TopK Elements 问题用于找出一组数中最大的 K 个的数。
此外还有一种叫 Kth Element 问题，用于找出一组数中第 K 大的数。
其实要求解 TopK Elements，可以先求解 Kth Element，因为找到 Kth Element 之后，再遍历一遍，大于等于 Kth Element 的数都是 TopK Elements。
以 Leetcode : 215. Kth Largest Element in an Array 为例，这是一道的 Kth Element 问题，不过这道题要找的是从后往前第 K 个元素，而不是从前往后。为了能和传统的 Kth Element 问题一样求解，可以先执行 k = nums.length - k;。
Input: [3,2,1,5,6,4] and k = 2
Output: 5
快速排序的 partition() 方法，对于数组 nums 的 [l, h] 区间，会返回一个整数 k 使得 nums[l..k-1] 小于等于 nums[k]，且 nums[k+1..h] 大于等于 nums[k]，此时 nums[k] 就是数组的第 k 大元素。可以利用这个特性找出数组的 Kth Element，这种找 Kth Element 的算法称为快速选择算法。
- 时间复杂度 O(N)、空间复杂度 O(1)
- 只有当允许修改数组元素时才可以使用
public int findKthElement(int[] nums, int k) {
k = nums.length - k;
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (l < h) {
int j = partition(nums, l, h);
if (j == k) {
break;
} else if (j < k) {
l = j + 1;
} else {
h = j - 1;
}
}
return nums[k];
}
private int partition(int[] a, int l, int h) {
int i = l, j = h + 1;
while (true) {
while (a[++i] < a[l] && i < h) ;
while (a[--j] > a[l] && j > l) ;
if (i >= j) {
break;
}
swap(a, i, j);
}
swap(a, l, j);
return j;
}
private void swap(int[] a, int i, int j) {
int t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}维护一个大小为 K 的最小堆，堆顶元素就是 Kth Element。
使用大顶堆来维护最小堆，而不能直接创建一个小顶堆并设置一个大小，企图让小顶堆中的元素都是最小元素。
维护一个大小为 K 的最小堆过程如下：在添加一个元素之后，如果大顶堆的大小大于 K，那么需要将大顶堆的堆顶元素去除。
- 时间复杂度 O(NlogK) 、空间复杂度 O(K)
- 特别适合处理海量数据
public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
k = nums.length - k + 1;
PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>(Comparator.reverseOrder()); // 大顶堆
for (int val : nums) {
pq.add(val);
if (pq.size() > k) // 维护堆的大小为 K
pq.poll();
}
return pq.peek();
}在这种场景下，单机通常不能存放下所有数据。
- 拆分，可以按照哈希取模方式拆分到多台机器上，并在每个机器上维护最大堆；
- 整合，将每台机器得到的最大堆合并成最终的最大堆。
Heavy Hitters 问题要求找出一个数据流的最频繁出现的 K 个数，比如热门搜索词汇等。
使用 HashMap 进行频率统计，然后使用快速选择或者堆的方式找出频率 TopK。在海量数据场景下，也是使用先拆分再整合的方式来解决空间问题。
维护 d*w 大小的二维统计数组，其中 d 是哈希函数的个数，w 根据情况而定。
- 在一个数到来时，计算 d 个哈希值，然后分别将哈希值对 w 取模，把对应统计数组上的值加 1；
- 要得到一个数的频率，也是要计算 d 个哈希值并取模，得到 d 个频率，取其中最小值。
该算法的思想和布隆过滤器类似，具有一定的误差，特别是当 w 很小时。但是它能够在单机环境下解决海量数据的频率统计问题。
public class CountMinSketch {
private int d;
private int w;
private long estimators[][];
public CountMinSketch(int d, int w) {
this.d = d;
this.w = w;
}
public void add(int value) {
for (int i = 0; i < d; i++)
estimators[i][hash(value, i)]++;
}
public long estimateFrequency(int value) {
long minimum = Integer.MAX_VALUE;
for (int i = 0; i < d; i++) {
minimum = Math.min(minimum, estimators[i][hash(value, i)]);
}
return minimum;
}
private int hash(int value, int i) {
return 0; // use ith hash function
}
}Trie 树可以用于解决词频统计问题，只要在词汇对应节点保存出现的频率。它很好地适应海量数据场景，因为 Trie 树通常不高，需要的空间不会很大。
