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Author: TH911

_posts/2025-8-22-2.md

@@ -26,7 +26,7 @@ words:
 
 确定最小边的一个端点 $x$，求出 $x\sim t$ 的最小权值和最小的链的权值和 $\textit{sum}$ 和链长 $k$ 即可。答案即 $\textit{sum}+(n-k-1)w$。$w$ 为最小边权。
 
-注意到 $x\sim t$ 链上边权除开最后一条边是**单调不降**的，否则可以将其放到 $x$ 之后的树上更优。
+注意到 $x\sim t$ 链上边权除开最后一条边，是**单调不降**的，否则可以将其放到 $x$ 之后的树上更优。
 
 因此链上每一条边的贡献都是自己的 $1$ 倍，跑最短路即可。
 

_posts/2025-8-25-1.md

@@ -0,0 +1,31 @@
+---
+layout: post
+title: "Splay 之区间操作"
+subtitle: "Splay 维护区间操作"
+date: 2025-8-25
+author: "TH911"
+header-img: "img/2024/10/006.jpeg"
+header-mask: 0.4
+tags:
+  - 题解
+  - 平衡树
+  - Splay
+  - 基础算法
+words:
+  - "Splay维护序列操作"
+  - "P3391 题解：【模板】文艺平衡树"
+---
+
+> [例题链接](https://www.luogu.com.cn/problem/P3391)。
+
+> 您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一个有序数列。
+>
+> 其中需要提供以下操作：翻转一个区间，例如原有有序序列是 $5\ 4\ 3\ 2\ 1$，翻转区间是 $[2,4]$ 的话，结果是 $5\ 2\ 3\ 4\ 1$。
+
+# 前置知识：Splay
+
+参见[Splay 树详解](./Splay)。
+
+# 平衡树维护区间信息
+
+无论是 Splay 还是 FHQ Treap，亦或是其他平衡树，维护区间信息的本质都是——**一棵子树代表一段区间**。

_posts/2025-8-25-2.md

@@ -0,0 +1,50 @@
+---
+layout: post
+title: "LCT详解"
+subtitle: "Link Cut Tree | 动态树问题"
+date: 2025-8-25
+author: "TH911"
+header-img: "img/2024/10/006.jpeg"
+header-mask: 0.4
+tags:
+  - 题解
+  - Splay
+  - LCT
+  - 基础算法
+words:
+  - "P3690 题解：【模板】动态树（LCT）"
+  - Link-Cut TreeLink/Cut Tree
+---
+
+> [例题链接](https://www.luogu.com.cn/problem/P3690)。
+>
+> 给定 $n$ 个点以及每个点的权值，要你处理接下来的 $m$ 个操作。  
+>
+> 1. 询问 $x\sim y$ 路径上的点权的 $\operatorname{xor}$ 和。保证 $x$ 到 $y$ 是联通的。
+> 2. 连边 $(x,y)$，若 $x$ 到 $y$ 已经联通则无需连接。
+> 3. 删边 $(x,y)$，不保证边 $(x,y)$ 存在。
+> 4. 将点 $x$ 的权值变成 $y$。
+>
+> 满足 $1\leq n\leq10^5,1\leq m\leq3\times10^5$。
+
+# 动态树问题
+
+所谓动态树问题，即维护一棵**森林**，操作分三类：
+
+* 修改点权。
+* 修改森林的形态（连边/删边）。
+* 查询信息。
+
+如果森林的形态不修改，可以使用树链剖分 $\mathcal O\left(n\log^2n\right)$ 维护，也可以使用全局平衡二叉树 $\mathcal O(n\log n)$ 维护。
+
+然而森林的形态修改了，上述两种算法便不再适用。
+
+# LCT
+
+Link Cut Tree，又称 Link/Cut Tree 或 Link-Cut Tree，是用于解决动态树问题的一种数据结构。
+
+以例题维护链上 $\operatorname{xor}$ 和为例。
+
+## 实链剖分
+
+「实链剖分」就是随便剖分。对于每一个

_posts/2025-9-21-1.md

@@ -0,0 +1,287 @@
+---
+layout: post
+title: "一类特征方程在数列递推中的应用"
+subtitle: "特征方程"
+date: 2025-9-21
+author: "TH911"
+header-img: "img/2024/10/006.jpeg"
+header-mask: 0.4
+tags:
+  - 数学
+  - 线性代数
+words:
+---
+
+> 以下内容摘自《组合数学》（第五版）P86【例 2-41】。
+>
+> ***
+>
+> 求 $S_n=1^3+2^3+\cdots+n^3$。
+>
+> ***
+>
+> $\Delta S_n=S_{n+1}-S_n=(n+1)^3$ 是 $n$ 的 $3$ 次多项式，因此 $S_n$ 满足递推关系：
+>
+> $$
+> S_n-5S_{n-1}+10S_{n-2}-10S_{n-3}+5S_{n-4}-S_{n-6}=0
+> $$
+>
+> 设：
+>
+> $$
+> \begin{aligned}
+> S_n&=A_1\dbinom n1+A_2\dbinom n2+A_3\dbinom n3+A_4\dbinom n4\\
+> S_1&=1=A_1\\
+> S_2&=1^3+2^3=9=\dbinom 21+A_2,A_2=7\\
+> S_3&=9+3^3=36=3+7\dbinom 32+A_3,A_3=12\\
+> S_4&=36+4^3=100=4+7\times6+12\times4+A_4,A_4=6\\
+> \end{aligned}
+> $$
+>
+> 因此，有：
+>
+> $$
+> S_n=\dbinom n1+7\dbinom n2+12\dbinom n3+6\dbinom n4
+> $$
+>
+
+# Fibonacci 数列通项公式
+
+设 $f_0=0,f_1=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$。
+
+则有特征方程：
+
+$$
+\begin{aligned}
+x^n-x^{n-1}-x^{n-2}&=0\\
+x^{n-2}(x^2-x-1)&=0\\
+\end{aligned}
+$$
+
+解得 $x^{n-2}=0$ 或 $x^2-x-1=0$。因为 $x^n>0$，因此 $x^2-x-1=0$，解得：
+
+$$
+x_1=\dfrac{1+\sqrt5}2,x_2=\dfrac{1-\sqrt5}2
+$$
+
+$f_n$ 一定形如：
+
+$$
+f_n=c_1x^n+c_2x^n
+$$
+
+待定系数法可得通项公式：
+
+$$
+f_n=\dfrac1{\sqrt5}\left[\left(\dfrac{1+\sqrt5}2\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt5}2\right)^n\right]
+$$
+
+# 自然数幂次和
+
+设 $S_n=1+2+\cdots+n$。
+
+有：
+
+$$
+\begin{aligned}
+S_n-S_{n-1}&=n\\
+S_{n-1}-S_{n-2}&=n-1
+\end{aligned}
+$$
+
+两式相减可得：
+
+$$
+S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=1
+$$
+
+同理，有：
+
+$$
+S_{n-1}-2S_{n-2}+S_{n-3}=1
+$$
+
+两式相减，得：
+
+$$
+S_n-3S_{n-1}+3S_{n-2}-S_{n-3}=0
+$$
+
+对应特征方程：
+
+$$
+x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3=0
+$$
+$x=1$ 为三重根。
+
+因为 $\Delta S_n=S_{n+1}-S_n=n+1$ 为关于 $n$ 的 $1$ 次多项式，因此设：
+$$
+S_n=(an^2+bn+c)1^n
+$$
+
+代入 $S_1,S_2,S_3$，有：
+
+$$
+\begin{cases}
+1&=a+b+c\\
+3&=4a+2b+c\\
+6&=9a+3b+c\\
+\end{cases}
+$$
+
+解得：
+
+$$
+\begin{cases}
+a=\dfrac12\\
+b=\dfrac12\\
+c=0
+\end{cases}
+$$
+故，$S_n=\dfrac12n^2+\dfrac12n$。
+
+***
+
+设 $S_n=1^3+2^3+\cdots+n^3$。
+
+有：
+
+$$
+\begin{aligned}
+S_n-S_{n-1}&=n^3\\
+S_{n-1}-S_{n-2}&=(n-1)^3
+\end{aligned}
+$$
+
+两式相减，得：
+
+$$
+S_n-2S_{n-1}+S_{n-2}=3n^2-3n+1
+$$
+
+同理：
+
+$$
+S_{n-1}-2S_{n-2}+S_{n-3}=3n^2-9n+7
+$$
+
+因此，有：
+
+$$
+S_n-3S_{n-1}+3S_{n-2}-S_{n-3}=6n-6
+$$
+
+同理：
+
+$$
+S_{n-1}-3S_{n-2}+3S_{n-3}-S_{n-4}=6n-12
+$$
+
+两式相减可得：
+
+$$
+S_n-4S_{n-1}+6S_{n-2}-4S_{n-3}+S_{n-4}=6
+$$
+
+同理：
+
+$$
+S_{n-1}-4S_{n-2}+6S_{n-3}-4S_{n-4}+S_{n-5}=6
+$$
+
+两式相减可得：
+
+$$
+S_n-5S_{n-1}+10S_{n-2}-10S_{n-3}+5S_{n-4}-S_{n-5}=0
+$$
+
+对应特征方程为：
+
+$$
+\begin{aligned}
+x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1&=0\\
+(x-1)^5&=0
+\end{aligned}
+$$
+
+$x=1$ 为五重根。
+
+$\Delta S_n=S_{n+1}-S_n=(n+1)^3$ 为关于 $n$ 的 $3$ 次多项式，设：
+
+$$
+S_n=\left(an^4+bn^3+cn^2+dn+e\right)1^n
+$$
+
+根据待定系数法，可解得通解。
+
+# 齐次线性递推
+
+可视为广义 Fibonacci 数列，解出特征根 $x_1,x_2,\cdots,x_k$ 后可得通项公式：
+
+$$
+f_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n+\cdots+c_kx_k^n
+$$
+
+# 非齐次线性递推
+
+例如自然数幂次和，递推式是非齐次的，设非齐次部分关于 $n$ 的项数为 $k$。
+
+那么此时特征根的系数 $c_i$ 不再为常数，系数 $c_i$ 讲表述为关于 $n$ 的 $k+1$ 次多项式。
+
+## 特征方程与组合数
+
+例如，对于递推数列 $S_n=S_{n-1}+n^2$。
+
+特征方程为：
+
+$$
+x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3=0
+$$
+
+有三重根 $x=1$。
+
+因此可以设 $S_n=\left(an^3+bn^2+cn+d\right)1^n$。
+
+根据 $S_0=0,S_1=1,S_2=5,S_3=14$，可列：
+
+$$
+\begin{cases}
+d=0\\
+a+b+c=1\\
+8a+4b+2c=5\\
+27a+9b+3c=14\\
+\end{cases}
+$$
+
+解得：
+
+$$
+\begin{cases}
+a=\dfrac13\\
+b=\dfrac12\\
+c=\dfrac16\\
+d=0
+\end{cases}
+$$
+
+因此：
+
+$$
+S_n=\dfrac13n^3+\dfrac12n^2+\dfrac16n=\dfrac{n(n+1)(n+2)}6
+$$
+
+***
+
+然而已经得知 $S_n$ 是关于 $n$ 的 $3$ 次多项式，因此可以有：
+
+$$
+S_n=A\dbinom n3+B\dbinom n2+C\dbinom n1+D\dbinom n0
+$$
+
+这样根据组合数的性质，求解待定系数法会简单一些。
+
+# 特征方程与生成函数
+
+特征方程与生成函数有异曲同工之妙。
+
+特征方程将递推式直接换为 $x$，并且带上相对应的指数。而生成函数则为每一项配备一个变量 $x^n$。