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Tarea nro. 3

FI3104B - Metodos Numericos Para la Ciencia y la Ingenieria

Prof. Valentino González

P1

El oscilador de van der Pool fue propuesto para describir la dinámica de algunos circuitos eléctricos. La ecuación es la siguiente:

Latex: \dfrac{d^2x}{dt^2} = - k x - \mu (x^2 - a^2) \dfrac{dx}{dt}

donde k es la constante elástica y μ es un coeficiente de roce. Si |x| > a el roce amortigua el movimiento, pero si |x| < a el roce inyecta energía. Se puede hacer un cambio de variable para convertir la ecuación a:

Latex: \dfrac{d^2y}{ds^2} = - y - \mu^* (y^2 - 1) \dfrac{dy}{ds}

con lo cual ahora la ecuación sólo depende de un parámetro, μ^*. Indique cuál es el cambio de variable realizado.

Integre la ecuación de movimiento usando el método de Runge-Kutta de orden 3 visto en clase. Se pide que Ud. implemente su propia versión del algoritmo, describa la discretización usada y el paso de tiempo. Use μ^*=1.RRR, donde RRR son los 3 últimos dígitos de su RUT antes del guión.

Nota: No olvide incluir su Nombre y RUT en el informe.

Integre la solución hasta T=20π (aproximadamente 10 períodos) para las siguientes condiciones iniciales:

Latex: 1) \dfrac{dy}{ds} = 0; y = 0.1\\ 2) \dfrac{dy}{ds} = 0; y = 4.0

Grafique y(s) y la trayectoria en el espacio (y, dy/ds).

P2

El sistema de Lorenz es un set de ecuaciones diferenciales ordinarias conocido por tener algunas soluciones caóticas, la más famosa el llamado atractor de Lorenz. El sistema de ecuaciones es el siguiente:

Latex: \begin{flalign*} \dfrac{dx}{ds} &= \sigma (y - x)\\ \dfrac{dy}{ds} &= x (\rho - z) - y\\ \dfrac{dz}{ds} &= xy - \beta z \end{flalign*}

La solución más famosa se obtiene con los parámetros σ=10, β=8/3 y ρ=28. Utilice esos parámetros, elija un set de condiciones iniciales (x₀, y₀, z₀) e integre la ecuación por un tiempo que estime conveniente. Esta vez se pide que utilice un algoritmo RK4 pero no necesita implementarlo, puede usar los algoritmos disponibles en scipy.integrate o cualquier otro que encuentre y que sea de uso libre.

Plotee en 3D la solución (x(t), y(t), z(t)).

Nota: Este repositorio incluye un archivo 3D.py que demuestra como hacer un plot en 3D usando matplotlib. Puede usar este archivo como guía de ayuda.

Otras Notas.

• Utilice git durante el desarrollo de la tarea para mantener un historial de los cambios realizados. La siguiente cheat sheet le puede ser útil. Esta vez empezaremos a evaluar el uso efectivo de git. Recuerde hacer cambios significativos pero relativamente pequeños y guardar seguido. Evite hacer commits de código que no compila y deje mensajes que permitan entender los cambios realizados.

• Tambien comenzaremos a revisar su uso correcto de python. Si define una función relativamente larga o con muchos parámetros, recuerde escribir el doctsring que describa los parametros y que es lo que hace la funcion. También recuerde usar nombres explicativos para las variables y las funciones. El mejor nombre es aquel que permite entender que hace la funcion sin tener que leer su implementacion.

• La tarea se entrega como un pull request en github. El pull request debe incluir todos los códigos usados además de su informe.

• El informe debe ser entregado en formato pdf, este debe ser claro sin información ni de más ni de menos.