Documentación_modulos.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "binding-johns",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<h1 style=\"color:Tomato;\"> Documentación del archivo Modulos </h1>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "crucial-colony",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Con base en la teoria del método de rigidez se desarrollan la siguientes funciones:\n",
    "\n",
    "## Elemento tipo portico plano:\n",
    "\n",
    "## Funciones de forma \n",
    "\n",
    "    Fforma(x, L)\n",
    " \n",
    "Recibe las variables de x y L donde xe es la variable simbolica de sympy y Le la longitud del elemento al cual se le calculas las funciones de forma siendo estas las siguientes:\n",
    "\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{align}\n",
    "{\\psi}_1 &=1 - \\left(\\frac{x'_{E}}{L_{E}}\\right)\\\\\n",
    "{\\psi}_2 &= 1 - 3\\left(\\frac{x'_E}{L_E}\\right)^2 + 2\\left(\\frac{x'_E}{L_E}\\right)^3\\\\\n",
    "{\\psi}_3 &= L_{E} \\left[\\left(\\frac{x'_{E}}{L_{E}}\\right) - 2\\left(\\frac{ x'_{E}}{L_{E}}\\right)^{2} + \\left(\\frac{x'_{E}}{L_{E}}\\right)^{3}\\right]\\\\\n",
    "{\\psi}_4 &=\\frac{x'_{E}}{L_{E}}\\\\\n",
    "{\\psi}_5 &=3 {\\left(\\frac{ x'_{E}}{L_{E}}\\right)}^{2} -2 \\left( \\frac{ x'_{E}}{L_{E}}\\right)^{3}\\\\\n",
    "{\\psi}_6 &=L_{E} \\left[- \\left(\\frac{x'_{E}}{L_{E}}\\right)^{2} + \\left(\\frac{x'_{E}}{L_{E}}\\right)^{3}\\right]\n",
    "\\end{align}\\\\\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\\\\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\text{Funciones de Forma elemento tipo portico plano}\\\\\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "source": [
    "Esta función de manera natural entregara o tendra como salida una lista con las correspondientes funciones de forma ordenas de manera ascendiente con indices de 0-5 donde la función de forma número (1) corresponde al indice número 0 y la función de forma número (6) corresponde al indice número 5  "
   ],
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {}
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 25,
   "id": "coupled-opera",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "import sympy as sy  # importando la libreria simbolica de sympy\n",
    "\"\"\"\n",
    "importando sympy como se realiza anteriormente se estan importando todos los métodos o funcionmes existentes en esta libreria. si se quiere solamente cargar una función de esta libreria debera cargarse de la siguiente manera:\n",
    "\n",
    "\"from sympy import symbols\" \n",
    "\"\"\"\n",
    "from Modulos import Fforma # importando de la liberia Modulos solamente la funcion Fforma Correspondiente a las funciones de forma\n",
    "from Modulos import * # importando toda la libreria po lo tanto todas sus funciones \n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 16,
   "id": "severe-potential",
   "metadata": {
    "tags": [
     "hidecode"
    ]
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "xe = sy.symbols('xe') # variable simbolica para xe \n",
    "Le = sy.symbols('Le') # variable simbolica para Le \n",
    "\n",
    "# creando las funciones de forma para el elemento E con longitud Le y eje axial xe\n",
    "\n",
    "psi1 = Fforma(xe,Le)[0]\n",
    "psi2 = Fforma(xe,Le)[1]\n",
    "psi3 = Fforma(xe,Le)[2]\n",
    "psi4 = Fforma(xe,Le)[3]\n",
    "psi5 = Fforma(xe,Le)[4]\n",
    "psi6 = Fforma(xe,Le)[5]\n"
   ]
  },
  {
   "source": [
    "## Funciones de green \n",
    "\n",
    "    Gxx(xe, xi, Le, Ee, Ae)\n",
    "\n",
    "Función de green ${G_{xx}}^{E}(x_E, \\xi_E)$\n",
    "\n",
    "Recibe como variables  x, xi, Le, Ee, Ae donde:\n",
    "\n",
    "1. xe es una variable simbolica a la que luego se le darán valores\n",
    "2. xi variable simbolica alternativa\n",
    "3. Le longitud del elemento E\n",
    "4. Ee módulo de elasticidad del elemento E\n",
    "5. Ae área del elemento E\n",
    "\n",
    "```\n",
    "Gyy(x, xi, Le, Ee, Ie)\n",
    "```\n",
    "\n",
    "Función de green ${G_{yy}}^{E}(x_E, \\xi_E)$\n",
    "\n",
    "Recibe como variables  x, xi, Le, Ee, Ie donde:\n",
    "\n",
    "1. xe es una variable simbolica a la que luego se le darán valores\n",
    "2. xi variable simbolica alternativa\n",
    "3. Le longitud del elemento E\n",
    "4. Ee módulo de elasticidad del elemento E\n",
    "5. Ie módulo de Inercia del elemento E\n",
    "\n",
    "\n",
    "La salida o lo que entergara estas funciones al igual que la función de forma será una lista dentro de la cual se encuentran los dos casos para la función ${G_{xx}}^{E}(x_E, \\xi_E)$ y ${G_{yy}}^{E}(x_E, \\xi_E)$ como se muestran.\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{equation}\n",
    "    G_{xx}(x'_E,{\\xi}'_E) =\n",
    "    \\begin{cases}\n",
    "    G_{xx}^I(x'_E,{\\xi}'_E) = \\dfrac{L_E}{A_E E_E}{{\\psi}_4}^E(x'_E){{\\psi}_1}^E(\\xi'_E) & 0 \\leq x'_E < \\xi'_E \\\\ \n",
    "    \\\\\n",
    "    G_{xx}^{II}(x'_E,{\\xi}'_E) = \\dfrac{L_E}{A_E E_E}{{\\psi}_1}^E(x'_E){{\\psi}_4}^E(\\xi'_E) & {\\xi}'_E  {\\leq} x'_E <  L_E\n",
    "    \\end{cases}\n",
    "\\end{equation}\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\\\\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\begin{equation}\n",
    "    G_{yy}(x'_E,{\\xi}'_E) =\n",
    "    \\begin{cases}\n",
    "    G_{yy}^I(x'_E,{\\xi}'_E) = \\dfrac{L^3_E}{6E_E I_E} \\left[-\\left(\\dfrac{x'_E}{L_E}\\right)^3{{\\psi}_2}^E(\\xi'_E) + 3\\left(\\dfrac{x'_E}{L_E}\\right)^2 \\frac{{{\\psi}_3}^E(\\xi'_E)}{L_E}\\right]  & 0 \\leq x'_E \\leq {\\xi}'_E \\\\ \\\\\n",
    "    G_{yy}^{II}(x'_E,{\\xi}'_E) = \\dfrac{L^3_E}{6E_E I_E} \\left[-\\left(1-\\dfrac{x'_E}{L_E}\\right)^3{{\\psi}_5}^E(\\xi'_E) + 3\\left(1-\\dfrac{x'_E}{L_E}\\right)^2 \\dfrac{{{\\psi}_3}^E(\\xi'_E)}{L_E}\\right]  & {\\xi}'_E < x'_E \\leq L_E \n",
    "    \\end{cases}\n",
    "\\end{equation}\n",
    "$$"
   ],
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {}
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 37,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# se crean las variables simbolicas con el fines demostrativos.\n",
    "\n",
    "xi, Le, Ee, Ae, Ie = sy.symbols('xi, Le, Ee, Ae, Ie')\n",
    "\n",
    "# funciones de Gxx \n",
    "gxx1 = Gxx(xe, xi, Le, Ee, Ae)[0]\n",
    "gxx2 = Gxx(xe, xi, Le, Ee, Ae)[1]\n",
    " \n",
    "# funciones de gyy\n",
    "\n",
    "gyy1 = Gyy(xe, xi, Le, Ee, Ie)[0]\n",
    "gyy2 = Gyy(xe, xi, Le, Ee, Ie)[1]\n"
   ]
  },
  {
   "source": [
    "## Sistema de ecuaciones en coordenadas locales\n",
    "\n",
    "    Matrizportico_locales(Ae, Ee, Le, Ie)\n",
    "\n",
    "Recibe como variables Ae, Ee, Le, Ie donde:\n",
    "\n",
    "1. Ae área del elemento E\n",
    "2. Ee módulo de elasticidad del elemento E\n",
    "3. Le longitud del elemento E\n",
    "4. Ie módulo de inercia del elemento E\n",
    "\n",
    "y tendra como salida un arreglo matricial de la libreria sympy. Este arreglo matricial sera como se presenta a continuación:\n",
    "\n",
    "<br />\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{equation}\n",
    "\\begin{bmatrix}\n",
    "\\dfrac{A_E E_E}{L_E} &0&0& -\\dfrac{A_E E_E}{L_E} &0&0\\\\\n",
    "0&\\dfrac{12E_E I_E}{{L_E}^{3}}&\\dfrac{6E_E I_E}{{L_E}^{2}}&0&-\\dfrac{12E_E I_E}{{L_E}^{3}}&\\dfrac{6E_E I_E}{{L_E}^{2}}\\\\\n",
    "0&\\dfrac{6E_E I_E}{{L_E}^{2}}&\\dfrac{4E_E I_E}{{L_E}}&0&-\\dfrac{6E_E I_E}{{L_E}^{2}}&\\dfrac{2E_E I_E}{L_E}\\\\ \n",
    "-\\dfrac{A_E E_E}{L_E} &0&0& \\dfrac{A_E E_E}{L_E} &0&0\\\\\n",
    "0&-\\dfrac{12E_E I_E}{{L_E}^{3}}&-\\dfrac{6E_E I_E}{{L_E}^{2}}&0&\\dfrac{12E_E I_E}{{L_E}^{3}}&-\\dfrac{6E_E I_E}{{L_E}^{2}}\\\\\n",
    "0&\\dfrac{6E_E I_E}{{L_E}^{2}}&\\dfrac{2E_E I_E}{{L_E}}&0&-\\dfrac{6E_E I_E}{{L_E}^{2}}&\\dfrac{4E_E I_E}{L_E}\\\\ \n",
    "\\end{bmatrix}\n",
    "\\end{equation}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "<br />\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\text{Sistema de ecuaciones de coordenadas locales}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "```\n",
    "Vector_emp_portico(xe, Le, pe, qe)\n",
    "```\n",
    "\n",
    "recibe las variables de xe, Le, pe, qe donde:\n",
    "\n",
    "1. xe variable simbolica\n",
    "2. Le longitud del elemento E\n",
    "3. Carga externa en dirección del eje local x'e\n",
    "4. Carga externa en dirección del eje local y'e\n",
    "\n",
    "La función tendra como salida un vector de 6 componenetes con los valores de empotramiento según corresponden. \n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{equation}\n",
    "\\left\\{ \\begin{array}{c}\n",
    "\\int_{0}^{L_E} {{\\psi}_1}^E(x'_E)p_E dx'_E \\\\ \\int_{0}^{L_E} {{\\psi}_2}^E(x'_E)q_E dx'_E \\\\ \\int_{0}^{L_E} {{\\psi}_3}^E(x'_E)q_E dx'_E \\\\\n",
    "\\int_{0}^{L_E} {{\\psi}_4}^E(x'_E)p_E dx'_E  \\\\ \\int_{0}^{L_E} {{\\psi}_5}^E(x'_E)q_E dx'_E \\\\ \\int_{0}^{L_E} {{\\psi}_6}^E(x'_E)q_E dx'_E \n",
    "\\end{array} \\right\\}\n",
    "\\end{equation}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "<h2 style=\"color:Tomato;\">Nota:</h2> \n",
    "\n",
    "1. Las cargas deben ser si y solo si en dirección de los ejes locales en el caso de tener las cargas externas en coordenadas globales se debera hacer la transformación a las coordenadas locales (Cargas2Locales) como se explica más adelanate en este tutorial.\n",
    "\n",
    "2. Esta formula se encuentra formulada para el caso de que toda la carga externa se encuentre distribuida a lo largo de todo el elemento, en caso de que sea por tramos debera realizarse de \n",
    "**Vector_emp_portico_tramos(xe, Le, pe, qe, xi, xj)** y posteriormente la suma de estos de ser necesaria.\n",
    " "
   ],
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {}
  },
  {
   "source": [
    "### Transformación cargas externas \n",
    "\n",
    "    Cargas2Locales(dirR, Q, theta)\n",
    "\n",
    "Se transforman las cargas externas de coordenadas globales a coordenadas locales, donde este método o formula recibe como variables los datos de inclinación del elemento en sentido antihorario (theta), la carga (Q) a transformar y la direción en la que sta horientada la carga en dirección de los ejes locales ya sea horizontal o vetical por lo que en este campo solo se recibe ya sea v, V para vertical o h, H para horizontal de lo contrartio arrojara un error.\n",
    "\n",
    "y como salida entregara una lista con las cargas p y q en este mismo orden transformadas según correspondan.\n",
    "\n",
    "Para el caso de la fuerza externa en dirección vertical $R'(x'_E)$, las cargas externas en coordenadas locales son:\n",
    "$$\n",
    "\\begin{align}\n",
    "    p_E(x'_E) &= R'(x'_E)|\\cos{\\theta_E}|\\sin{\\theta_E} \\\\\n",
    "    q_E(x'_E) &= R'(x'_E)|\\cos{\\theta_E}|\\cos{\\theta_E} \n",
    "\\end{align}\n",
    "$$\n",
    "<br />\n",
    "\n",
    "De forma similar al caso de la fuerza externa en dirección vertical $R'(x'_E)$, las cargas externas en coordenadas locales son para una carga en dirección horizontal son:\n",
    "\n",
    "<br />\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{align}\n",
    "        p_E(x'_E) =& Q'(x'_E)|\\sin{\\theta_E}|\\cos{\\theta_E}\\\\\n",
    "        q_E(x'_E) =& -Q'(x'_E)|\\sin{\\theta_E}|\\sin{\\theta_E}\n",
    "\\end{align}\n",
    "$$"
   ],
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {}
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 18,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Matriz en coordenadas locales\n",
    "\n",
    "ME_loc = Matrizportico_locales(Ae, Ee, Le, Ie)\n",
    "\n",
    "# transformación de las cargas en coordenadas globales:\n",
    " \n",
    "# sea R(xe) una carga externa en coordenadas globales en dirección vertical \n",
    "# y Q(xe) una carga externa en coordenadas globales en dirección horizontal\n",
    "# R(xe) tendra un a´ngulo de inclinación tethaR y Q thetaQ\n",
    "\n",
    "R, thetaR = sy.symbols('R, thetaR')\n",
    "Q, thetaQ = sy.symbols('Q, thetaQ')\n",
    "\n",
    "pR = Cargas2Locales('v', R, thetaR)[0]\n",
    "qR = Cargas2Locales('v', R, thetaR)[1]\n",
    "\n",
    "pQ = Cargas2Locales('h', Q, thetaQ)[0]\n",
    "qQ = Cargas2Locales('h', Q, thetaQ)[1]\n",
    "\n",
    "# Vector de empotramiento en coodenadas locales \n",
    "\n",
    "vect_empo_E = Vector_emp_portico(xe, Le, pR, qR) # para la carga externa R(xe) en dirección vetical\n",
    "\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "source": [
    "## Matriz de transformación a coordenadas globales\n",
    "\n",
    "    Mtrans(theta_e, phi_i, phi_j)\n",
    "\n",
    "Recibe como variables las siguientes:\n",
    "\n",
    "1. theta_e ángulo de inclinación del elemento E\n",
    "2. phi_i ángulo de inclinación del apoyo al inicio del elemento \n",
    "3. phi_j ángulo de inclinación del apoyo al final del elemento \n",
    "\n",
    "y dara como resultado una matriz de 6x6 con los valores adecuados para la transformación a coordenadas globales, como la siguiente.\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\left[\\begin{matrix}\\cos{\\left(\\phi_{i} - \\theta_{E} \\right)} & - \\sin{\\left(\\phi_{i} - \\theta_{E} \\right)} & 0 & 0 & 0 & 0\\\\\\sin{\\left(\\phi_{i} - \\theta_{E} \\right)} & \\cos{\\left(\\phi_{i} - \\theta_{E} \\right)} & 0 & 0 & 0 & 0\\\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\0 & 0 & 0 & \\cos{\\left(\\phi_{j} - \\theta_{E} \\right)} & - \\sin{\\left(\\phi_{j} - \\theta_{E} \\right)} & 0\\\\0 & 0 & 0 & \\sin{\\left(\\phi_{j} - \\theta_{E} \\right)} & \\cos{\\left(\\phi_{j} - \\theta_{E} \\right)} & 0\\\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\end{matrix}\\right]\n",
    "$$"
   ],
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {}
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 8,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "\n",
    "theta_E, phi_i, phi_j = sy.symbols('theta_E, phi_i, phi_j')\n",
    "\n",
    "# creación de la matriz de transformación de coordenadas para el elemento E\n",
    "\n",
    "ME_trans = Mtrans(theta_E, phi_i, phi_j) "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "celltoolbar": "Tags",
  "interpreter": {
   "hash": "a20733d2e16c949a1469d40e1adfe43a0a74d020c35bd1193ba7baa471c903e3"
  },
  "kernelspec": {
   "name": "python3",
   "display_name": "Python 3.7.1 64-bit ('base': conda)"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.7.1"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}