Initial commit

Author: SeTSeR

Algebra/algebra1.org

@@ -0,0 +1,260 @@
+#+LATEX_HEADER:\usepackage{amsmath}
+#+LATEX_HEADER:\usepackage{esint}
+#+LATEX_HEADER:\usepackage[english,russian]{babel}
+#+LATEX_HEADER:\usepackage{mathtools}
+#+LATEX_HEADER:\usepackage{amsthm}
+#+OPTIONS: toc:nil
+#+LATEX_HEADER:\usepackage[top=0.8in, bottom=0.75in, left=0.625in, right=0.625in]{geometry}
+
+#+LATEX_HEADER:\def\zall{\setcounter{lem}{0}\setcounter{cnsqnc}{0}\setcounter{th}{0}\setcounter{Cmt}{0}\setcounter{equation}{0}}
+
+#+LATEX_HEADER:\newcounter{lem}\setcounter{lem}{0}
+#+LATEX_HEADER:\def\lm{\par\smallskip\refstepcounter{lem}\textbf{\arabic{lem}}}
+#+LATEX_HEADER:\newtheorem*{Lemma}{Лемма \lm}
+
+#+LATEX_HEADER:\newcounter{th}\setcounter{th}{0}
+#+LATEX_HEADER:\def\th{\par\smallskip\refstepcounter{th}\textbf{\arabic{th}}}
+#+LATEX_HEADER:\newtheorem*{Theorem}{Теорема \th}
+
+#+LATEX_HEADER:\newcounter{cnsqnc}\setcounter{cnsqnc}{0}
+#+LATEX_HEADER:\def\cnsqnc{\par\smallskip\refstepcounter{cnsqnc}\textbf{\arabic{cnsqnc}}}
+#+LATEX_HEADER:\newtheorem*{Consequence}{Следствие \cnsqnc}
+
+#+LATEX_HEADER:\newcounter{Cmt}\setcounter{Cmt}{0}
+#+LATEX_HEADER:\def\cmt{\par\smallskip\refstepcounter{Cmt}\textbf{\arabic{Cmt}}}
+#+LATEX_HEADER:\newtheorem*{Note}{Замечание \cmt}
+
+\zall
+
+Лектор Гуров Сергей Исаевич
+
+На одной из лекции будет КР. Допуск к экзамену <- зачёт по КР.
+
+*Группа* - тройка $<G, \circ, e>$, где $G$ - непустое множество, e - единичный(нейтральный) элемент, причём выполнены следующие аксиомы:
+1. Замкнутость(устойчивость) $G$ относительно операции.
+2. Ассоциативность операции.
+3. $(x \circ e) = (e \circ x) = x$
+4. $\forall x \in G \exists y \in G x \circ y = e$
+Таблица Кэли - аналог таблицы умножения.
+
+$V_4 = \{e, a, b, c\}$
+
+#+BEGIN_EXPORT latex
+\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
+\hline
+\circ  & e & a & b & c \\
+\hline
+e      & e & a & b & c \\
+\hline
+a      & a & e & c & b \\
+\hline
+b      & b & c & e & a \\
+\hline
+c      & c & b & a & e \\
+\hline
+\end{tabular}
+#+END_EXPORT
+
+Примеры групп: $\mathbb{Q}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ относительно сложения.
+$n\mathbb{Z}, B^n, S_n$.
+
+В случае, если операция коммутативна, группа называется *коммутативной* или *абелевой*.
+
+Пусть $a \in G$. Наименьшее $n$ такое, что $a^n = e$ называется *порядком* элемента $a$($\operatorname{ord} a$).
+
+Подгруппой G называется $H \subset G$ являющееся подгруппой: $H \leq G$.
+Каждый элемент порождает группу $\{a, a^2, \ldots, a^{\operatorname{ord} a}\}$.
+
+Пусть $H \leq G, x \in G$. *Правым(левым) смежным классом* x называют множество:
+$$xH = \{x \circ n | n \in H\}, Hx = \{n \circ x | n \in H\}$$
+Подгруппа, для которой левые и правые классы с одинаковым представителем совпадают, называется
+*нормальной*.
+
+#+BEGIN_EXPORT latex
+\begin{Theorem}
+Правые(левые) смежные классы разных элементов либо совпадают, либо не пересекаются.
+\end{Theorem}
+#+END_EXPORT
+
+*Изоморфизм* - биекция, сохраняющая операцию. Группы, между которыми существуют изоморфизмы,
+называются *изоморфными*.
+
+#+BEGIN_EXPORT latex
+\begin{Theorem}
+Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе S_n.
+\end{Theorem}
+#+END_EXPORT
+
+*Гомоморфизм* - отображение меджу группами, сохраняющее операцию.
+
+#+BEGIN_EXPORT latex
+\begin{Theorem}
+Пусть $H$ - нормальная подгруппа $G$. Тогда
+$$|G| = |H| \cdot [G: H]$$
+Число $[G: H]$ называется индексом группы $G$ относительно нормальной подгруппы $H$.
+\end{Theorem}
+#+END_EXPORT
+
+*Циклическими* называют группы, порождённые одним элементом. Бесконечные циклические группы изоморфны
+группе целых чисел по сложению. Циклические группы порядка n изоморфны группе вычетов порядка n.
+
+Все порождающие элементы $\mathbb{Z}_n$ это числа, взаимно простые с $n$.
+
+*Функция Эйлера* - количество чисел, взаимно простых с p, меньших p.
+Свойства функции Эйлера:
+1. $\varphi(p^k) = p^{k - 1}\varphi(p)$.
+2. Если $(a, b) = 1$, то $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$.
+
+Абелева группа называется *кольцом*, если на ней определена операция умножения, связанная
+с операцией сложения дистрибутивностью.
+
+Если умножение ассоциативно(коммутативно), кольцо называется *ассоциативным(коммутативным)*.
+Если у умножения существует нейтральный элемент, кольцо называется *кольцом с единицей*.
+Если $\forall a \neq 0, b \neq 0 ab \neq 0$, кольцо называется *кольцом без делителей нуля*.
+Ассоциативное коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется *целостным*.
+
+Пусть R - кольцо.
+Множество обратимых элементов R обозначаем R^*.
+
+Элемент кольца называется *неразложимым*, если он не может быть представлен в виде произведения двух других.
+
+*Факториальным* называется кольцо, каждый ненулевой элемент которого либо обратим, либо однозначно
+с точностью до порядка сомножителей и умножения на обратимые элементы раскладывается на неразложимые
+множители. Такое разложение числа называется *примарным*.
+
+Рассмотрим $S \subset R$, являющееся кольцом. Такое множество называется *подкольцом*. Условия:
+1. S - подгруппа по сложению
+2. S замкнуто по умножению.
+
+(Двухсторонним)*Идеалом* называется подкольцо коммутативного кольца, замкнутое относительно
+и умножения на элементы кольца.
+
+Идеал $I$ коммутативного кольца $R$ называется *главным* с представителем $a \in R$(идеалом, порождённым $a$), если
+$$I = \{r\cdot a | r \in R\} = (a)$$
+
+Кольца, в которых все идеалы являются главными, называются *кольцами главных идеалов*. *Максимальным*
+называется идеал, такой что $I_{max} \subset I \Rightarrow I = R$.
+
+*Утверждение*: В коммутативном кольце всегда существует максимальный идеал.
+
+*Классом вычетов* по модулю идеала $I$ коммутативного кольца $R$ с представителем $r \in R$
+называется множество $r + I = \{r + i | i \in I\} = \overline{r_I}$.
+
+*Фактор-кольцом* $R/I$ называется кольцо классов вычетов $\overline{r_I}$.
+
+*Утверждение*: Фактор-кольцо по максимальному идеалу является полем.
+
+Целостное кольцо $R$ называется *евклидовым*, если $\forall a \in R, a \neq 0 \exists N(a) \in \mathbb{N}$,
+такая, что $\forall b \neq 0 a = bq + r$, причём $r = 0$ или $N(r) < N(b)$.
+
+Целостное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется *полем*. У поля есть
+мультипликативная группа(абелева группа по умножению).
+
+Будем обозначать $R^*$ множество обратимых элементов кольца $R$.
+
+У поля существуют только тривиальные идеалы.
+
+Структура, аналогичная полю, в которой умножение некоммутативно, называется *телом*.
+#+BEGIN_EXPORT latex
+\begin{Theorem}
+В теле нет нетривиальных идеалов.
+\end{Theorem}
+#+END_EXPORT
+*Линейным векторным пространством* V над полем P называется аддитивная группа по сложению,
+для элементов которой определено умножение на элементы поля, обладающая свойствами:
+$$a(v_1 + v_2) = av_1 + av_2 \forall a \in P, v_1, v_2 \in V$$
+$$(a + b)v = av + bv \forall a, b \in P, v \in V$$
+$$a(bv) = (ab)v \forall a, b \in P, v \in V$$
+$$1v = v \forall v \in V$$
+и замкнутая относительно линейной комбинации с коэффициентами из P.
+
+Поля вычетов по модулю $p$, где $p$ - простое, называются *простыми полями Галуа*. Минимальное
+число $p$ такое, что $\underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{p} = 0$, называется *характеристикой* поля.
+Если $p = \infty$, считается, что $p = 0$. Поле дробей-многочленов имеет конечную характеристику,
+но является бесконечным.
+
+*Утверждение(тождество Фробениуса)*: $\forall a, b \in GF(p) (a + b)^p = a^p + b^p$
+
+Пусть $F^*_p = F_p \ \{0\}$.
+
+*Утверждение*: $|F^*_q| = q - 1$.
+
+Рассмотрим $K[x]$ -  кольцо многочленов над полем $K$ от переменной $x$. Будем считать, что $a_n = 1$.
+Рассмотрим $\mathbb{F}_p[x]$.
+В $\mathbb{F}_2[x]$ неприводимыми являются многочлены $x^2 + x + 1, x^3 + x^2 + 1, x^3 + x + 1$.
+В $\mathbb{F}_5[x]$ неприводимыми являются 6 многочленов.
+#+BEGIN_EXPORT latex
+\begin{Theorem}
+В $\mathbb{F}_p \forall n < p$ существует неприводимый многочлен степени n.
+\end{Theorem}
+Пусть $a(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ - неприводимый многочлени степени n. Рассмотрим
+$(a(x)) = \{q(x)a(x) | q(x) \in \mathbb{F}_p[x]\}$. Тогда $\mathbb{F}_p[x] / (a(x))$ - множество
+остатков от деления многочленов на a(x) - является полем. Если $a(x)$ - многочлен степени $n$, то
+все остатки - многочлены степени до $n - 1$. Получили \textbf{расширение} поля Галуа $\mathbb{F}_p^n$,
+$GF(p^n)$.
+
+\textbf{Пример}:\\
+\mathbb{F}_3^2 - ?
+
+\begin{equation}
+\mathbb{F}_3^2[x] = \mathbb{F}_3^2[x]/(x^2 + 1) = \{0, 1, 2, x, 2x, x + 1, x + 2, 2x + 1, 2x + 2\}
+\end{equation}
+
+\textbf{Пример 2}:\\
+Рассмотрим $\mathbb{R}[x]$, a(x) = x^2 + 1. Тогда
+\begin{equation}
+\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) = \{ax + b | a, b \in \mathbb{R}\} \text{ - поле комплексных чисел}
+\end{equation}
+\begin{Theorem}
+Поля расширения по разным многочленам изоморфны.
+\end{Theorem}
+\begin{Theorem}[Соотношение Безу]
+\forall a, b \in \mathbb{N} \exists d \in \mathbb{N}, x, y \in \mathbb{Z}: ax + by = d, d = (a, b).
+\end{Theorem}
+
+\textbf{Расширенный алгоритм Евклида}:
+\begin{equation*}
+E = \begin{Vmatrix}
+1 & 0 \\
+0 & 1 \\
+\end{Vmatrix},
+r = 0.
+\end{equation*}
+\end{enumerate}
+Если $r = 0$, то второй столбец $E$ даёт $x$ и $y$.
+
+Иначе \begin{equation}
+E \to E \cdot \begin{Vmatrix}
+0 & 1 \\
+1 & -q
+\end{Vmatrix}
+\end{equation}
+и $(a, b) \to (b, r)$.
+#+END_EXPORT
+
+#+BEGIN_EXPORT latex
+Алгоритм Евклида позволяет искать обратный элемент в $\mathbb{Z}_m$:
+
+1. Пусть $(c, m) = 1$. \\
+2. Рассмотрим матрицу \begin{equation}
+\begin{Vmatrix}
+m & 0 \\
+c & 1.
+\end{Vmatrix}
+\end{equation}\\
+3. Поделим $m$ на $c$ с остатком: $m = qc + r$.\\
+4. Вторую строку домножаем на $q$ и вычитаем из первой.\\
+5. Когда первый элемент последней строки становится равным нулю, второй элемент даёт $c^{-1}$.
+#+END_EXPORT
+
+*Обобщённый алгоритм Евклида для нахождения в* $\mathbb{F}_p/(a(x)) y(x)$, *обратного к* $b(x)$:
+#+BEGIN_EXPORT latex
+Шаг 0: $r_{-2}(x) = a(x), r_{-1}(x) = b(x), y_{-2}(x) = 0, y_{-1}(x) = 1$.\\
+Шаг 1: $$r_{-2} / r_{-1} \Rightarrow q_0, r_0$$
+$$r_{-2}(x) = r_{-1}(x)q_0(x) + r_0(x)$$
+$$y_0(x) = -q_0(x)$$
+Если $\operatorname{deg} r_0(x) \geq 1$ - к следующему шагу, иначе к $(n + 1)$-му шагу.\\
+Шаг 2: $$r_{i - 3}(x) = r_{i - 2}(x)q_{i - 1}(x) + r_{i - 1}(x)$$
+$$y_{i - 1}(x) = y_{i - 3}(x) - y_{i - 2}(x)q_{i - 1}(x)$$
+Если $\operatorname{deg}r_{i - 1} > 0$, продолжаем итерации.
+#+END_EXPORT