\begin{eqnarray*}
& \cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \\
& \cos \enbrace{x - \frac{\pi}{2}} = \sin x \qquad \quad \sin \enbrace{x + \frac{\pi}{2}} = \cos x \\
& \sin \enbrace{x + y} = \sin x \cos y + \cos x \sin y \\
& \sin 2x = 2 \sin x \cos x \\
& \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1\\
\end{eqnarray*}
% paragraph additionstheoreme (end)
\hspace{-20pt}
\scalebox{0.77}
{
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & 0& 30 & 45& 60 & 90 & 120 & 135& 150& 180 & 270 & 360 \\ \hline
x & 0 & \pi / 6 & \pi / 4 & \pi / 3 & \pi / 2 & \frac{2}{3}\pi& \frac{3}{4}\pi& \frac{5}{6}\pi& \pi & \frac{3}{2}\pi & 2 \pi \\ \hline
\sin & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt 3}{2} & 1 & \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 \\
\cos & 1 & \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{\sqrt 3}{2} & -1 & 0 & 1 \\
\tan & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3}&1 &\sqrt{3} & \lightning & -\sqrt{3}& -1& -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \lightning & 0\\
\end{array}$
}
\subsubsection{Potenzen/Logarithmus}
\begin{equation*}
\ln(u^r)=r\ln u
\end{equation*}
\subsection{Folgen}
% ----------------------------------------------------------------------
Eine Folge ist eine Abbildung $a: \mathbb N_0 \rightarrow \mathbb R,\ n \rightarrow a(n) =: a_n$\\
explizite Folge: $(a_n)$ mit $a_n=a(n)$\\ rekursive Folge: $(a_n)$ mit $a_0=f_0,\ a_{n+1}=a(a_n)$\\
\subsubsection{Monotonie}
Im Wesentlichen gibt es 3 Methoden zum Nachweis der Monotonie.\\
Für \textbf{(streng) monoton fallend} gilt:
\begin{enumerate}\itemsep0pt
\item $a_{n+1} - a_n \underset{(<)}{^{\le}} 0$
\item $\frac{a_n}{a_{n+1}} \underset{(>)}{^{\ge}} 1$ \qquad $\lor$ \qquad $\frac{a_{n+1}}{a_n} \underset{(<)}{^{\le}} 1$
\item Vollständige Induktion: $\forall n \in \mathbb{N}: a_{n+1}\underset{(<)}{^{\le}} a_n$
\end{enumerate}
\subsubsection{Konvergenz}
$(a_n)$ ist \emph{Konvergent} mit \emph{Grenzwert} $a$, falls: $\forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb N_0: \abs{a_n -a} < \epsilon \ \forall n \ge N$\\
Eine Folge konvergiert gegen eine Zahl $a$:\ $(a_n) \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a$
\paragraph{Es gilt:}
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item Der Grenzwert a einer Folge $(a_n)$ ist eindeutig.
\item Ist $(a_n)$ Konvergent, so ist $(a_n)$ beschränkt
\item Ist $(a_n)$ unbeschränkt, so ist $(a_n)$ divergent.
\item \emph{Das Monotoniekriterium}: Ist $(a_n)$ beschränkt und monoton, so konvergiert $(a_n)$
\item \emph{Das Cauchy-Kriterium:} Eine Folge $(a_n)$ konvergiert gerade dann, wenn: \\ $\forall \epsilon >0 \, \exists \, N \in \mathbb N_0: \abs{a_n - a_m} < \epsilon \, \forall n, m \ge N$
\end{itemize}
Regeln für konvergente Folgen $(a_n) \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a$ und $(b_n) \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} b$:\\
$\begin{array}{lll}
(a_n+b_n) \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} a+b & (a_n b_n) \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} ab & (\frac{a_n}{b_n}) \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{a}{b}\\
(\lambda a_n) \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \lambda a & (\sqrt{a_n}) \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \sqrt{a} & (|a_n|) \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} |a|
\end{array}$
\paragraph{Grenzwert bestimmen:}
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item Wurzeln: Erweitern mit binomischer Formel
\item Brüche: Zähler und Nenner durch den Koeffizient höchsten Grades teilen
\item Rekursive Folgen: Fixpunkte berechnen. Fixpunkte sind mögliche Grenzwerte. Monotonie durch Vergleich $a_{n+1}$ und $a_n$ zeigen. Beschränktheit mit Induktion beweisen.
\end{itemize}
\subsubsection{Wichtige Regeln}
$a_n=q^n \quad \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \quad \begin{cases} 0 & |q|<1 \\ 1 & q=1 \\ \pm \infty & q < -1 \\ + \infty & q > 1\end{cases}$ \\
$a_n=\frac{1}{n^k}\rightarrow 0$ \qquad $\forall k \ge 1$\\
$a_n=\left(1+\frac{c}{n}\right)^n \rightarrow e^c$ \\
$a_n=n\left(c^{\frac1{n}}-1\right) = \ln c$\\
$a_n=\frac{n^2}{2^n}\ra 0$ \qquad \qquad \qquad ($2^n \ge n^2$ \quad $\forall n\ge 4$) \\
$\lim\limits_{n\to\infty}n^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$
\subsubsection{Limes Inferior und Superior}
Der Limes superior einer Folge $x_n \subset \mathbb{R}$ ist der größte Grenzwert konvergenter Teilfolgen $x_{n_k}$ der Folge ${x_n}$ \\ \\
Der Limes inferior einer Folge $x_n \subset \mathbb{R}$ der kleinste Grenzwert konvergenter Teilfolgen $x_{n_k}$ der Folge $x_n$
\subsection{Reihen}
% ----------------------------------------------------------------------
\begin{eqnarray*}
\underset{\text{Harmonische Reihe}}{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty} \qquad \qquad \qquad \qquad \underset{\text{Geometrische Reihe}}{\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}} \qquad |q|<1
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha} = \begin{cases} \text{konvergent}, & \alpha > 1 \\ \text{divergent}, & \alpha \le 1 \end{cases} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
\end{eqnarray*}
\subsubsection{Konvergenzkriterien}
$\sum^{\infty}_{n = 0} a_n$ divergiert, falls $a_n \not \rightarrow 0$ oder\\
Minorante:$\exists \sum^{\infty}_{n = 0} b_n (divergiert) \quad \land \quad a_n \ge b_n \quad \forall n\ge n_0$\\[0.6em]
$\sum^{\infty}_{n = 0}(-1)^n a_n$ konvergiert, if $(a_n)$ monoton fallende Nullfolge (Leibnitz)\\
oder Majorante: $\exists \sum^{\infty}_{n = 0} b_n = b \quad \land \quad a_n \le b_n \quad \forall n\ge n_0$\\
\\
Absolute Konvergenz($\sum^\infty_{n=0} |a_n|=a$ konvergiert), falls:\\
1. Majorante: $\exists \sum^{\infty}_{n = 0} b_n = b \quad \land \quad |a_n| \le b_n \quad \forall n\ge n_0$\\
2. Quotienten und Wurzelkriterium (BETRAG nicht vergessen!)
\begin{eqnarray*}
\rho := \lim_{n \rightarrow \infty} \abs{\frac{a_{n+1}}{a_n}} \qquad \lor \qquad \rho := \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\abs{a_n}} \qquad \forall n > N\\
\text{Falls}
\begin{cases}
\rho < 1 \Ra ~\sum^\infty_{n=0} a_n \text{ konvergiert absolut} \\
\rho > 1 \Ra ~\sum^\infty_{n=0} a_n \text{ divergiert} \\
\rho = 1 \Ra ~\sum^\infty_{n=0} a_n \text{ keine Aussage möglich}
\end{cases}
\end{eqnarray*}
\\
Jede absolute konvergente Reihe ($\sum^\infty_{n=0} |a_n|$) ist konvergent ($\sum^\infty_{n=0} a_n$)
\subsection{Potenzreihen} % (fold)
% ----------------------------------------------------------------------
\begin{equation*}
f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (x-c)^n
\end{equation*}
\subsubsection{Konvergenzradius}
$R = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\abs{a_n}}}$ \\
$R =\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\abs{a_n}}}$ \\ \\
$f(x)\begin{cases}
\text{konvergiert absolut} & \abs{x-c} < R \\
\text{divergiert} & \abs{x-c} > R \\
\text{keine Aussage möglich} & \abs{x-c} = R
\end{cases}$\\ \\
Bei reellen Reihen gilt: \\
$\Ra x$ konvergiert im offenen Intervall $I=(c-R,c+R)$ \\
$\Ra$ Bei $x=c-R$ und $x=c+R$ muss die Konvergenz zusätzlich überprüft werden.\\\\
Substitution bei $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^{\lambda n}$ \\
$w=x^\lambda \rightarrow x=w^\frac{1}{\lambda}$
$\rightarrow R=\left(R_w\right)^\frac{1}{\lambda}$
%-----------------------------------------
%Konvergenz:\\
%$\abs{\frac{a_{n+1} (x-a)^{n+1}}{a_n (x-a)^n}} = \abs{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\abs{x-a} \overset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} q \cdot \abs{x -a}$\\
%Konvergenzradius: $R=\frac{1}{q}$\\
%-----------------------------------------
\subsubsection{Wichtige Potenzreihen}
\label{sub:potenzreihen}
\begin{equation*}
e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \lim\limits_{n\to\infty}\enbrace{1+\frac{x}{n}}^n
\end{equation*}
\begin{equation*}
e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\sin (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n +1}}{(2n +1)!} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \\
\end{equation*}
\begin{equation*}
\cos (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\\
\end{equation*}
% subsection potenzreihen (end)
\subsection{Ableitung und Integral}
$f$ diffbar, falls $f$ stetig und $\underset{h\rightarrow 0}{\lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)$ exist.
\subsubsection{Ableitungsregeln:}
Linearität: $(\lambda f + \mu g)' (x) = \lambda f'(x) + \mu g'(x)$ \quad $\forall \lambda, \mu \in \mathbb R$ \\
Produktregel: $(f \cdot g)' = f' g + f g'$\\
Quotientenregel $\enbrace{\frac{f}{g}}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$\\
Kettenregel: $\left( f(g(x)) \right)' = f'(g(x)) g'(x)$\\
Potenzreihe: $f: ] \underbrace{-R+a, a+R}_{\subseteq D} [ \rightarrow \mathbb R, f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x -a)^n$ \quad $\Rightarrow$ \quad $f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n a_{n} (x-a)^{n-1}$\\
\textbf{Tangentengleichung:} $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
\subsubsection{Newton-Verfahren:}
$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ mit Startwert $x_0$
\subsubsection{Integrationsmethoden:}
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item Anstarren + Göttliche Eingebung
\item Partielle Integration: $\int uv'=uv-\int u'v$
\item Substitution: $\int f(\underbrace {g(x)}_{t}) \underbrace {g'(x)\,\mathrm dx}_{\mathrm dt}=\int f(t)\, \mathrm dt$
\item Logarithmische Integration: $\int \frac{g'(x)}{g(x)}dx=\ln\abs{g(x)}$
\item Integration von Potenzreihen: $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-a)^k$ \\
Stammfunktion: $F(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{k+1}(x-a)^{k+1}$
\item Brechstange: $t=\tan(\frac{x}{2})$ \quad $\mathrm dx = \frac{2}{1+t^2} \mathrm dt$ \\ $\sin(x) \rightarrow \frac{2t}{1+t^2}$ \qquad $\cos(x) \rightarrow \frac{1-t^2}{1+t^2}$
\end{itemize}
\subsubsection{Integrationsregeln}
$\int_a^b f(x) \mathrm dx = F(b) - F(a)$\\
$\int\lambda f(x)+\mu g(x) \, \mathrm dx=\lambda\int f(x) \, \mathrm dx + \mu\int g(x) \, \mathrm dx$
\everymath{\displaystyle} % Formeln ab hier groß Schreiben
\begin{math}\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{array}{c|c|c}
F(x) & f(x) & f'(x) \\ \hline
\frac{1}{q+1}x^{q+1} & x^q & qx^{q-1} \\
\raisebox{-0.2em}{$\frac{2\sqrt{ax^3}}{3}$} & \sqrt{ax} & \raisebox{0.2em}{$\frac{a}{2\sqrt{ax}}$}\\
x\ln(ax) -x & \ln(ax) & \textstyle \frac{1}{x}\\
e^x & e^x & e^x \\
\frac{a^x}{\ln(a)} & a^x & a^x \ln(a) \\
-\cos(x) & \sin(x) & \cos(x)\\
\sin(x) & \cos(x) & -\sin(x)\\
-\ln |\cos(x)| & \tan(x) & \frac{1}{\cos^2(x)} \\
\ln |\sin(x)| & \cot(x) & \frac{-1}{\sin^2(x)} \\
x\arcsin (x)+\sqrt{1-x^2} & \arcsin(x) & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
x\arccos (x)-\sqrt{1-x^2} & \arccos(x) & -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
x\arctan (x)-\frac{1}{2} \ln \left| 1+ x^2 \right| & \arctan (x) & \frac{1}{1+x^2} \\
x\arccot (x)+\frac{1}{2} \ln \left| 1+ x^2 \right| & \arccot (x) & -\frac{1}{1+x^2} \\
x \sinh ^{-1} (x) - \sqrt{x^2+1} & \sinh ^{-1} (x) & \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\
x \cosh ^{-1} (x) - \sqrt{x^2-1} & \cosh ^{-1} (x) & \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{1}{2}\ln(1-x^2) + x \tanh ^{-1} (x) & \tanh ^{-1} (x) & \frac{1}{1-x^2}\\
\sinh(x) & \cosh(x) & \sinh (x) \\
\cosh(x) & \sinh(x) & \cosh (x)\\
\end{array}
\end{math}
\everymath{\textstyle}
\subsubsection{Rotationskörper}
Volumen: $V = \pi \int_a^b f(x)^2 \mathrm dx$\\
Oberfläche: $O = 2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} \mathrm dx$
\subsubsection{Uneigentliche Integrale}
$\int\limits_{\text{ok}}^{\text{böse}} f(x) \mathrm dx = \lim\limits_{b\rightarrow \text{böse}}\ \int\limits_{\text{ok}}^b f(x) \mathrm dx$\\ \\ \\
Majoranten-Kriterium: $|f(x)|\le g(x) = \frac1{x^\alpha}$\\ \\
$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^\alpha} \mathrm dx \begin{cases} \frac{1}{\alpha -1}, \quad \alpha > 1 \\ \infty, \qquad \alpha \le 1 \end{cases}$ \qquad
$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{x^\alpha} \mathrm dx \begin{cases} \frac{1}{\alpha -1}, \quad \alpha < 1 \\ \infty, \qquad \alpha \ge 1 \end{cases}$\\ \\
\textbf{Cauchy-Hauptwert}
\begin{eqnarray*}
& \text{CHW }\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm dx = \lim\limits_{b\rightarrow\infty} \int\limits_{-b}^b f(x) \mathrm dx \\
& \text{CHW }\int\limits_{a}^{b} f(x) \mathrm dx=\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0^+}\enbrace{\int\limits_{a}^{c-\varepsilon} f(x) \mathrm dx+\int\limits_{c+\varepsilon}^{b}f(x)\mathrm dx}
\end{eqnarray*}
\subsubsection{Laplace-Transformation von $f: [0,\infty[ \ra \mathbb R,\ s \mapsto f(s)$}
$\mathcal L \; f(s) = F(s) = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\ \mathrm dt = \lim\limits_{b \ra \infty} \int\limits_{0}^{b} e^{-st} f(t)\ \mathrm dt$
\subsubsection{Integration rationale Funktionen}
Gegeben: $\int \frac{A(x)}{Q(x)} \mathrm dx \qquad A(x),Q(x)\in \mathbb R[x]$
\begin{enumerate}\itemsep0pt
\item Falls, $\deg A(x) \ge \deg Q(x) \Ra$ Polynomdivision: \\ $\frac{A(x)}{Q(x)} = P(x) + \frac{B(x)}{Q(x)}$ mit $\deg B(x) < \deg Q(x)$
\item Zerlege $Q(x)$ in unzerlegbare Polynome
\item Partialbruchzerlegung $\frac{B(x)}{Q(x)} = \frac{\ldots}{(x - a_n)} + \ldots + \frac{\ldots}{\ldots}$
\item Integriere die Summanden mit folgenden Funktionen
\end{enumerate}
$\text{mit} ~ \lambda=x^2+px+q, ~~ \beta=4q-p^2 ~~ \text{und} ~p^2<4q$!
$\int\frac{1}{(x-a)^m}\mathrm dx \begin{cases} \ln\left|x-a\right|, & m=1\\ \\ \frac{-1}{(m-1)(x-a)^{m-1}} &m\geq2 \end{cases}$\\ \\ \\
$\int\frac{1}{(\lambda)^m} \mathrm dx \begin{cases} \frac{2}{\sqrt{\beta}} \arctan\frac{2x+p}{\sqrt{\beta}}, &m=1\\ \\ \frac{2x+p}{(m-1)(\beta)(\lambda)^{m-1}}+\frac{2(2m-3)}{(m-1)(\beta)} \int\frac{\mathrm dx}{(\lambda)^{m-1}}, &m\geq2 \end{cases}$\\ \\ \\
$\int\frac{Bx+C}{(\lambda)^m} \mathrm dx \begin{cases} \frac{B}{2} \ln(\lambda) + (C-\frac{Bp}{2}) \int\frac{\mathrm dx}{\lambda}, &m=1\\ \\ \frac{-B}{2(m-1)(\lambda)^{m-1}} + (C-\frac{Bp}{2}) \int\frac{\mathrm dx}{(\lambda)^{m-1}}, &m\geq2 \end{cases}$\\ \\ \\
Häufige Integrale nach Partialbruchzerlegung
\begin{align*}
&\int\frac{1}{x}\mathrm dx = \ln\abs{x}&&\int\frac{1}{x^2}\mathrm dx = -\frac{1}{x} \\
&\int\frac{1}{a+x}\mathrm dx = \ln\abs{a+x} && \int\frac{1}{(a+x)^2}\mathrm dx = -\frac{1}{a+x} \\
&\int\frac{1}{a-x}\mathrm dx = -\ln\abs{a-x} && \int\frac{1}{(a-x)^2}\mathrm dx = \frac{1}{a-x}
\end{align*}
\subsubsection{Paratialbruchzerlegung}
\begin{equation*}
\frac{B(x)}{Q(x)} = \frac{\ldots}{(x - x_0)} + \ldots + \frac{\ldots}{\ldots}
\end{equation*}
\paragraph{Ansatz}
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item $n$-fache reelle Nullstelle $x_0$: $\frac{A}{x-x_0}+\frac{B}{(x-x_0)^2} +\dots$
\item $n$-fache komplexe Nullstelle: $\frac{Ax+B}{x^2+px+q}+\frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^2}$
\end{itemize}
\paragraph{Berechnung von $A,B,C,\dots$}
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item Nullstellen in $x$ einsetzen (Terme fallen weg)
\item Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich
\end{itemize}
\subsection{Taylor-Entwicklung}
%===========================================================================================================================================================
Man approximiert eine $m$-mal diffbare Funktion $f:I=[a,b] \rightarrow \mathbb R$ \\ in $x_0 \in I$ mit dem $m$-ten Taylorpolynom:\\
\begin{equation*}
T_{m}(x_0;x)= \sum_{i=0}^{m} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i
\end{equation*}
%$T_{m,f,x_0}(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dotsc +\frac{f^{(m)}(x_0)}{m!}(x-x_0)^m$\\
Taylor-Entw. von Polynomen/Potenzreihen sind die Funktionen selbst.\\
Für $m \ra \infty$: Taylorreihe. \\
Konvergenzradius: $R = \underset{n\rightarrow \infty}{\lim} \abs{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\abs{a_n}}}$
\subsubsection{Das Restglied - die Taylorformel}
Für $(m+1)$-mal stetig diffbare Funktionen gilt $\forall x \in I:$\\
$R_{m+1}(x) := f(x)- T_{m,f,x_0}(x) =$ \\
$= \frac{1}{m!} \int_{x_0}^{x}(x-t)^m f^{(m+1)}(t)\mathrm dt$ \ \ (Integraldarst.)\\
$= \frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-x_0)^{m+1}$ \quad
$\xi \in [x, x_0]$ (Lagrange) \\
\textbf{Fehlerabschätzung:} Wähle $\xi$ und $x$ so, dass $R_{m+1}(x)$ maximal wird.
\subsection{Landau-Notation}
\begin{itemize}\itemsep-1pt
\item $f(x) = o(g(x))$ für $x \rightarrow a \Leftrightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$
\item $f(x) = O(g(x))$ für $x \rightarrow a \Leftrightarrow |f(x)| \leq C|g(x)|$ für $x \in (a - \epsilon, a + \epsilon)$ u. $C > 0$\\ oder $0 \leq \limsup\limits_{x \rightarrow a} \abs{\frac{f(x)}{g(x)}} < \infty$
\end{itemize}
Bei \emph{Taylor-Entwicklung}:
\begin{itemize}\itemsep-1pt
\item $R_{m+1,f,x_0}(h) = f(x_0 + h) - T_{m,f,x_0}(h) = o(h^m)$\\ f muss m-mal differenzierbar sein
\item $R_{m+1,f,x_0}(h) = f(x_0 + h) - T_{m,f,x_0}(h) = O(h^{m+1})$\\ f muss $(m+1)$-mal differenzierbar sein
\end{itemize}
\subsubsection{Rechenregeln}
\begin{itemize}\itemsep-1pt
\item $f = O(f)$
\item $f = o(g) \quad\Rightarrow\quad f = O(g)$
\item $f_1 = o(g)$ u. $f_2 = o(g) \quad\Rightarrow\quad f_1 + f_2 = o(g)$
\item $f_1 = O(g)$ u. $f_2 = O(g) \quad\Rightarrow\quad f_1 + f_2 = O(g)$
\item $f_1 = O(g)$ u. $f_2 = O(g) \quad\Rightarrow\quad f_1 \cdot f_2 = O(g_1 \cdot g_2)$
\item $f_1 = O(g)$ u. $f_2 = o(g) \quad\Rightarrow\quad f_1 \cdot f_2 = o(g_1 \cdot g_2)$
\end{itemize}
\subsubsection{Elementarfunktionen}
\begin{itemize}\itemsep-1pt
\item Exponentialfunktion\\
$e^x = \sum\limits_{k = 0}^m\frac{x^k}{k!} + O(x^{m + 1})$
\item Trigonometrische Funktionen\\
$\sin{x} = \sum\limits_{k = 0}^m(-1)^k\frac{x^{2k + 1}}{(2k + 1)!} + O(x^{2m + 3})$\\
$\cos{x} = \sum\limits_{k = 0}^m(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} + O(x^{2m + 2})$
\item Logarithmusfunktion\\
$\ln{(1 + x)} = \sum\limits_{k = 1}^m\frac{(-1)^{k + 1}}{k}x^k + O(x^{m + 1})$
\end{itemize}
\subsection{Kurven}
%===========================================================================================================================================================
Eine Kurve ist ein eindimensionales Objekt.\\
$ \vec \gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb R^n, t \mapsto \begin{pmatrix} \gamma_1(t) \\ \vdots \\ \gamma_n(t) \end{pmatrix} \quad \text{(Funktionenvektor)} $
%Eigenschaften von Kurven:
\begin{itemize}\itemsep-2pt
\item $\mathcal C^0$-Kurve: Positionsstetigkeit (geschlossene Kurve)
\item $\mathcal C^1$-Kurve: Tangentialstetigkeit (stetig diffbar)
\item $\mathcal C^2$-Kurve: Krümmungsstetigkeit (2 mal stetig diffbar)
\item regulär, falls $\forall t \in [a,b]:\dot \gamma(t) \ne \vec 0$ (Keine Knicke)
\end{itemize}
Besondere Punkte von Kurven:
\begin{itemize}\itemsep-2pt
\item Singulär, falls $\dot \gamma(t)=\vec 0$ (Knick)
\item Doppelpunkt, falls $\exists t_1,t_2:t_1 \ne t_2 \ \land \ \gamma(t_1)=\gamma(t_2)$
\item Horizontaler Tangentenpunkt, falls $\dot \gamma_1(t) \ne 0 \ \land \ \dot \gamma_2(t)=0$
\item Vertikaler Tangentenpunkt, falls $\dot \gamma_1(t) = 0 \ \land \ \dot \gamma_2(t) \ne 0$
\end{itemize}
\textbf{Bogenlänge} einer Kurve: $L(\gamma) = \int_{a}^{b} \norm{\dot \gamma(t)} \mathrm dt$ \\ \\
\textbf{Umparametrisierung} $\gamma$ nach Bogenlänge ($\tilde \gamma$):
\begin{itemize} \itemsep0pt
\item Bogenlängenfunktion: $s(t) = \int\limits_a^t \norm{\dot \gamma(\tau)} \mathrm d\tau$\\
$s: [a,b] \ra [0,L(\gamma)], t \mapsto s(t)$
%\item Umkehrfunktion: $s^{-1}:[0,L(\gamma)] \rightarrow [a,b]$ (streng monoton wachsend)
\item $\tilde \gamma(t)=\gamma \bigl(s^{-1}(t) \bigr)$ \qquad $\norm{\ \dot{\tilde \!\! \gamma \!}\; (t)}=1 \forall t$ % Hässlich wie die Nacht aber geht iwie nicht anders...
\end{itemize}
Tangenteneineitsvektor an $\gamma(t): T(t)=\frac{\dot \gamma(t)}{\norm{\dot \gamma(t)} }$\\
Krümmung von $\gamma$: $\kappa(t)= \norm{\frac{\mathrm d^2 \gamma}{\mathrm d s^2}} = \frac{\norm{\dot T(t)}}{s'(t)}$\\
\\
\textbf{Vereinfachung} im $\mathbb{R}^2$ \qquad $\gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb R^2, t \mapsto \bigl(x(t),y(t)\bigr)$ \\
\begin{equation*}
L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\; \mathrm dt \qquad \qquad \tilde{\kappa}(t)=\frac{\dot x \ddot y - \ddot x \dot y}{(\dot x^2 + \dot y^2)^{\frac{3}{2}}}
\end{equation*}
Wenn $\gamma$ nach der Bogenlänge umparametrisiert, gilt
\begin{equation*}
\tilde{\kappa}(t)=\dot x \ddot y - \ddot x \dot y
\end{equation*}
% \subsection{Funktionen als Kurve}
% Funktion $f$ als Kurve: $\gamma:[a,b] \rightarrow \mathbb R^2, t \mapsto \begin{pmatrix} t \\ f(t) \end{pmatrix}$\\
% Länge von $f$: $L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{1+f'(t)^2}\; \mathrm dt$ \qquad Krümmung von $f$: $\varkappa(t)=\frac{f''(t)}{\sqrt{(1+f'(t)^2)^3}}$\\
\subsection{Skalarfelder}
%===========================================================================================================================================================
Ein Skalarfeld ordnet jedem Vektor eines Vektorraums einen Wert zu.\\
$ f:D\subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R, (x_1,\ldots ,x_n) \mapsto f(x_1,\ldots ,x_n) $
Teilmengen von $\mathbb R^n$: $D = [a_1,b_1] \times ... \times [a_n,b_n]$\\
Offene Kugelmenge vom Radius $r$: $B_r(x_0)$\\
\emph{Topologische Begriffe} für $D \subseteq \mathbb R^n$
\begin{itemize}\itemsep0pt
\item Das Komplement $D^C$ von $D$: $D^C := \mathbb R^n \setminus D$
\item innerer Punkt $x_0 \in \mathbb R^n$ des Inneren $\overset{\circ}{D}$ von $D$, falls \\
$\exists \varepsilon > 0: B_\varepsilon (x_0) =
{\ensuremath{\bigl\{ \bigl. x\in \mathbb R^n \, \bigr| \, \norm{x-x_0} < \varepsilon \bigr\}}}$
%\iset{x\in \mathbb R^n}{\norm{x-x_0} < \varepsilon} \subseteq D$
\item Die Menge $D$ heißt offen, falls $D=\overset{\circ}{D}$
\item Randpunkt $x_0 \in \mathbb R^n$ des Rands $\partial D$ von $D$, falls $\forall \varepsilon > 0:$ \\
$B_\varepsilon(x_0) \cap D \ne \emptyset \ \land \ B_\varepsilon(x_0) \cap D^C \ne \emptyset \ \Rightarrow \ \partial D = \partial D^C$
\item Abschluß $\overline D$ von $D$: $\overline{D}=D \cup \partial D$
\item Die Menge $D$ ist abgeschlossen, falls $\partial D \subseteq D$
\item beschränkt, falls $\exists \mu \in \mathbb R \forall x \in D: \norm{x} < \mu$
\item kompakt, falls D abgeschlossen und beschränkt ist.
\end{itemize}
Es gilt: Ist $D \subseteq \mathbb R^n$ offen, so ist $D^C$ abgeschlossen. \\
$\mathbb R$ und $\emptyset$ sind offen und abgeschlossen.
\vspace{10em}
\subsection*{Revision History}
\begin{itemize}
\item v1.0 (06.02.2015): Erstellung
\item v1.1 (23.07.2017): Diverse Fehler korrigiert (u.a. 145, 144, 143, 138, 152)
\item v1.2 (12.01.2018): Kleine Korrektur 9.8 Integration rationale Funktionen, Häufige Integrale nach Partialbruchzerlegung
\end{itemize}
\end{multicols*}
% Ende der Spalten
\label{LastPage}
% Dokumentende
% ======================================================================
\end{document}