Skip to content

Commit 86a1f41

Browse files
SeTSeRSeTSeR
committed
Update notes for special course
1 parent c909169 commit 86a1f41

File tree

2 files changed

+228
-2
lines changed

2 files changed

+228
-2
lines changed

‎Funcan/funcan-sem.org

Lines changed: 114 additions & 0 deletions
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -75,3 +75,117 @@ X(0) = 0, X'(1) = d\lambda X(1).
7575
X_n = \sin \sqrt{\lambda_n}x, \ctg\sqrt{\lambda} = d\sqrt{\lambda}
7676
\end{equation}
7777
#+end_export
78+
Множество $M$ называется *метрическим пространством*, если для каждой пары точек задано
79+
расстояние между ними($\rho(x, y) \geq 0$), удовлетворяющей аксиомам:
80+
1. $\rho(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$(аксиома тождества)
81+
2. $\rho(x, y) = \rho(y, x)$(симметрия)
82+
3. $\rho(x, z) \leq \rho(x, y) + \rho(y, z)$(неравенство треугольника)
83+
На любом множестве можно задать метрику:
84+
#+begin_export latex
85+
\begin{equation}
86+
\rho(x, y) = \begin{cases}
87+
1, x \neq y, \\
88+
0, x = y.
89+
\end{cases}
90+
\end{equation}
91+
#+end_export
92+
Является ли прямая с метрикой $\rho(x, y) = \arctg|x - y|$ метрическим пространством?
93+
Первые две аксиомы проверяются тривиально, проверим третью:
94+
#+begin_export latex
95+
\begin{equation}
96+
\arctg\alpha + \arctg\beta \geq \arctg(\alpha + \beta)
97+
\end{equation}
98+
Рассмотрим функцию:
99+
\begin{equation}
100+
f(\alpha) = \arctg\alpha + \arctg\beta - \arctg(\alpha + \beta)
101+
\end{equation}
102+
\begin{equation}
103+
f'(\alpha) = \frac1{1 + \alpha^2} - \frac1{1 + (\alpha + \beta)^2} > 0, f(0) = 0
104+
\end{equation}
105+
Последовательность элементов $M$ называется \textbf{фундаментальной}, если
106+
$\lim_{n \to \infty, m \to \infty}\rho(x_m, x_n) = 0$. Последовательность $x_n$ \textbf{сходится} к
107+
$x$, если $\lim_{n \to \infty}\rho(x_n, x) = 0$. Если в $M$ любая фундаментальная последовательность
108+
сходится, оно называется \textbf{полным}.
109+
110+
\textbf{Шар} с центром в точке $a$ и радиусом $r$: $B(a, r): \{x \in M, \rho(x, a) < r\}$.
111+
\textbf{Замкнутый шар}: $\overline{B(a, r)}: \{x \in M, \rho(x, a) \leq r\}$. Множество,
112+
целиком содержащееся в каком-либо шаре, называется \textbf{ограниченным}.
113+
114+
Пусть $X \subset M$. Точка $a$ называется \textbf{предельной} точкой $X$, если
115+
$B(a, r) \cap [X \backslash \{a\}] \neq \not\emptyset, \forall r > 0$. Множество, содержащее
116+
все свои предельные точки, называется \textbf{замкнутым}. Дополнение замкнутого множества
117+
называется \textbf{открытым}. Множество называется \textbf{нигде не плотным}, если в любой
118+
окрестности пространства есть шар без его точек. Множество называется \textbf{всюду плотным},
119+
если его замыкание совпадает со всем пространством.
120+
121+
Пусть $|E| = p > 0$, то $\forall q \in [0, p) \exists E_q \subset E: |E_q| = q$. В самом деле,
122+
пусть $|E|$ ограничено. Тогда $E \subset [a, b]$. Рассмотрим функцию
123+
\begin{equation}
124+
f(x) = |E(x)|,
125+
\end{equation}
126+
где
127+
\begin{equation}
128+
E(x) = [a, x] \cap E, x \in [a, b].
129+
\end{equation}
130+
Тогда
131+
\begin{equation}
132+
f(a) = 0, f(b) = |E|,
133+
\end{equation}
134+
\begin{equation}
135+
f(x + \Delta x) - f(x) = |[x, x + \Delta x] \cap E| \leq \Delta x,
136+
\end{equation}
137+
т. е. $f(x)$ непрерывна, т. е. принимает все значения на области значений, что и доказывает
138+
утверждение. Пусть теперь $E$ не ограничено. Тогда рассмотрим множества $E_n = [-n, n] \cap E$.
139+
Так как $|E_n| \to |E| \Rightarrow |E_{n_0}| > q$. К такому $E_{n_0}$ применим результат
140+
предыдущего пункта.
141+
142+
Линейное пространство называется \textbf{нормированным}, если каждому его элементу сопоставлено
143+
действительное неотрицательное число, называемое \textbf{нормой}, если для неё выполнены аксиомы:
144+
\begin{itemize}
145+
\item $||x|| = 0 \Leftrightarrow x = 0$,
146+
\item $||\alpha x|| = |\alpha|||x||$,
147+
\item $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$.
148+
\end{itemize}
149+
Расстояние вводится так: $\rho(x, y) = ||x - y||$. Бесконечномерное нормированное линейное
150+
пространство называется \textbf{гильбертовым}.
151+
152+
Пусть $D$ - ограниченная односвязная область евклидова пространства. Пространство $C^m(D)$,
153+
$m \in \mathbb{Z}, m \geq 0$ -- пространство $m$ раз дифференцируемых функций на $D$, $C(D)$ --
154+
пространство непрерывных на $D$ функций. Аналогичное пространство рассматривается для
155+
компакта. Для компакта справедлива \textbf{лемма Гейне-Бореля}. На $C^m(\overline{D})$ можно
156+
ввести норму: $||f|| \equiv ||f||_{C(\overline{D})} = \max_{x \in \overline{D}}|f(x)|$. К сожалению,
157+
такое пространство всегда будет неполным. В пространстве $C^1[0, 1]$ можно построить
158+
фундаментальную последовательность, сходящуюся к функции вне $C^1[0, 1]$. Можно получить
159+
полноту, поправив норму: $||f|| = \max_{x \in [0, 1]}|f(x)| + \max_{x \in [0, 1]}|f'(x)|$.
160+
161+
\textbf{Мультииндекс}: $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n), \alpha_i \geq 0, \alpha_i \in \mathbb{Z}$,
162+
$|\alpha| = \sum_{i = 1}^n\alpha_i$. В таких обозначениях частная производная записывается как:
163+
\begin{equation}
164+
D^{\alpha}f(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}f(x)}{\partial x_n^{\alpha_n}\ldots\partial x_1^{\alpha_1}}
165+
\end{equation}
166+
Тогда
167+
\begin{equation}
168+
||f||_{C^m(\overline{D})} = \sum_{|\alpha| \leq m}\max|D^{\alpha}f(x)|.
169+
\end{equation}
170+
С другой стороны, можно ввести норму так:
171+
\begin{equation}
172+
||f||_{C^m(\overline{D})} = \max_{|\alpha| \leq m}\max|D^{\alpha}f(x)|.
173+
\end{equation}
174+
Величина
175+
\begin{equation}
176+
|f|_{C^m(\overline{D})} = \max_{|\alpha| = m}\max|D^{\alpha}f(x)|
177+
\end{equation}
178+
называется \textbf{полунормой}. Для неё не выполняется первая аксиома.
179+
180+
В n-мерном пространстве множество называется \textbf{множеством меры ноль}, если существует
181+
счётная система, покрывающая это множество n-мерных параллелепипедов/шаров, суммарным объёмом
182+
сколь угодно малая. Свойство выполнено \textbf{почти всюду}, если оно не выполнено на множестве
183+
точек меры ноль. Будем называть функцию \textbf{измеримой}, если её можно представить в виде
184+
предела последовательности почти всюду сходящихся функций из $C(\overline{Q})$. Множество
185+
называется \textbf{измеримым}, если её характеристическая функция является измеримой.
186+
187+
$\operatorname{supp} f(x) = \{x \in Q: f(x) \neq 0\}$ - \textbf{носитель функции}. Функция называется
188+
\textbf{финитной} на Q, если $\operatorname{supp} f(x) \subset Q$.
189+
Класс $L^+(Q)$ - класс функций, для которых есть последовательность финитных на Q функций $f_n(x)$,
190+
сходящихся почти всюду к $f(x)$, таких, что $\lim_{n \to \infty}\int_Qf_n(x)dx = \int_Qf(x)dx$.
191+
#+end_export

‎Funcan/funcan-sem.tex

Lines changed: 114 additions & 2 deletions
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -1,4 +1,4 @@
1-
% Created 2020-02-25 Tue 17:27
1+
% Created 2020-03-05 Thu 20:44
22
% Intended LaTeX compiler: pdflatex
33
\documentclass[11pt]{article}
44
\usepackage[utf8]{inputenc}
@@ -59,7 +59,7 @@
5959
\end{itemize}
6060

6161
\section{Уравнения смешанного типа}
62-
\label{sec:orgb950b37}
62+
\label{sec:org43a1bdf}
6363
\begin{itemize}
6464
\item Трансзвуковая гидродинамка
6565
\end{itemize}
@@ -96,4 +96,116 @@ \section{Уравнения смешанного типа}
9696
\begin{equation}
9797
X_n = \sin \sqrt{\lambda_n}x, \ctg\sqrt{\lambda} = d\sqrt{\lambda}
9898
\end{equation}
99+
Множество \(M\) называется \textbf{метрическим пространством}, если для каждой пары точек задано
100+
расстояние между ними(\(\rho(x, y) \geq 0\)), удовлетворяющей аксиомам:
101+
\begin{enumerate}
102+
\item \(\rho(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y\)(аксиома тождества)
103+
\item \(\rho(x, y) = \rho(y, x)\)(симметрия)
104+
\item \(\rho(x, z) \leq \rho(x, y) + \rho(y, z)\)(неравенство треугольника)
105+
\end{enumerate}
106+
На любом множестве можно задать метрику:
107+
\begin{equation}
108+
\rho(x, y) = \begin{cases}
109+
1, x \neq y, \\
110+
0, x = y.
111+
\end{cases}
112+
\end{equation}
113+
Является ли прямая с метрикой \(\rho(x, y) = \arctg|x - y|\) метрическим пространством?
114+
Первые две аксиомы проверяются тривиально, проверим третью:
115+
\begin{equation}
116+
\arctg\alpha + \arctg\beta \geq \arctg(\alpha + \beta)
117+
\end{equation}
118+
Рассмотрим функцию:
119+
\begin{equation}
120+
f(\alpha) = \arctg\alpha + \arctg\beta - \arctg(\alpha + \beta)
121+
\end{equation}
122+
\begin{equation}
123+
f'(\alpha) = \frac1{1 + \alpha^2} - \frac1{1 + (\alpha + \beta)^2} > 0, f(0) = 0
124+
\end{equation}
125+
Последовательность элементов $M$ называется \textbf{фундаментальной}, если
126+
$\lim_{n \to \infty, m \to \infty}\rho(x_m, x_n) = 0$. Последовательность $x_n$ \textbf{сходится} к
127+
$x$, если $\lim_{n \to \infty}\rho(x_n, x) = 0$. Если в $M$ любая фундаментальная последовательность
128+
сходится, оно называется \textbf{полным}.
129+
130+
\textbf{Шар} с центром в точке $a$ и радиусом $r$: $B(a, r): \{x \in M, \rho(x, a) < r\}$.
131+
\textbf{Замкнутый шар}: $\overline{B(a, r)}: \{x \in M, \rho(x, a) \leq r\}$. Множество,
132+
целиком содержащееся в каком-либо шаре, называется \textbf{ограниченным}.
133+
134+
Пусть $X \subset M$. Точка $a$ называется \textbf{предельной} точкой $X$, если
135+
$B(a, r) \cap [X \backslash \{a\}] \neq \not\emptyset, \forall r > 0$. Множество, содержащее
136+
все свои предельные точки, называется \textbf{замкнутым}. Дополнение замкнутого множества
137+
называется \textbf{открытым}. Множество называется \textbf{нигде не плотным}, если в любой
138+
окрестности пространства есть шар без его точек. Множество называется \textbf{всюду плотным},
139+
если его замыкание совпадает со всем пространством.
140+
141+
Пусть $|E| = p > 0$, то $\forall q \in [0, p) \exists E_q \subset E: |E_q| = q$. В самом деле,
142+
пусть $|E|$ ограничено. Тогда $E \subset [a, b]$. Рассмотрим функцию
143+
\begin{equation}
144+
f(x) = |E(x)|,
145+
\end{equation}
146+
где
147+
\begin{equation}
148+
E(x) = [a, x] \cap E, x \in [a, b].
149+
\end{equation}
150+
Тогда
151+
\begin{equation}
152+
f(a) = 0, f(b) = |E|,
153+
\end{equation}
154+
\begin{equation}
155+
f(x + \Delta x) - f(x) = |[x, x + \Delta x] \cap E| \leq \Delta x,
156+
\end{equation}
157+
т. е. $f(x)$ непрерывна, т. е. принимает все значения на области значений, что и доказывает
158+
утверждение. Пусть теперь $E$ не ограничено. Тогда рассмотрим множества $E_n = [-n, n] \cap E$.
159+
Так как $|E_n| \to |E| \Rightarrow |E_{n_0}| > q$. К такому $E_{n_0}$ применим результат
160+
предыдущего пункта.
161+
162+
Линейное пространство называется \textbf{нормированным}, если каждому его элементу сопоставлено
163+
действительное неотрицательное число, называемое \textbf{нормой}, если для неё выполнены аксиомы:
164+
\begin{itemize}
165+
\item $||x|| = 0 \Leftrightarrow x = 0$,
166+
\item $||\alpha x|| = |\alpha|||x||$,
167+
\item $||x + y|| \leq ||x|| + ||y||$.
168+
\end{itemize}
169+
Расстояние вводится так: $\rho(x, y) = ||x - y||$. Бесконечномерное нормированное линейное
170+
пространство называется \textbf{гильбертовым}.
171+
172+
Пусть $D$ - ограниченная односвязная область евклидова пространства. Пространство $C^m(D)$,
173+
$m \in \mathbb{Z}, m \geq 0$ -- пространство $m$ раз дифференцируемых функций на $D$, $C(D)$ --
174+
пространство непрерывных на $D$ функций. Аналогичное пространство рассматривается для
175+
компакта. Для компакта справедлива \textbf{лемма Гейне-Бореля}. На $C^m(\overline{D})$ можно
176+
ввести норму: $||f|| \equiv ||f||_{C(\overline{D})} = \max_{x \in \overline{D}}|f(x)|$. К сожалению,
177+
такое пространство всегда будет неполным. В пространстве $C^1[0, 1]$ можно построить
178+
фундаментальную последовательность, сходящуюся к функции вне $C^1[0, 1]$. Можно получить
179+
полноту, поправив норму: $||f|| = \max_{x \in [0, 1]}|f(x)| + \max_{x \in [0, 1]}|f'(x)|$.
180+
181+
\textbf{Мультииндекс}: $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n), \alpha_i \geq 0, \alpha_i \in \mathbb{Z}$,
182+
$|\alpha| = \sum_{i = 1}^n\alpha_i$. В таких обозначениях частная производная записывается как:
183+
\begin{equation}
184+
D^{\alpha}f(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}f(x)}{\partial x_n^{\alpha_n}\ldots\partial x_1^{\alpha_1}}
185+
\end{equation}
186+
Тогда
187+
\begin{equation}
188+
||f||_{C^m(\overline{D})} = \sum_{|\alpha| \leq m}\max|D^{\alpha}f(x)|.
189+
\end{equation}
190+
С другой стороны, можно ввести норму так:
191+
\begin{equation}
192+
||f||_{C^m(\overline{D})} = \max_{|\alpha| \leq m}\max|D^{\alpha}f(x)|.
193+
\end{equation}
194+
Величина
195+
\begin{equation}
196+
|f|_{C^m(\overline{D})} = \max_{|\alpha| = m}\max|D^{\alpha}f(x)|
197+
\end{equation}
198+
называется \textbf{полунормой}. Для неё не выполняется первая аксиома.
199+
200+
В n-мерном пространстве множество называется \textbf{множеством меры ноль}, если существует
201+
счётная система, покрывающая это множество n-мерных параллелепипедов/шаров, суммарным объёмом
202+
сколь угодно малая. Свойство выполнено \textbf{почти всюду}, если оно не выполнено на множестве
203+
точек меры ноль. Будем называть функцию \textbf{измеримой}, если её можно представить в виде
204+
предела последовательности почти всюду сходящихся функций из $C(\overline{Q})$. Множество
205+
называется \textbf{измеримым}, если её характеристическая функция является измеримой.
206+
207+
$\operatorname{supp} f(x) = \{x \in Q: f(x) \neq 0\}$ - \textbf{носитель функции}. Функция называется
208+
\textbf{финитной} на Q, если $\operatorname{supp} f(x) \subset Q$.
209+
Класс $L^+(Q)$ - класс функций, для которых есть последовательность финитных на Q функций $f_n(x)$,
210+
сходящихся почти всюду к $f(x)$, таких, что $\lim_{n \to \infty}\int_Qf_n(x)dx = \int_Qf(x)dx$.
99211
\end{document}

0 commit comments

Comments
 (0)