CFD.tex

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$\blacksquare \dagger$ \end{flushright}}

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%\twocolumn[
 \centerline{\LARGE \bf \textsf{MSE CFD}} 
 \smallskip
\centerline{\Large \bf \textsf {Zusammenfassung}}
\medskip
  \centerline{\bf \textsf{dstrebel, s1bischo, sboller }}

 \smallskip \noindent\rule{\textwidth}{0.5pt}
\smallskip%]

% ---- Inhaltsverzeichnis ----
\tableofcontents

\newpage

\section{Introduction}
In dieser Zusammenfassung werden die Fragen vom Fragekatalog beantwortet.


\section{Conservation laws of fluid motion and boundary conditions}
\subsection{Conservation Equations}
Explain the physical meaning of the different terms in the conservation
equations (link between mathematical “operations” and physical behaviour)

Präsentation Folie 7

Impulsgleichung


Energiebilanz

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline Continuity & $\frac{\partial(\rho)}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho
\vec u)=0$
\\
\hline x-Momentum & $\frac{\partial(\rho u)}{\partial
t}+\operatorname{div}(\rho u \vec u) = - \frac{\partial p}{\partial
x}+\operatorname{div}(\mu \operatorname{grad} u)+S_{Mx}$ \\
\hline y-Momentum & $\frac{\partial(\rho v)}{\partial
t}+\operatorname{div}(\rho v \vec u) = - \frac{\partial p}{\partial
y}+\operatorname{div}(\mu \operatorname{grad} v)+S_{My}$ \\
\hline z-Momentum & $\frac{\partial(\rho w)}{\partial
t}+\operatorname{div}(\rho w \vec u) = - \frac{\partial p}{\partial
z}+\operatorname{div}(\mu \operatorname{grad} w)+S_{Mz}$ \\
\hline Energy & $\frac{\partial(\rho i)}{\partial
t}+\operatorname{div}(\rho i \vec u) = -p \operatorname{div} \vec u +
\operatorname{div}(k \operatorname{grad} T) + \Phi + S_i$ \\
\hline Equations of State & $p=p(\rho, T)$ und $i=i(\rho, T)$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Governing Equation of the flow of a compressible Newtonian fluid}
\end{center}
\end{table}


\subsection{Explain the physical meaning of the different terms in a general
transport equation}

\begin{align}
\frac{\partial(\rho \phi)}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\phi\vec
u)=\operatorname{div}(\Gamma \operatorname{grad} \phi) + S_\phi
\end{align}

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3cm}|p{3cm}|p{3cm}|p{3cm}|}
\hline Rate of increase of $\phi$ of fluid element +& Net rate of flow of $\phi$
out of fluid element =& Rate of increase of $\phi$ due to diffusion +& Rate of
increase of $\phi$ due to sources \\
\hline Zeitliche Änderung von $\phi$  +& Konvektiver Transport: Fluss von $\phi$
mit der Strömung =& Diffusiver Transport: Transport von $\phi$ aufgrund von
Konzentrationsunterschieden (grad). Diffusionskonstante $\Gamma$ bestimmt Menge
+& Quellterm innerhalb des Fluidelements \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Meaning of general transport equation}
\end{center}
\end{table}





\section{Turbulence and its modelling}

\subsection{Properties of turbulence}
Explain the properties of turbulence and their influence on the flow
field. Which changes can be observed compared to laminar flow?

\textbf{Turbulence is irregular, disorderly, non-stationary, three-dimensional,
highly non-linear, irreversible phenomenon}

\begin{itemize} 
\item Nichtlinear
\item Zufälligkeit (nicht Reproduzierbar)
\item 3D, auch wenn Mittelwert in 1D und 2D variert
\item hohe Wirbelstärke $\Rightarrow$ Energie wird transportiert.
\item Energie wird dissipiert (wird immer kleiner)
\item Intermittency: Turbulenz kann nur in Teilen der Strömung vorhanden sein.
$\Rightarrow$ Eine Strömung kann nicht nur aus turbulenten Anteilen bestehen.
\item Hohe Diffusivität von Impuls und Energie (Gute Verteilung)
\item Turbulenz ist lokaler Umgebung abhängig (z.B. Absatz)
\end{itemize}
\subsection{RANS and LES Modelling}
Explain the main approximations using RANS
and LES modelling, including assumptions (what is computed and how, what is modelled and how)
\subsubsection{RANS}
\textbf{Reynolds-averaged Navier–Stokes (RANS)}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{images/51.pdf}
\caption{RANS Strömung}
\label{fig:51}
\end{center}
\end{figure}

RANS besteht aus einem Mittelwert der Strömungskennwerte und einem stochastisch
fluktuierenden Anteil. Vor der numerischen Berechnung der Lösung liegen die
Navier-Stokes Gleichungen als zeitgemittelt vor. Nichtlineare Extraterme liegen
in den RANS aufgrund der Interaktionen der verschiedenen turbulenten Fluktuationen vor.
Diese werden normalerweise mit klassischen Turbulenzmodellen wie dem
$k-\epsilon$- oder dem Reynoldsstress-Modell modelliert.
\\
\textit{Vorteile:} erträgliche Rechenleistung bei brauchbaren Resultaten,
deshalb die meistverwendete Methode. \\
\
\subsubsection{Large Eddy Simulation}
Nur grosse Turbulenzelemente werden exakt aufgelöst. Kleinere Turbulenzelemente
werden über Filterfunktionen herausgefiltert. Diese nicht direkt berechneten
Elemente weren über sogenannte Subgrid-Scale Models approximiert. \\
\vspace{0.5cm}
\textit{Vorteile:} Bessere Resultate insbesondere bei komplexen Geometrien. \\
\textit{Nachteile:} Grösserer Speicher- und Rechenzeitbedarf

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images/RANS.eps}
\caption{RANS-Modell}
\label{}
\end{center}
\end{figure}
\begin{itemize}
  \item Blaue Schwingung entspricht den effektiven Wirbelanteilen
  \item Blaue Schwingung etwas gemittelt (grober Sinus) Entspricht dem
  LES-Algorithmus, Linie leider nicht sichtbar
  \item Senkrechte Linie: Enspricht dem RANS-Algorithmus (nur Durchschnitt
  zählt)
\end{itemize}



\subsection{Wallfunctions} 
What are wall functions, idea behind them, advantages
and disadvantages.

Im Engineeringbereich interessieren die Details der Near-Wall Region im
Normalfall nicht. Von Interesse ist hingegen der Strömungswiderstand in der Nähe
der Wände. Wallfunktionen korrigieren die

Gleiche Anzahl Knoten, Strömung muss nicht über allzu feines Netz approximiert
werden. $\Rightarrow$ Spart Rechenleistung bei akkuraten Resultaten.\\
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{images/wall_function.pdf}
\caption{Wall Function}
\label{fig:Wall}
\end{center}
\end{figure}

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\section{The finite volume method for the diffusion problem}


\subsection{FV Discretisation for a one-dimensional heat conduction Problem}
\subsubsection{Problemstellung}
Derive a finite-volume discretization for a one-dimensional heat conduction
problem. 

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{images/41.pdf}
\caption{One-Dimensional Heat Conduction Problem}
\label{fig:41}
\end{center}
\end{figure}
Zur Diskretisierung wird das Gebiet in Kontrollvolumen geteilt. Bei diesem
Problem werden die Kontrollpunkte gleich zwischen den Randpunkten A und B
verteilt.

 Dieses Problem ist Steady-State und besteht nur aus dem Diffusionsterm der
 generellen Transportgleichung:
 
 \begin{align}
 \frac{d}{dx} \left( \Gamma \frac{d\phi}{dx}\right) + S = 0
 \end{align}
 \qed

\subsubsection{Diskretisierung}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.2]{images/42.pdf}
\caption{One-Dimensional Heat Conduction Diskretisierung}
\label{fig:42}
\end{center}
\end{figure}

Generell wird jeweils ein Punkt P wie in Abbildung \ref{fig:42} gezeigt
betrachtet. Rechts davon befindet sich ein weitere Kontrollpunkt genannt E für
East. Analog dazu befindet sich links der Punkt W. Klein e und klein w sind die
Kopfflächen des Kontrollvolumen dar. Die verschiedenen Abstände sind jeweils mit
einen $\delta$ bezeichnet.

Der wichtigste Schritt der FVM ist die Integration der das Problem
beschreibenden Formel. Dies geschieht für den Punkt P folgendermassen:

\begin{align}
\int_{\Delta V} \frac{d}{dx} \left( \Gamma \frac{d\phi}{dx}\right)dV +
\int_{\Delta V}SdV = \left(\Gamma A
\frac{d\phi}{dx}\right)_{e}-\left(\Gamma A \frac{d\phi}{dx}\right)_w +
\bar{S}\Delta V = 0
\end{align}
A ist in dieser Formel die Querschnittsfläche des Kontrollvolumens und $\bar{S}$
der Quellenwert des betrachteten Kontrollvolumen. Ein Vorteil dieser Methode ist
die klare physikalische Bedeutung: Der diffusive Fluss von $\phi$ der das
Kontrollvolumen auf der Ostseite verlässt minus der diffusive Fluss von $\phi$
der in das Kontrollvolumen auf der Westseite gelangt ist gleich der Quelle von
$\phi$ im Kontrollvolumen.

Die Werte von $\Gamma$ an den Stirnflächen e und w werden linear zwischen den
beiden Punkten E und W approximiert:

\begin{align}
\Gamma_w=\frac{\Gamma_W+\Gamma_P}{2} \\
\Gamma_e=\frac{\Gamma_P+\Gamma_E}{2}
\end{align}

Die Ableitungen $\phi$ werden ebenfalls linear über die Distanz $\delta x_{PE}$
und $\delta x_{WP}$ zwischen P und e bzw. w interpoliert.

\begin{align}
\left(\Gamma A \frac{d\phi}{dx}\right)_e = \Gamma_e A_e
\left(\frac{\phi_E - \phi_P}{\delta x_{PE}}\right)
\end{align}
\begin{align}
\left(\Gamma A \frac{d\phi}{dx}\right)_w = \Gamma_w A_w
\left(\frac{\phi_P - \phi_W}{\delta x_{WP}}\right)
\end{align}

Der Quellterm wird meistens als Funktion der abhängigen Variable dargestellt:

\begin{align}
\bar{S}\Delta V = S_u+S_p\phi_P
\end{align}


Gesamthaft ergibt sich folgende Formel für das betrachtete Kontrollvolumen:

\begin{align}
\Gamma_e A_e \left(\frac{\phi_E-\phi_P}{\delta x_{PE}}\right)-\Gamma_w A_w
\left(\frac{\phi_P-\phi_W}{\delta x_{WP}}\right)+(S_u+S_p\phi_P)=0
\end{align}

oder nach Umstellung:
\begin{align}
\boxed{\left(\frac{\Gamma_e}{\delta x_{PE}}A_e + \frac{\Gamma_e}{\delta
x_{WP}} A_w -S_p\right)\phi_P=\left(\frac{\Gamma_w}{\delta x_{WP}}A_w\right)
\phi_W + \left(\frac{\Gamma_e}{\delta x_{PE}}A_e\right)\phi_E+S_u}
\end{align}

In Koeffizientenschreibweise:

\begin{align}
\boxed{a_P\phi_P=a_W\phi_W+a_E\phi_E+S_u}
\end{align}

\qed
\subsection{Taylor CDS Second Order}
Demonstrate, using Taylor series expansion, that the central differencing scheme
has second order accuracy.\\
\textbf{Taylorentwicklung von $\mathbf{\phi}$} \\

\begin{align}
\boxed{\phi_E=\phi_P+\phi'\delta x_{PE} + \frac{1}{2}\phi''\left(\delta
x_{PE}\right)^2+\frac{1}{6}\phi'''\left(\delta x_{PE}\right)^3\ldots}
\end{align}

\begin{align}
\boxed{\phi_W=\phi_P-\phi'\delta x_{WP} + \frac{1}{2}\phi''\left(\delta
x_{WP}\right)^2-\frac{1}{6}\phi'''\left(\delta x_{WP}\right)^3\ldots}
\end{align}

\begin{align}
\Gamma_e A_e \left(\frac{\phi_E-\phi_P}{\delta x_{PE}}\right)-\Gamma_w A_w
\left(\frac{\phi_P-\phi_W}{\delta x_{WP}}\right)
\end{align}

\begin{align}
\Gamma A \left(\phi' + \frac{1}{2} \phi''\delta
x_{PE}+\frac{1}{6}\phi'''\left(\delta x_{PE}\right)^2\right) + \Gamma A
\left(-\phi'+\frac{1}{2}\phi''\delta x_{WP} - \frac{1}{6} \phi'''
\left(\delta x_{WP}\right)^2\right)
\end{align}

\begin{align}
\boxed{\Gamma A \phi'' \frac{1}{2} \left(\delta x_{PE} + \delta x_{WP}\right)+
\Gamma A \phi''' \frac{1}{6}
\left[\left(\delta x_{PE}\right)^2 - \left(\delta x_{WP}\right)^2 \right]}
\end{align}


Term erster Ordnung fliegen raus!
\section{The finite volume method for convection-diffusion problems}
\subsection{CDS at large velocities}
CDS ist unbrauchbar sobald die Péclet Zahl > 2 ist. Ist dies der Fall, wird der
Koeffizient $a_e$ negativ. Dies verletzt die Voraussetzung Boundedness und kann
zu physikalisch unmöglichen Lösungen führen. Versteeg S.145
\subsection{Péclet Number}
Die Péclet Nummer ist das Verhältnis zwischen Konvektions(F)- und
Diffusionsanteilen(D):

\begin{align}
Pe=\frac{F}{D} = \frac{\rho u}{\Gamma / \delta x}
\end{align}
\subsection{UD Discretization}
Explain why the upwind discretization (UD) works better. Explain the disadvantages of upwind discretization.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.2]{images/52.pdf}
\caption{Upwind Differencing Scheme, in positive Direction (w)}
\label{fig:52}
\end{center}
\end{figure}
Bei der UDS-Interpolation wird der unbekannte Wert $\phi_f$ durch den bekannten
Wert von $\phi$ im nächsten stromauf gelegenen Zentralknoten ersetzt.
Es gilt also:

\begin{align}
\phi_w = \phi_W \\
\phi_e = \phi_P
\end{align}

Die diskretisierte Formel wird deshalb zu:

\begin{align}
\boxed{F_e \phi_P-F_w \phi_W = D_e(\phi_E - \phi_P) - D_w(\phi_P - \phi_W)}
\end{align}

Analog dazu lässt sich die Formel herleiten, wenn der Fluss in negative
U-Richtung verläuft. $\Rightarrow$ Versteeg S. 146

\textit{Vorteile}: Die Eigenschaften Conservativeness , Boundedness (keine
Wiggles) und Transportiveness (Richtung des Flusses) werden erfüllt. \\
\textit{Nachteile}: Numerische Accuracy (Das Schema basiert auf der
Backward Differencing Formel. Die Genauigkeit ist also nur erste Ordnung.) Wenn
der Fluss nicht synchron mit dem Netz verläuft, produziert das Schema
diffusionsartige Fehler. In Bild \ref{fig:54} ist eine solche Problemstellung
abgebildet. In Abbildung \ref{fig:53} die berechneten Resultate.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.0]{images/54.pdf}
\caption{UDS Problemstellung, nicht an das Grid angepasster Fluss}
\label{fig:54}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.0]{images/53.pdf}
\caption{UDS Problemstellung, nicht an das Grid angepasster Fluss}
\label{fig:53}
\end{center}
\end{figure}


\subsection{Conservativeness, Boundedness, Transportiveness}
\begin{itemize}
  \item \textbf{Conservativeness}: Die Flüsse über die Flächen der Zellen
  müssen diesselben sein, also rechts und links: Der ganze Fluss der eine Zelle
  verlässt muss in eine neue Zelle eintreten.
  \item \textbf{Boundedness}: 
  \begin{itemize}
    \item Matrizen sollten diagonaldominant sein.$\Rightarrow$ Versteeg S.143
    \item Die Lösung sollte zwischen den gegebenen Randwerten liegen. Also wenn
    T(0)=100K und T(10)=200K gilt, sollen alle Lösungen dazwischen liegen.
    \item Alle Koeffizienten der Diskretisierung sollten positiv sein.
	\end{itemize}
   \item \textbf{Transportiveness}: Für hohe Péclet-Zahlen können die
   Informationen für $\phi$ ausschliesslich vom upstream kommen. $\Rightarrow$
   Bild 54. Es ist wichtig diese Eigenschaft der betreffenden Diskretisierung zu
   kennen.
\end{itemize}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.0]{images/55.pdf}
\caption{Transportivness, a) Péclet$\to$0 b) Péclet$\to \infty$}
\label{fig:55}
\end{center}
\end{figure}


\subsection{Hybrid Differencing Scheme} 
Explain how the hybrid differencing scheme works.

Das Hybrid Differencing Scheme kombiniert die Methoden Upwind und Central
Differencing. Für Zellen mit \textit{niedriger} Péclet Nummer wird das
\textbf{Central Differencing} angewendet. Zellen mit \textit{hoher} Péclet Zahl
werden mit Hilfe des \textbf{Upwind Differencing} Verfahren berechnet.\\
\textit{Vorteile}: Sehr robust, Einfach zu implementieren\\
Widely Used!

\subsection{Quick Scheme} Explain the QUICK scheme. Advantages and
disadvantages.

Das QUICK (Quadratic Upwind Differencing Scheme) funktioniert wie der Name sagt
als Upwind Schema, es wird aber ein weiterer Knoten im Upwind Bereich
zur Berechnung hinzugezogen. In Abbildung \ref{fig:56} ist dies schematisch
dargestellt. Die Diskretisierung erfolgt damit gemäss:

\begin{align}
\boxed{a_p\phi_p=a_w\phi_w+a_e\phi_e+a_{ww}\phi_{ww}}
\end{align}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.0]{images/56.pdf}
\caption{Quick Scheme}
\label{fig:56}
\end{center}
\end{figure}

\textit{Vorteile}: Zweiter Ordnung und erfüllt transportiveness. \\
\textit{Nachteile}: Kleine unphysikalische Über- und Unterschüsse sind möglich.

\subsection{TVD Schemes} Describe the idea behind TVD schemes.

TVD steht für Total Variation Diminishing. Die Idee hinter diesen Schemata ist
die unphysikalischen Über- und Unterschüsse zu verhindern aber trotzdem die
höhere Ordnung beizubehalten.




\section{Solution algorithms for pressure velocity coupling in steady flows}
\subsection{Difference between incompressible and compressible approach}
Difference between incompressible (pressure-based) and compressible (density
based) approach/codes => which equations are available for which variable\\

\subsubsection{Inkompressible Fluide (Druckbasierte Algorithmen)}

\begin{itemize}
  \item Absolute Dichte ist nicht nötig (relativ genügt)
  \item Druck-Geschwindigkeits Koppelung mit der Kontinuitätsgleichung
  (Transportgleichung) ist nur eine \textbf{kinematische Bedingung}
  \item Impulsgleichung $\Rightarrow$ Druck
  \item Kontinuitätsgleichung $\Rightarrow$ Geschwindigkeitsfeld (schwache
  Formulierung)
\end{itemize}

Weitere Infos:
\begin{description}

  \item[1] überwiegend gekoppelte Lösungsalgorithmen!
  \item[2] sequentielle Lösungsalgorithmen mit einer Druck-Poisson-Gleichung
  \begin{itemize}
  	\item Divergenz von Navier-Stokes-Gleichung: $\Delta p = -\rho \nabla \cdot
  	[\nabla \cdot (\underline u \underline u)]$
  \end{itemize}
  \item[3] sequentielle Lösungsalgorithmen mit einer Druckkorrektur-Gleichung
  (zBsp. SIMPLE)
  \begin{itemize}
    \item Kontinuitätsgleichung und Navier-Stokes-Gleichung
    \item $[\nabla \cdot \underline u]_{KV} = 0$
    \item $\rho [\nabla \cdot (\underline u \underline u)]_{KV} = - [\nabla
    \rho]_{KV} - \eta [\Delta \underline u]_{KV}$
  \end{itemize}
\end{description}

\subsubsection{Inkompressible und kompressible Fluide (Dichtebasierte
Algorithmen)}
\begin{itemize}
  \item Kontinuitätsgleichung für Dichte (Transportgleichung)
  \item Energiegleichung für Temperatur
  \item Als letztes wird der Druck $p$ aus $\rho$ und $T$ bestimmt,
  Zustandsgleichung für Druck $P \cdot V = n \cdot R \cdot T$
\end{itemize}

Weitere Infos:\\
\begin{itemize}
  \item Werden fast ausschliesslich für kompressible Fluide verwendet.\\
  \item Können gekoppelt (eher für kompressible, da stark gekoppelt) oder
  sequentiel (eher für inkompressible, da schwach gekoppelt) gelöst werden
\end{itemize}

Beschrieben in Lektion 7, Pressure Velocity Coupling: Folie 6


\subsection{Differences between momentum equations and general scalar transport
equations} 
Differences between momentum equations and general scalar transport
equations => new aspects to be tackled\\

\subsubsection{Momentum equation (Impulsgleichung)}
Momentum equation (staggered CV)\\
$(\rho u^2 A)_P - (\rho u^2 A)_W$\\
Geschwindigkeit wird auf dem versetzten Netz um die Zellenoberfläche
zentriert berechnet. Der Grund liegt darin, dass der Einfluss des
Druckes nicht korrekt die diskretisierte Impulsgleichung (Geschwindigkeit)
repräsentiert. Darum wird das Geschwindigkeitskontrollvolumen verschoben.\\

\textbf{Eigene Erklärung dafür, öbs Sinn macht kei Plan:}\\
Zusammenhang zwischen Druck und Geschwindigkeit: $p = \frac{F}{A} = \frac{m
\cdot g \cdot h}{A} \propto g = a = \frac{\partial v}{\partial t}$\\
Die Ableitung der Geschwindigkeit entspricht dem Druck. Da die Ableitung als
Differenz zweier Punkte berechnet wird, ist das Resultat zwischen den zwei
Punkten korrekt und somit macht das verschobene Netz Sinn.

\subsubsection{General scalar transport}
General scalar transport (node CV)\\
$(\rho u A \Phi)_e - (\rho u A \Phi)_w$\\
Skalare variabeln: Druck, Dichte Temperatur, \ldots werden auf den gewöhnlichen
Knotenpunkten gerechnet

Beschrieben in Lektion 7, Pressure Velocity Coupling: Folie 11

\subsection{SIMPLE}
\label{sec:SIMPLE}
Explain the SIMPLE procedure for pressure-velocity coupling\\
\newline
SIMPLE: Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations\\
Introinformationen (Wiki):\\
Der SIMPLE-Algorithmus (Semi-implicit Method for Pressure Linked Equations) wird
in der numerischen Strömungsmechanik zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen
bei \textbf{unbekanntem Druckfeld} eingesetzt.\\
Die Grundidee, auf der SIMPLE basiert, ist das unbekannte Druckfeld zu schätzen,
die Geschwindigkeitsfelder damit zu berechnen und mit Hilfe der
Kontinuitätsgleichung eine Druckkorrektur und anschließend eine
Geschwindigkeitskorrektur zu bestimmen. Dieses Vorgehen wird wiederholt, bis die
Kontinuitätsgleichung im Rahmen der vorgegebenen Genauigkeit erfüllt wird.\\
\textbf{Iterativ} (wiä endlosschleifä, aber eifach ganz andersch)\\

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{images/simple_algorithm.pdf}
\caption{SIMPLE Algorithm}
\label{fig:SIMPLE1}
\end{center}
\end{figure}
%\includegraphics[scale=0.7]{images/simple_algorithm.pdf}\\
Kurz in Worte:\\
\begin{itemize}
  \item Iterationsprozess starten mit geschätzter Geschwindigkeit und Druckfeld
  \item Konvektiver Fluss durch die Zelloberfläche wird anhand der
  Geschwindigkeit abgeschätzt
  \item Geschätztes Druckfeld wird für die Lösung der Impulsgleichung verwendet
  \item Druckkorrekturgleichung, aus Kontinuitätsgleichung hergeleitet, um die
  Durckkorrektur zu berechnen. Anhand dieser wieder die Geschwindigkeit und
  Druckfeld berechnet wird.
  \item Es wird solange iteriert bis die Resultate des Geschwindigkeits und
  Druckfeld konvergieren (genügend genau sind)
\end{itemize}

Zusatzinfos:\\
\begin{itemize}
  \item Koeffizienten a werden durch Methoden (Central, hybrid, upwind, quick,
  \ldots) berechnet
  \item $d_{i,J} = \frac{A_{i,J}}{a_{i,J}}$ und $d_{I,J} =
  \frac{A_{I,J}}{a_{I,J}}$
  \item Druck: p
  \item Geschwindigkeitskomponenten: u, v
  \item Index \textbf{I-1, I, I+1} für x-Richtung (effektive Knoten, General
  scalar Transport)
  \item Index \textbf{J-1, J, J+1} für y-Richtung (effektive Knoten, General
  scalar Transport)
  \item Index \textbf{i-1, i, i+1} für x-Richtung (versetzte Knoten,
  Impulsgleichung)
  \item Index \textbf{j-1, j, j+1} für y-Richtung (versetzte Knoten,
  Impulsgleichung)
\end{itemize}

Branches von Simple:\\
\begin{itemize}
  \item SIMPLER (R for revised, Patankar, 1980): In this algorithm the
  continuity equation is used to derive a pressure instead of a pressure correction equation as in SIMPLE. The intermediate pressure field is obtained directly without the use of a correction. Velocities are, however, still obtained through the velocity corrections as in SIMPLE
  \item SIMPLEC (C for consistent, van Doormal-Raithby, 1984): this algorithm
  follows the same steps as the SIMPLE algorithm, but the momentum equations are manipulated so that the SIMPLEC velocity correction equations omit terms that are less significant than those in SIMPLE
  \item PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators, Issa, 1986): is a
  p–v calculation procedure developed originally for non-iterative computation of unsteady compressible flows. It has been adapted successfully for the iterative solution of steady state problems. PISO involves one predictor step and two corrector steps and may be seen as an extension of SIMPLE, with a further corrector step to enhance it
\end{itemize}

Beschrieben in Lektion 7, Pressure Velocity Coupling: Folie 14


\subsection{Relaxation Factor and Uses of it}
Explain the role of relaxation factor. Why are they used?\\

Der Korrekturfaktor wird dazu verwendet um die Konvergenz sicherzustellen. Der
Faktor muss zwischen 0 und 1 liegen. Bei 0 würde die Berechnete Druckkorrektur
nicht einfliessen (funktioniert nicht). Bei 1 fliesst die Druckkorrektur voll
ein, da wird wohl das System instabil (wie P-Regler mit zuviel P-Anteil
(Regelungstechnik) fängt an zu Osziliieren, da er zuviel korrigiert und im
nächsten Schritt zuviel zurückkorrigieren muss).

\section{Solution of discretized equations}

\subsection{Iterative methods} 
Explain why iterative methods are necessary to solve sparse linear systems.\\

Iterative Methoden sind notwendig da sie nummerisch weniger aufwendig sind zu
lösen und somit auch schneller und lassen sich parallel ausrechnen. Grundschema
für einen iterativen Lösungsansatz ist $ D \cdot \phi_h = D_h - (A_\phi \cdot
\phi_h - Q)$, darin ist D die Matrix der Diagonalelemente von der Matrix A

\subsection{Jacobi and Gauss-Seidel iterative methods}
Describe the Jacobi and Gauss-Seidel iterative methods
\begin{itemize}
\item \textbf{Jacobi iterative method:}  $ \phi ^{(k+1)}_h = D^{-1} \cdot Q -
(D^{-1} \cdot A_\phi - \delta)\cdot \phi_h^{(k)}$

Zur Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems löse man die i-te
Gleichung nach der i-ten Variable auf. Die neuen Näherungswerte für die Lösung
berechnet man iterative aus den alten Näherungswerten.

Bemerkung: Zu beachten ist das $\lambda$ (Eigenwert) kleiner 1 sein muss, dass
es konvergiert, je kleiner desto langsamer wird es jedoch.\\
Vorteil: gut parallelisierbar, ziel ist es möglichst nahe an Einheitsmatrix zu
kommen\\
Nachteil: ...\\


\item \textbf{Gauss- Seidel method}: $ \phi ^{(k+1)}_h = D^{-1} \cdot Q -
(D^{-1} \cdot [(U\cdot A_\phi ) \cdot \phi_h^{k+1} + (L \cdot A_\phi -
\delta)\cdot \phi_h^{(k)}]$

Löse der Reihe nach jede Gleichung nach ihrem Diagonal-Term auf, setzt
Startwerte ein, iteriere, verwende jeweils neueste Näherungswerte. Im Gegensatz
zum Jacobi-Verfahren verwendet man bei der Berechnung der neuen Näherungswerte
alle bereits neu berechneten Näherungswerte.\\

Vorteil: konvergiert schneller\\
Nachteil: nicht parallelisierbar\\

\end{itemize} 

\subsection{Multi-Grid Methods} 
Describe the idea behind the multi-grid method

Die Grundidee des Multi-Grid Verfahren ist es, dass aus dem ursprünglichen
Rechengitter mit einer charakteristischen Gitterweite h weitere gröbere
Rechengitter mit Gitterweiten von beispielsweise 2h,4h, usw. zu erzeugt werden.
\\

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{images/multigrid1.png}
\caption{Multigrid Beispiel 1}
\label{fig:Multigrid1}
\end{center}
\end{figure}
%\includegraphics[scale=0.3]{images/multigrid1.png}

Aus dem feinsten Gitter (Zellmittelpunkte offen) ergeben sich durch das
Zusammenfassen von jeweils vier Kontrollvolumina die Zellen des nächst gröberen
Gitters (Zellmittelpunkte schraffiert). Diese können schliesslich zum gröbsten
Gitter (Zellmittelpunkte voll) zusammengefasst werden.
\\
Während des Iterationsprozess werden Lösungen im Wechsel auf den verschiedenen
Gittern berechnet, wobei zwischen den Gittern Informationen über die jeweiligen
Lösungen ausgetauscht werden.
\\
\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{images/multigrid2.png}
\caption{Multigrid Beispiel 2}
\label{fig:Multigrid2}
\end{center}
\end{figure}

%\includegraphics[scale=0.3]{images/multigrid2.png}


\section{The finite volume method for unsteady flows}
\subsection{Common Schemes} Describe the three common schemes for time
discretization:
Um auch instationäre, zeitabhängige Strömungen simulieren zu können, muss in die
bisher hergeleiteten Gleichungen die Zeit integriert werden. Ausgehend von der
einfachen Diffeq:

\begin{align}s
\frac{d\phi}{dt}=f(t,\phi(t))
\end{align}
Integriert man diese Gleichung über ein Zeitintervall $\Delta_t = t_{n+1}-t_n$
ergibt sich

\begin{align}
\phi^{n+1}=\phi^n + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t,\phi(t))dt
\end{align}
 
Über eine Diskretisierung folgende Formel hergeleitet werden:

\begin{align}
\phi^{n+1}=\phi^n + \left[\alpha \cdot f(t_n,\phi^n)+(1-\alpha)\cdot
f(t_{n+1},\phi^{n+1})\right]\Delta t
\end{align}


Je nach Wahl des Paramters $\alpha$ die verschiedenen Methoden. \\
\begin{itemize}
  \item $\alpha = 1$: Explizites Euler Verfahren \begin{align}
  \phi^{n+1}= \phi^n + f(t_n,\phi^n) \Delta t
  \end{align}
  \item $\alpha= 0.5$: Crank Nicholson \begin{align}
  \phi^{n+1}=\phi^n + \frac{1}{2}
  \left[f(t_n,\phi^n)+f(t_{n+1},\phi^{n+1})\right]\Delta t
  \end{align}
  \item $\alpha = 0$: Implizites Euler Verfahren \begin{align}
  \phi^{n+1}=\phi^n + f(t_{n+1},\phi^{n+1})\Delta t
  \end{align}
\end{itemize}

In Abbildung \ref{fig:81} ist die grafische Representation von obigen
Gleichungen abgebildet.

\textbf{Herleitung aus Buch CFD-Modellierung, Rüdiger Schwarze, Springer
Verlag. Versteeg leitet es anders her und verwendet andere Variablen
(Parameter Versteeg $\mathbf{\Theta = \alpha}$!)}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.0]{images/81.pdf}
\caption{Raum-Zeit Gitter}
\label{fig:81}
\end{center}
\end{figure}



\subsection{Advantages and disadvantages of the different schemes}
\textbf{Advantages}:
\begin{itemize}
\item \textbf{Explicit (forward Euler)}: Effizient, Einfach zu implementieren.

\item \textbf{Crank-Nicholson}:  Basiert auf Central Differencing, deshalb 2nd
Order Accuracy. Kleinere Time Step Limitation $\Rightarrow$ sehr gute Resulate
bei mässig kleinen Zeitschritten

\item \textbf{Implicit (backward Euler)}: Robust, Stabil für alle Time Step
Grössen. Generell empfohlen für transiente Probleme.
 

\end{itemize}

\textbf{Disadvantages}:
\begin{itemize}
\item \textbf{Explicit (forward Euler)}: Time Step Limit $\Rightarrow$ Um eine
höhere räumliche Auflösungen zu erhalten müssen die Zeitschritte im Quadrat dazu
reduziert werden (Versteeg S.247). Rechenpower! Deshalb für transiente Probleme
nicht empfohlen.

\item \textbf{Crank-Nicholson}: Ebenfalls Time Step Limit $\Rightarrow$ Weniger
ausgeprägt. (Versteeg S.248)

\item \textbf{Implicit (backward Euler)}: Verfahren erster Ordnung $\Rightarrow$
Deshalb müssen genügend kleine Time Steps gewählt werden um eine entsprechende
Genauigkeit zu erhalten. (Rechenpower!)

\end{itemize}
\subsection{SIMPLE scheme}
How does the SIMPLE scheme have to be modified for a transient
simulation?
 
Das SIMPLE Scheme muss für transiente Strömungen folgendermassen erweitert
werden. Es muss ein zeitlich abhängiger Druckkorrekturterm hinzugefügt werden
(Kontigleichung):

\begin{align}
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla (\rho \mathbf{u}) 
\end{align}

Die führt zum Algorithmus der in Abbildung \ref{fig:82} abgebildet ist. (Siehe
auch Kapitel \ref{sec:SIMPLE})

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=1.0]{images/82.pdf}
\caption{Angepasster SIMPLE Algorithmus}
\label{fig:82}
\end{center}
\end{figure}


\section{Implementation of boundary conditions}

\subsection{5 important boundary conditions}
Name 5 important boundary\\

\begin{itemize}
  \item inlet (Einlass)
  \item outlet (Auslass)
  \item Wall (Wand)
  \item Symmetrie: kein Fluss über den Rand, Implementation: Geschwindigkeit =
  0, alle anderen Properties werden ausserhalb = innerhalb gesetzt
  \item periodicity heisst auch opening (or cyclic
  boundary condition): spielt mal Einlass und wieder Auslass, Beispiel zylindrischer
  Ofen, Kraftstoff läuft durch gleiche Fläche rein und wieder raus, abhängig
  Position (Drehung).
\end{itemize}


\subsection{symmetry planes and symmetry boundary conditions}
Why cannot symmetry planes (and symmetry boundary conditions always
be used in CFD)?\\
Bei den symmetrischen Flächen geht es darum, dass nur die hälfte eines Objektes
simuliert wird und die andere hälfte als symmetrisch interpretiert wird.\\


\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images/symmetrie.pdf}
\caption{Zylindrischer Ofen}
\label{fig:ofen}
\end{center}
\end{figure}

% cut with: pdfcrop --margins '5 -100 5 -120' symmetrie.pdf symmetrie_1.pdf

Ist der Fluss instationär, funktioniert die Symmetriebedingung nicht.\\

Beispiele:\\
\begin{itemize}
  \item Bild: Gasfluss in Objekt rein, abhängig der Geschwindigkeit gibt es ein
  Oszillieren mit einer gewissen Frequenz. Anwendung: Gasmeter (für
  verschiedene Gase synGas, Erdgas, \ldots)
  \item Turbulente Strömungen um einen Kreis herum, bei dem die Strömung
  oszilliert
\end{itemize}

\subsection{Outlets and interesting flow region}
Why should outlets be placed far away from the interesting flow
region?\\

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{images/inlet_error.pdf}
\caption{Boundary Condition}
\label{fig:Boundary}
\end{center}
\end{figure}
%\includegraphics[scale=0.8]{images/inlet_error.pdf}
% cut with: pdfcrop --margins '-100 -130 -100 -120' inlet_error.pdf inlet_error_1.pdf

Bild eigentlich selbsterklärend, in den Worten von Henrik:\\
\begin{itemize}
  \item Boundary conditions are always bad!
  \item There are no boundaries in real life.
\end{itemize}


\section{Errors and uncertainty in CFD modelling}

\subsection{3 potential numerical errors in CFD}

Describe three potential numerical errors in CFD
\begin{itemize}
\item \textbf{Disketierungsfehler}: Netz musste unendlich fein sein, um die physikalische Effekte aufzulösen. Aus diesem Grund ist es notwendig verschiedenen Netzen und Zeitschritten eine Netzstudie durchzuführen, so Resultat dasselbe Effekte gibt
\item \textbf{Rundungsfehler}: Bei Gleitkommazahlen können beim rechnen mit dem
Computer Fehler entstehen, dies weil Teile davon beim Rechnen verloren gehen.
Meist mit Float.h kann, nachgeschaut werden.
\item \textbf{Iterative}: Konvergenzfehler, wenn Residuale welche beim Lösen entstehen nicht stimmen, stimmt die Physik sicher nicht.  
\end{itemize}

\subsection{Two typical physical uncertainties in CFD}
Describe two typical physical uncertainties in CFD (uncertainties =
Unsicherheiten)
\begin{itemize}
\item \textbf{limitierte Genauigkeit} $\Rightarrow$ Materialkonstanten
\item \textbf{fehlen von validierten Submodellen}
\end{itemize}
weitere Informationen im Buch Versteeg Seite 291

\subsection{Verification and Validation} 
What do the terms verification and
validation mean.
\begin{itemize}
\item \textbf{Verification}: Aufgabe des Mathematiker, schaut das die Gleichung richtig gelöst wird.
\item \textbf{Validation}: Aufgabe des Ingenieur, schaut das die richtige Gleichung gelöst wird, welche die Wirklichkeit beschreibt.
\end{itemize}

\end{document}