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01.Graph-DFS.md

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1. 深度优先搜索简介

深度优先搜索算法（Depth First Search）：英文缩写为 DFS。是一种用于搜索树或图的算法。所谓深度优先，就是说每次都尝试向更深的节点走。

深度优先搜索采用了回溯思想，该算法沿着树的深度遍历树的节点，会尽可能深的搜索树的分支。当节点 v 的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点 v 的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。

在深度优先遍历的过程中，我们需要将当前遍历节点 v 的相邻节点暂时存储起来，以便于在回退的时候可以继续访问它们。遍历到的节点顺序符合「后进先出」的特点，这正是「递归」和「堆栈」所遵循的规律，所以深度优先搜索可以通过「递归」或者「堆栈」来实现。

2. 深度优先搜索过程演示

接下来我们以一个无向图为例，演示一下深度优先搜索的过程。

我们用邻接字典的方式存储无向图结构，对应结构如下：

# 定义无向图结构
graph = {
    "A": ["B", "C"],
    "B": ["A", "C", "D"],
    "C": ["A", "B", "D", "E"],
    "D": ["B", "C", "E", "F"],
    "E": ["C", "D"],
    "F": ["D"]
}

该无向图对应的邻接字典表示：无向图中有 A、B、C、D、E、F 共 6 个节点，其中与 A 节点相连的有 B、C 两个节点，与 B 节点相连的有 A、C、D 三个节点，等等。

该无向图的结构如图左所示，其深度优先搜索的遍历路径如图右所示。

其深度优先搜索的遍历过程如下动态图所示。

3. 基于递归实现的深度优先搜索

3.1 基于递归实现的深度优先搜索实现步骤

  1. 定义 graph 为存储无向图的字典变量，visited 为标记访问节点的 set 集合变量。start 为当前遍历边的开始节点。def dfs_recursive(graph, start, visited): 为递归实现的深度优先搜索方法。
  2. 将 start 标记为已访问，即将 start 节点放入 visited 中（visited.add(start)）。
  3. 访问节点 start，并对节点进行相关操作（看具体题目要求）。
  4. 遍历与节点 start 相连并构成边的节点 end。
    1. 如果 end 没有被访问过，则从 end 节点调用递归实现的深度优先搜索方法，即 dfs_recursive(graph, end, visited)。

3.2 基于递归实现的深度优先搜索实现代码

def dfs_recursive(graph, start, visited):
    # 标记节点
    visited.add(start)
    # 访问节点
    print(start)

    for end in graph[start]:
        if end not in visited:
            # 深度优先遍历节点
            dfs_recursive(graph, end, visited)

4. 基于堆栈实现的深度优先搜索

4.1 基于堆栈实现的深度优先搜索实现步骤

  1. start 为开始节点。定义 visited 为标记访问节点的 set 集合变量。定义 stack 用于存放临时节点的栈结构。
  2. 首先访问起始节点，并对节点进行相关操作（看具体题目要求）。
  3. 然后将起始节点放入栈中，并标记访问。即 visited = set(start)，stack = [start]。
  4. 如果栈不为空，取 stack 栈顶元素 node_u。
  5. 遍历与节点 node_u 相连并构成边的节点 node_v。
    • 如果 node_v 没有被访问过，则：
      • 访问节点 node_v，并对节点进行相关操作（看具体题目要求）。
      • 将 node_v 节点放入栈中，并标记访问，即 stack.append(node_v)，visited.add(node_v)。
      • 跳出遍历 node_v 的循环。
    • 继续遍历 node_v。
  6. 如果 node_u 相邻的节点都访问结束了，从栈顶弹出 node_u，即 stack.pop()。
  7. 重复步骤 4 ~ 6，直到 stack 为空。

4.2 基于堆栈实现的深度优先搜索实现代码

def dfs_stack(graph, start):
    print(start)                        # 访问节点 start
    visited = set(start)                # 使用 visited 标记访问过的节点，先标记 start
    stack = [start]                     # 创建一个栈，并将 start 加入栈中
    
    while stack:
        node_u = stack[-1]              # 取栈顶元素
        
        i = 0
        while i < len(graph[node_u]):   # 遍历栈顶元素，遇到未访问节点，访问节点并跳出。
            node_v = graph[node_u][i]
            
            if node_v not in visited:   # node_v 未访问过
                print(node_v)           # 访问节点 node_v
                stack.append(node_v)    # 将 node_v 加入栈中
                visited.add(node_v)     # 标记为访问过 node_v
                break
            i += 1
        
        if i == len(graph[node_u]):    # node_u 相邻的节点都访问结束了，弹出 node_u
            stack.pop()

5. 深度优先搜索应用

5.1 岛屿数量

5.1.1 题目链接

5.1.2 题目大意

描述：给定一个由字符 '1'（陆地）和字符 '0'（水）组成的的二维网格 grid。

要求：计算网格中岛屿的数量。

说明：

  • 岛屿总是被水包围，并且每座岛屿只能由水平方向和/或竖直方向上相邻的陆地连接形成。
  • 此外，你可以假设该网格的四条边均被水包围。
  • $m == grid.length$。
  • $n == grid[i].length$。
  • $1 \le m, n \le 300$。
  • grid[i][j] 的值为 '0' 或 '1'。

示例：

输入：grid = [
  ["1","1","1","1","0"],
  ["1","1","0","1","0"],
  ["1","1","0","0","0"],
  ["0","0","0","0","0"]
]
输出：1


输入：grid = [
  ["1","1","0","0","0"],
  ["1","1","0","0","0"],
  ["0","0","1","0","0"],
  ["0","0","0","1","1"]
]
输出：3

5.1.3 解题思路

如果把上下左右相邻的字符 '1' 看做是 1 个连通块，这道题的目的就是求解一共有多少个连通块。

使用深度优先搜索或者广度优先搜索都可以。

思路 1：深度优先搜索
  1. 遍历 grid 。
  2. 对于每一个字符为 '1' 的元素，遍历其上下左右四个方向，并将该字符置为 0，保证下次不会被重复遍历。
  3. 如果超出边界，则返回 0。
  4. 对于 (i, j) 位置的元素来说，递归遍历的位置就是 (i - 1, j)、(i, j - 1)、(i + 1, j)、(i, j + 1) 四个方向。每次遍历到底，统计数记录一次。
  5. 最终统计出深度优先搜索的次数就是我们要求的岛屿数量。
思路 1：代码
class Solution:
    def dfs(self, grid, i, j):
        n = len(grid)
        m = len(grid[0])
        if i < 0 or i >= n or j < 0 or j >= m or grid[i][j] == '0':
            return 0
        grid[i][j] = '0'
        self.dfs(grid, i + 1, j)
        self.dfs(grid, i, j + 1)
        self.dfs(grid, i - 1, j)
        self.dfs(grid, i, j - 1)

    def numIslands(self, grid: List[List[str]]) -> int:
        count = 0
        for i in range(len(grid)):
            for j in range(len(grid[0])):
                if grid[i][j] == '1':
                    self.dfs(grid, i, j)
                    count += 1
        return count
思路 1：复杂度分析
  • 时间复杂度：$O(m \times n)$。其中 $m$ 和 $n$ 分别为行数和列数。
  • 空间复杂度：$O(m \times n)$。

5.2 克隆图

5.2.1 题目链接

5.2.2 题目大意

描述：以每个节点的邻接列表形式（二维列表）给定一个无向连通图，其中 adjList[i] 表示值为 i + 1的节点的邻接列表，adjList[i][j] 表示值为 i + 1 的节点与值为 adjList[i][j] 的节点有一条边。

要求：返回该图的深拷贝。

说明：

  • 节点数不超过 100。
  • 每个节点值 $Node.val$ 都是唯一的，$1 \le Node.val \le 100$。
  • 无向图是一个简单图，这意味着图中没有重复的边，也没有自环。
  • 由于图是无向的，如果节点 p 是节点 q 的邻居，那么节点 q 也必须是节点 p 的邻居。
  • 图是连通图，你可以从给定节点访问到所有节点。

示例：

输入：adjList = [[2,4],[1,3],[2,4],[1,3]]
输出：[[2,4],[1,3],[2,4],[1,3]]
解释：
图中有 4 个节点。
节点 1 的值是 1，它有两个邻居：节点 2 和 4 。
节点 2 的值是 2，它有两个邻居：节点 1 和 3 。
节点 3 的值是 3，它有两个邻居：节点 2 和 4 。
节点 4 的值是 4，它有两个邻居：节点 1 和 3 。

输入：adjList = [[2],[1]]
输出：[[2],[1]]

5.2.3 解题思路

所谓深拷贝，就是构建一张与原图结构、值均一样的图，但是所用的节点不再是原图节点的引用，即每个节点都要新建。

可以用深度优先搜索或者广度优先搜索来做。

思路 1：深度优先搜索
  1. 使用哈希表 visitedDict 来存储原图中被访问过的节点和克隆图中对应节点，键值对为 原图被访问过的节点：克隆图中对应节点。
  2. 从给定节点开始，以深度优先搜索的方式遍历原图。
    1. 如果当前节点被访问过，则返回隆图中对应节点。
    2. 如果当前节点没有被访问过，则创建一个新的节点，并保存在哈希表中。
    3. 遍历当前节点的邻接节点列表，递归调用当前节点的邻接节点，并将其放入克隆图中对应节点。
  3. 递归结束，返回克隆节点。
思路 1：代码
class Solution:
    def cloneGraph(self, node: 'Node') -> 'Node':
        if not node:
            return node
        visitedDict = dict()

        def dfs(node: 'Node') -> 'Node':
            if node in visitedDict:
                return visitedDict[node]

            clone_node = Node(node.val, [])
            visitedDict[node] = clone_node
            for neighbor in node.neighbors:
                clone_node.neighbors.append(dfs(neighbor))
            return clone_node

        return dfs(node)
思路 1：复杂度分析
  • 时间复杂度：$O(n)$。其中 $n$ 为图中节点数量。
  • 空间复杂度：$O(n)$。

参考资料