Final Update

Author: PetrusBellmonte

ReadMe.md

@@ -18,10 +18,12 @@ Wenn du Beweise, Abschnitte oder Graphiken erzänzen oder korrigieren willst (od
 Bitte beachte die Anmerkungen zur Notation und behalte die Numerierung aus der Vorlesung bei.
 Bei Problemen kontaktiere mich einfach.
 
-### HowTo mitOverleafs
-Forke das projekt, und wähle beim erstellen des neuen Projekts in overleafs "Import from Github" aus. Möglicherweise wirst da dabei aufgefordert Github mit Overleafs zu verbinden.
+### HowTo mit Overleafs
+Forke das Projekt, und wähle beim erstellen des neuen Projekts in overleafs "Import from Github" aus. Möglicherweise wirst da dabei aufgefordert Github mit Overleafs zu verbinden.
 
-Im Overleafs Menü kann man änderungen wieder in Github pushen und dann eine Pull-request stellen.
+Das Projekt funktioniert nur mit dem pdfLaTeX- Compile (in Overleafs im Menü auswählbar, wenn nicht bereits standartmäßig eingestellt).
+
+Im Overleafs Menü kann man änderungen wieder in Github pushen, wenn man im "Sync"-Berreich auf Github klickt. Aus Github kann man dann eine Pull-request stellen.
 
 ### Theorems
 Wir nutzen folgende theorem-typen, die mit `\begin{<name>}...\end{<name>}` genutzt werden können:
@@ -47,4 +49,5 @@ Einsehbar in `main.tex`. z.b
 | `\Z`, `\N`, `\Q`, `\C`, `\F` | $\mathbb{Z}$, $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{F}$ |
 | `\nt`, `\nteq` | $\vartriangleleft$, $\trianglelefteq$ |
 | `\trivG` | $\{e\}$ |
+| `\imph` | `\emph` & `\index` |
 

main.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
- %--------------------
+%--------------------
 % Packages
 % -------------------
 \documentclass[11pt,a4paper]{article}
@@ -110,6 +110,23 @@
 %-----------------------
 \begin{document}
 \maketitle
+\vspace{2cm}
+\begin{center}
+    \noindent
+    Dieses Skript wurde weitestgehend in den Vorlesungen mitgeschrieben und whärend der Nacharbeit korrigiert. Trotz bester Bemühungen wird es weiterhin allerlei Fehler beinhalten. Aus verschiedenen Gründen fehlen auch einige Beweise, Bilder und Skizzen.\\Hilfe dies zu ändern ist willkommen ;)
+\end{center}
+\vspace{.5cm}
+\begin{center}
+    \noindent
+    Die .tex-Dateien finden sich auf \href{https://github.com/PetrusBellmonte/AlgebraSkript}{Github}\footnote{https://github.com/PetrusBellmonte/AlgebraSkript}. Für einzelne Ergänzungen bitte Pull requests nutzen. Wer das Skript weiterführen will, kann mich anschreiben, um in das Projekt eingeladen zu werden. Weiter Information zu alledem finden sich auf \href{https://github.com/PetrusBellmonte/AlgebraSkript}{Github}.
+\end{center}
+\vspace{.5cm}
+\begin{center}
+    \noindent
+    Vielen Dank an alle Helfer*innen, die Mitschriebe zur Verfügung gestellt, \\auf Fehler aufmerksam gemacht und mitge\TeX t haben.
+\end{center}
+
+\newpage
 \tableofcontents
 
 \newpage

sections/introduction.tex

@@ -3,7 +3,6 @@
 
 \begin{document}
 \subsection{Motivation}\label{sec:mot}
-\TODO
 \begin{itemize}
     \item Für quadratische Gleichungen der Form $x^2 + bx + c = 0$, $b, c \in \mathbb{C}$, sind die einzigen Lösungen explizit gegeben durch 
     \begin{equation}\label{eq:mot:0}
@@ -27,7 +26,7 @@ \subsection{Motivation}\label{sec:mot}
                 &3uv = -p \Leftrightarrow u^3v^3 = \frac{-p^3}{27}\label{eq:mot:3:2}
             \end{align}
         zu lösen.
-        Aus \cref{eq:mot:3} ergibt sich, dass $u^3, v^3$ die quadratische Gleichung $z^2 + qz - \frac{p^3}{27}$ lösen. Es kann nun also \cref{eq:mot:0} verwendet werden - man erhält die sogenannte \todo{Formel von Cardano}:
+        Aus \cref{eq:mot:3} ergibt sich, dass $u^3, v^3$ die quadratische Gleichung $z^2 + qz - \frac{p^3}{27}$ lösen. Es kann nun also \cref{eq:mot:0} verwendet werden - man erhält die sogenannte \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln}{Formel von Cardano}:
         Beachte beim Ziehen der 3. Wurzel in der Formel von Cardano explizit, dass \cref{eq:mot:3:2} erfüllt bleibt.
     \end{enumerate}
     \item Ähnlich funktioniert das Lösen von polynomiellen Gleichungen 4. Grades mittels Radikalen.
@@ -42,8 +41,7 @@ \subsection{Motivation}\label{sec:mot}
 
 \subsection{Grundlegende Definitionen aus EAZ und LA}
 
-\begin{definition}[Radikal]
-\TODO
+\begin{definition}[Radikal] siehe \ref{theo:3.21}
 \end{definition}
 \begin{definition}
     Sei $(G, *)$ eine Gruppe und $H \leq G$ eine Untergruppe. Die (Links-)Nebenklasse von $g \in G$ zu $H$ in $G$ ist die Menge $$gH := \{gh \mid h \in H\}$$
@@ -72,7 +70,7 @@ \subsection{Grundlegende Resultate aus EAZ und LA}
 Die alternierende Gruppe $A_n$ wird für alle $n \geq 3$ von 3-Zykeln erzeugt.
 \end{lemma}
     \begin{proof}
-        \TODO (Für den Beweis siehe bspw. Satz 2.5.10 im EAZ-Skript von Dr. Stefan Kühnlein.)
+        (Für den Beweis siehe bspw. Satz 2.5.10 im EAZ-Skript von Dr. Stefan Kühnlein.)
     \end{proof}
 
 \begin{lemma}\label{lem:found:2}

sections/section3.tex

@@ -457,7 +457,7 @@ \subsection{Charaktere und Normalbasen}
 \end{proof}
 
 \subsection{Auflösbarkeit von Gleichungen}
-\begin{definition}
+\begin{definition}\label{theo:3.21}
     Sei $K$ eine Körper, $a\in K$.
     Eine Nullstelle von $X^n-a$ nennt man \imph{Radikal} von $a$.
 \end{definition}

sections/section5.tex

@@ -409,7 +409,7 @@ \subsection{Bilineare Abbildungen und Tensorprodukte}
         \item $R[X_1,\dots,X_n]$ ist $R$-Algebra
     \end{enumerate}
 \end{example}
-\TODO[Ab hier]
+
 \begin{remark}
     Sei $A$ eine $R$-Algebra. Definiere $i:R\rightarrow A, r\mapsto r1_A$.
     $i$ ist ein Ringhomomorphismus.
@@ -673,6 +673,7 @@ \subsection{Neothersche Moduln und Ring}
 \begin{theorem}[Hilbertscher Basissatz]
     Ist $R$ ein linksnoetherscher Ring, dann ist der Polynomring $R[X]$ auch linksnoethersch.
 \end{theorem}
+\TODO[Reformatting]
 \begin{proof}
     Sei $I\subseteq R[X]$ ein Linksideal.
     Für $n\in \N$ sei $I_n = \{f\in I\mid \deg(f)\leq n\}$.

sections/section6.tex

@@ -6,7 +6,7 @@ \subsection{Ganze Ringerweiterungen}
 \begin{definition}
     Sei $B$ ein Ring und $A\subseteq B$ ein Unterring. Ein Element $x\in B$ heißt \imph{ganz} über $A$, wenn es ein \imph{normiertes} Polynom $f\in A[X]\setminus \trivGZ$ gibt mit $f(x)=0$, d.h. $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ mit $a_i\in A$.
 \end{definition}
-\begin{theorem}[Charakterisierung ganzer Elemente]
+\begin{theorem}[Charakterisierung ganzer Elemente]\label{theo:6.2}
     $A\subseteq B$ Unterring. Für $x\in B$ sind äquivalent:
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
         \item $x$ ist ganz über $A$
@@ -67,7 +67,7 @@ \subsection{Ganze Ringerweiterungen}
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
         \item Induktion nach $n$:\\
-        $n=1$ $\rightarrow$ siehe 6.2\\
+        $n=1$ $\rightarrow$ siehe \ref{theo:6.2}\\
         schreibe $A[x_1, \dots,x_{n+1}] = A[x_1,\dots,x_{n}][x_{n+1}]$.
         Weil $x_{n+1}$ ganz über $A$ ist, ist $x_{n+1}$ a4uc ganz über $A[x_1,\dots,x_n]$.
         Sei $\{f_1,\dots, f_r\}$ ein Erzeugendensystem von $A[x_1,\dots,x_n]$ als $A$-Modul, was nach Induktionsvorraussetzung existiert.
@@ -78,9 +78,9 @@ \subsection{Ganze Ringerweiterungen}
         \item
         Sei $x,y\in B$ ganz über $A$.
         Dann sind $x+y$, $x-y$, $x\cdot y \in A[x,y]$.
-        Wegen (a) und 6.2 sind $x\pm y$, $x\cdot y$ ganz über $A$.
+        Wegen (a) und \ref{theo:6.2} sind $x\pm y$, $x\cdot y$ ganz über $A$.
         \item
-        Wegen 6.2 ist $B[y]$ als $B$-Modul endlich erzeugt. Wie im Beweis von (a) sieht man, dass dann $B[y]$ als $A$-Modul endlich erzeugt ist. Also ist $y$ ganz über $A$.
+        Wegen \ref{theo:6.2} ist $B[y]$ als $B$-Modul endlich erzeugt. Wie im Beweis von (a) sieht man, dass dann $B[y]$ als $A$-Modul endlich erzeugt ist. Also ist $y$ ganz über $A$.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
@@ -120,7 +120,7 @@ \subsection{Ganze Ringerweiterungen}
     Einen endlichen Erweiterungskörper $K|\Q$ nennt man \imph{algebraischer Zahlkörper}.
     Die ganze Hülle $\mathcal{O}_K$ von $\Z$ in $K$ nennt man den \imph{Ganzheitsring} von $K$.
 \end{definition}
-\begin{example*}
+\begin{example*} $ $
     \begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
         \item $K=\Q(\sqrt{d})$ mit $d\in \Z$ quadratfrei, $d\neq 1$.
         Was ist $\mathcal{O}_K$? Betrachte $K\ni x = a+\sqrt{d}\cdot b$ mit $a,b\in \Q$.