Fisica.tex

\documentclass{article}

\usepackage{cancel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[includehead,nomarginpar]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsfonts} 
\usepackage{verbatim}
\usepackage{mathrsfs}  
\usepackage{lmodern}
\usepackage{braket}
\usepackage{bookmark}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{romanbarpagenumber}
\usepackage{float}
\usepackage{bm}
\allowdisplaybreaks

\setlength{\headheight}{12.0pt}
\addtolength{\topmargin}{-12.0pt}
\graphicspath{ {./Immagini/} }


\hypersetup{
    colorlinks=true,
    linkcolor=black,
}

\renewcommand{\contentsname}{Indice}
\newcommand{\vect}[1]{\boldsymbol{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\df}{\mathrm{d}}


\numberwithin{equation}{subsection}

\fancypagestyle{link}{\fancyhf{}\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}\fancyfoot[C]{Sorgente del file LaTeX disponibile al seguente link: \url{https://github.com/00Darxk/Fisica-I}}}

\begin{document}

\title{%
    \textbf{Fisica I}  \\ 
    \large Appunti delle Lezioni di Fisica I\\
    \textit{Anno Accademico: 2022/23}}
\author{\textit{Giacomo Sturm}}
\date{\textit{Dipartimento di Ingegneria Civile, Informatica e delle Tecnologie Aeronautiche \\
Università degli Studi ``Roma Tre"}}

\maketitle
\thispagestyle{link}

\clearpage


\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}\fancyfoot{}
\fancyhead[C]{\textit{Fisica I - Università degli Studi ``Roma Tre"}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\pagenumbering{Roman}

\tableofcontents

\clearpage


\pagenumbering{arabic}

\section{Introduzione: Sistema Internazionale}

Prima di studiare fenomeni fisici, bisogna definire delle unità di misura con le quali misurare le grandezze fisiche trattate. Il Sistema Internazionale 
di Unità di Misura fornisce un sistema di misura comune, usato nella maggior parte del mondo. Contiene $7$ unità fondamentali, dalle quali vengono 
ricavate tutte le altre unità di misura derivate. 

Poiché esistono fenomeni che hanno effetti di ordini di grandezza molto diversi tra di loro, sono stati definiti dei prefissi che rappresentano multipli e sottomultipli di 
unità base del Sistema Internazionale corrispondenti a potenze di $10$:
\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|c|c|}
        \hline
        Prefisso & Simbolo & Valore\\
        \hline
        Tera & T & $10^{12}$\\
        \hline
        Giga & G &$10^{9}$\\
        \hline
        Mega & M &$10^6$\\
        \hline
        Kilo & k & $10^3$\\
        \hline
        Etto & h & $10^2$\\
        \hline
        Deca & da & $10$\\
        \hline
    \end{tabular}
    \begin{tabular}{|c|c|c|}
        \hline
        Prefisso & Simbolo & Valore\\
        \hline
        Deci & d & $10^{-1}$\\
        \hline
        Centi & c &$10^{-2}$\\
        \hline
        Milli & m &$10^{-3}$\\
        \hline
        Micro &  $\mu$ & $10^{-6}$\\
        \hline
        Nano & n & $10^{-9}$\\
        \hline
        Pico & p & $10^{-12}$\\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\subsection{Tempo}

Nel Sistema Internazionale il tempo viene misurato mediante 
il secondo (s).
Un secondo viene definito come il tempo necessario per un 
fotone emesso da un atomo di Cesio 133 per compiere 
$9{,}192631770\times 10^9$ oscillazioni.



Sapendo che l'energia emessa dal fotone è: 
$E= \lambda h$, la sua lunghezza 
d'onda $\lambda$ è data dal prodotto della velocità del fotone 
per la sua frequenza: $\lambda  = cf$.
Quindi si può ricavare la frequenza, e di conseguenza il 
periodo, dal fotone sostituendo nell'equazione per l'energia: 
\begin{gather*}
    E = cfh\\
    f = \displaystyle\frac{E}{ch}\\
    T = \displaystyle\frac{ch}{E}\\
    1\,\mathrm{s} := 9{,}192631770\times 10^9 \times T = 9{,}192631770\times 10^9 \times \displaystyle\frac{ch}{E}
\end{gather*}

Dove $h$ è la costante di Planck, $c$ è la velocità della luce nel vuoto, ed $E$ è l'energia emessa dal fotone, misurabile.

\subsection{Lunghezza}
Nel Sistema Internazionale la lunghezza viene misurata 
mediante il metro (m). Un metro viene definito come la 
distanza percorsa dalla luce nel vuoto in 
$1/\left(2{,}99792458\times 10^8\right)\mathrm{s}$:

\begin{equation*}
    1\,\mathrm{m} := \displaystyle\frac{c}{2{,}99792458\times 10^8}\mathrm{s}
\end{equation*}

\subsection{Massa}
Nel Sistema Internazionale la massa viene misurata mediante 
il chilogrammo ($\mathrm{kg}$). Un chilogrammo viene definito come la 
massa necessaria per equilibrare in una bilancia di Watt una 
quantità di corrente proporzionale alla costante di Planck:

\begin{equation*}
    1\,\mathrm{kg} := \left(\displaystyle\frac{\hbar}{ 6{,}62607015 \times 10^{-34}}\right){\mathrm{s}}\cdot{\mathrm{m}^{-2}}
\end{equation*}

\clearpage

\section{Nozioni di Base sui Vettori}
Un vettore è un oggetto matematico definito da modulo, direzione e verso. Poiché la sua definizione non dipende dal punto di applicazione tutti i vettori aventi gli stessi moduli, direzioni e versi vengono definiti equipollenti:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{vettore.pdf}%
\end{figure}

Il vettore $\vect{v}$ (o $\vec{v}$), applicato sul punto $P$, in figura viene definito del modulo ($|\vect{v}| = v$) rappresentato dalla lunghezza del segmento, dalla direzione rappresentata dalla retta su cui poggia, e dal verso rappresentato dalla freccia alla fine del segmento.
Si usa la notazione $\vect{v}\in\vect{V}{\left(P\right)}$ per indicare che  il dato vettore appartiene alla classe di vettori applicati su $P$. Poiché il punto di applicazione di un vettore non cambia il comportamento delle operazioni tra vettori per convenzione si considera, se non viene specificato, il punto di applicazione coincidente con l'origine di uno spazio vettoriale di dimensione $n$: $\vect{V}^{n}\left(O\right)$.
\subsection{Somma tra Vettori}
Dati due vettori appartenenti allo stesso spazio vettoriale: $\vect{v}, \vect{w} \in \vect{V}^{n}\left(O\right)$, viene definita l'operazione binaria interna somma ($+$) secondo le seguenti proprietà:
\begin{align*}
    \vect{v} + \vect{w} &\in \vect{V}^{n}\left(O\right)\\
    \vect{v} + \vect{w} &= \vect{w} + \vect{v}\\
    \vect{v} + \left(\vect{w} + \vect{u}\right) &= \left(\vect{v} + \vect{w}\right) + \vect{u}\\
    \vect{v} + \vect{0} &= \vect{v}\\ 
    \vect{v} + (-\vect{v}) &= \vect{0}
\end{align*}
Graficamente la somma può essere rappresentata mediante il 
metodo punta-coda o metodo del parallelogramma, è
possibile dimostrare graficamente che 
$-\left(\vect{v} + \vect{w}\right) = -\vect{v} -\vect{w}$ e
$ \vect{v} - \vect{w} = \vect{v} + \left(-\vect{w}\right)$:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{somma-vettori.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Prodotto tra un Vettore ed un Scalare}
Dato un vettore $\vect{v}\in\vect{V}^{n}{\left(O\right)}$, ed uno scalare $k\in\mathbb{R}$, viene definita l'operazione binaria esterna prodotto per uno scalare ($\cdot$) secondo le seguenti proprietà:
\begin{align*}
    k\vect{v} &\in\vect{V}^{n}{\left(O\right)}\\
    k\left(\vect{v} +\vect{w}\right)&= k\vect{v} + k\vect{w}\\
    \left(k + h\right)\vect{v} &= k\vect{v} + h\vect{v}\\
    k\left(h\vect{v}\right) &= \left(kh\right)\vect{v}\\
    k\vect{v} = \vect{0} \iff k &= 0 \lor \vect{v} = \vect{0}
\end{align*}

\subsection{Versore di un Vettore}

Dato un vettore $\vect{v}\in\vect{V}^{n}{\left(O\right)}$, il suo versore viene definito come un vettore di modulo unitario, avente la sua stessa direzione e verso: 
\begin{equation}
    \hat{\vect{v}} := \frac{\displaystyle\vect{v}}{\displaystyle|\vect{v}|}
\end{equation}
Un vettore può quindi essere rappresentato come $\vect{v} = v\cdot\hat{\vect{v}}$.\\
Considerando gli assi di un sistema di riferimento cartesiano, possono essere definiti i versori paralleli e aventi stessa direzione di quegli assi come: $\hat{\vect{x}}$ e $\hat{\vect{y}}$.

\subsection{Prodotto Scalare tra due Vettori}
Dati due vettori $\vect{v}$, $\vect{w}$, viene definito il prodotto scalare ($\cdot$) tra due vettori l'operazione $f(\vect{v},\vect{w})=\vect{v}\cdot\vect{w}:\vect{V}^{n}(O)\to\mathbb{R}$: 
\begin{equation}
    \vect{v}\cdot\vect{w} =  |\vect{v}|\cdot|\vect{w}| \cos\theta\in \mathbb{R}
\end{equation}
Dove $\theta$ rappresenta l'angolo compreso tra i due vettori, è indifferente se si considera l'angolo interno ($\theta$) o esterno ($\gamma = 2\pi - \theta$) poiché si avrebbe:
\begin{gather*}
    \cos\gamma = \cos(2\pi - \theta) = \cos(-\theta) = \cos\theta
\end{gather*}
Se viene considerato il primo dei due vettori parallelo ad un asse del sistema di riferimento usato, allora si può considerare
il prodotto scalare tra i due come la proiezione del secondo sull'asse indicato moltiplicato per il modulo del primo vettore:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{prodotto-scalare.pdf}%
\end{figure}

Quindi la proiezione rispetto all'asse $x$ del vettore 
$\vect{w}$ è data da: $w_x = \vect{w}\cdot\hat{\vect{x}}= 
\cos\theta|\vect{w}|\cdot1$, in generale la proiezione 
ortogonale di un vettore rispetto ad un altro vettore è 
data dal prodotto scalare tra il primo vettore per il versore 
del secondo: $w_v = \vect{w}\cdot\hat{\vect{v}}$.
Il prodotto scalare è massimo quando i due vettori sono 
paralleli ovvero quando $\cos\theta = 1$, ed è nullo
quando i due vettori sono perpendicolari: $\cos0 = 0$.
Perciò: $\hat{\vect{x}}\cdot\hat{\vect{x}} = 1$, mentre $\hat{\vect{x}}\cdot\hat{\vect{y}} = 0$. 
Per il prodotto scalare valgono le proprietà distributiva, associativa e
transitiva. 

\subsection{Componenti di un Vettore}
Dato un vettore, vengono definiti componenti del vettore le sue proiezioni ortogonali rispetto agli assi del sistema di riferimento usato:

\begin{gather}
    \vect{v}\cdot\hat{\vect{x}} = v\cos\theta = v_x\\
    \vect{v}\cdot\hat{\vect{y}} = v\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \theta\right) = v\sin\theta = v_y
\end{gather}

\`{E} possibile rappresentare un vettore tramite i suoi componenti: $\vect{v} = \vect{v}_x + \vect{v}_y = v_x\hat{\vect{x}} + v_y\hat{\vect{y}}$, dove $\vect{v}_x$ e $\vect{v}_y$ sono i vettori componenti di $\vect{v}$.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{componenti-vettore.pdf}%
\end{figure}

A differenza del vettore le sue componenti dipendono dal sistema di riferimento usato per ottenerle.

\subsection{Coordinate Polari}
In coordinate cartesiane il punto $P$ viene indicato con ($x_P, y_P$); in coordinate polari viene indicato con ($\rho_P, \theta_P$), dove 
$\rho$ rappresenta la distanza del punto dall'origine e $\theta$ rappresenta l'angolo che forma il segmento $OP$ con il semiasse uscente dall'origine e parallelo a l'asse $x$.
Per cambiare sistema di coordinate del punto $P$ si considerano le seguenti espressioni:  

\begin{gather*}
    x_P = \rho \cos\theta\\
    y_P = \rho \sin\theta\\
    \rho = \displaystyle\sqrt{x_P^{2} + y_P^{2}}\\
    \theta = \arctan\left(\displaystyle\frac{y_P}{x_P}\right)
\end{gather*}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{coordinate-polari}%
\end{figure}
Si può rappresentare un vettore in coordinate polari: $\vect{v} = v_x\hat{\vect{x}} + v_y\hat{\vect{y}} = \rho \cos\theta\hat{\vect{x}} + \rho \sin\theta\hat{\vect{y}}$, dove $\rho$ è la distanza dall'origine e $\theta$ l'angolo che forma con il semiasse $x$.
Considerando:
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{v_y}{v_x} = \displaystyle\frac{\rho \sin\theta}{\rho \cos\theta} = \tan\theta
\end{equation*}
Si può ricavare il valore di $\theta$: 
\begin{equation}
    \theta = \arctan\displaystyle\left(\frac{v_y}{v_x}\right)
\end{equation}
Per ottenere la distanza dall'origine $\rho$ si considera:
\begin{gather*}
    \vect{v}\cdot\vect{v} = v^{2}\\
    (v_x\hat{\vect{x}} + v_y\hat{\vect{y}})\cdot(v_x\hat{\vect{x}} + v_y\hat{\vect{y}})\\
    v_xv_x \cancelto{1}{\hat{\vect{x}}\cdot\hat{\vect{x}}} + v_xv_y\cancelto{0}{\hat{\vect{x}}\cdot\hat{\vect{y}}} + v_yv_x\cancelto{0}{\hat{\vect{y}}\cdot\hat{\vect{x}}} + v_yv_y\cancelto{1}{\hat{\vect{y}}\cdot\hat{\vect{y}}}\\
    v_x^{2} + v_y^{2} = \rho^{2}\cos^{2}\theta + \rho^2\sin^{2}\theta\\
    \rho^{2}(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta) = \rho^{2}\\
    v^2=\rho^2\\
    v=\rho\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*} 

Si è dimostrato che il modulo del vettore $\vect{v}$ è uguale alla distanza dall'origine $\rho$.

\subsection{Prodotto Vettoriale tra due Vettori}
Dati due vettori $\vect{v}$ e $\vect{w}$, viene definito il vettore prodotto vettoriale l'operazione $f(\vect{v},\vect{w})=\vect{v}\times\vect{w}:\vect{V}^n(O)\to \vect{V}^n(O)$: 
\begin{equation}
    \vect{v}\times\vect{w} := v\cdot w\sin\theta\:\hat{\vect{v}}\times\hat{\vect{w}}
\end{equation}
    
La direzione del vettore $\hat{\vect{v}}\times\hat{w}$ viene ottenuta mediante la regola della mano destra
di conseguenza l'ordine dei vettori determina il verso del vettore prodotto vettoriale, e si ha: $\hat{\vect{v}}\times\hat{\vect{w}} = -\hat{\vect{w}}\times\hat{\vect{v}}$.



Poiché si considera il seno dell'angolo tra i due vettori, se essi sono paralleli il prodotto vettoriale risultante è nullo, mentre se essi 
sono perpendicolari il prodotto vettoriale risultante è massimo. 


Il modulo del prodotto vettoriale tra due vettori risulta essere l'area del 
parallelogramma descritto dai vettori applicati su uno stesso punto, come se si stesse applicando il metodo del parallelogramma, per cui 
il prodotto vettoriale risulta essere l'area con segno descritta dai due vettori. 
Per il prodotto vettoriale vale la proprietà distributiva 
$\vect{v}\times(\vect{w} +\vect{u}) = \vect{v}\times\vect{w} + \vect{v}\times\vect{u}$, 
ma essendo 
dipendente dall'ordine dei vettori, la proprietà associativa 
non è valida: 
$\vect{v}\times(\vect{w}\times\vect{u}) \neq (\vect{v}\times\vect{w})\times\vect{u}$:
\begin{gather*}
    \vect{v}\times(\vect{w}\times\vect{u})=(\vect{v}_x+\vect{v}_y)\times((\vect{w}_x+\vect{w}_y)\times(\vect{u}_x+\vect{u}_y))\\
    (v_x\hat{\vect{x}}+v_y\hat{\vect{y}})\times(w_xu_x\hat{\vect{x}}\times\hat{\vect{x}}+w_xu_y\hat{\vect{x}}\times\hat{\vect{y}}+w_yu_x\hat{\vect{y}}\times\hat{\vect{x}}+w_yu_y\hat{\vect{y}}\times\hat{\vect{y}})\\
    (v_x\hat{\vect{x}}+v_y\hat{\vect{y}})\times(w_xu_y\hat{\vect{z}}+w_yu_x(-\hat{\vect{z}}))\\
    v_xw_xu_y\hat{\vect{x}}\times\hat{\vect{z}}+v_xw_yu_x\hat{\vect{x}}\times(-\hat{\vect{z}})+v_yw_xu_y\hat{\vect{y}}\times\hat{\vect{z}}+y_yw_yu_x\hat{\vect{y}}\times(-\hat{\vect{z}})\\
    v_xw_xu_y(-\hat{\vect{y}})+v_xw_yu_x\hat{\vect{y}}+v_yw_xu_y\hat{\vect{x}}+v_yw_yu_x(-\hat{\vect{x}})\\
    \vect{v}\times(\vect{w}\times\vect{u})=(v_yw_xu_y-v_yw_yu_x)\hat{\vect{x}}+(v_xw_yu_x-v_xw_xu_y)\hat{\vect{y}}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}\\
    (\vect{v}+\vect{w})\times\vect{u}=((\vect{v}_x+\vect{v}_y)\times(\vect{w}_x+\vect{w}_y))\times(\vect{u}_x+\vect{u}_y)\\
    (v_xw_x\hat{\vect{x}}\times\hat{\vect{x}}+v_xw_y\hat{\vect{x}}\times\hat{\vect{y}}+v_yw_x\hat{\vect{y}}\times\hat{\vect{x}}+v_yw_y\hat{\vect{y}}\times\hat{\vect{y}})\times(u_x\hat{\vect{x}}+u_y\hat{\vect{y}})\\
    (v_xw_y\hat{\vect{z}}+v_yw_x(-\hat{\vect{z}}))\times(u_x\hat{\vect{x}}+u_y\hat{\vect{y}})\\
    v_xw_yu_x\hat{\vect{z}}\times\hat{\vect{x}}+v_xw_yu_y\hat{\vect{z}}\times\hat{\vect{y}}+v_yw_xu_x(-\hat{\vect{z}})\times\hat{\vect{x}}+v_yw_xu_y(-\hat{\vect{z}})\times\hat{\vect{y}}\\
    v_xw_yu_x\hat{\vect{y}}+v_xw_yu_y(-\hat{\vect{x}})+v_yw_xu_x(-\hat{\vect{y}})+v_yw_xu_y\hat{\vect{x}}\\
    (\vect{v}+\vect{w})\times\vect{u}=(v_yw_xu_y-v_xw_yu_y)\hat{\vect{x}}+(v_xw_yu_x-v_yw_xu_x)\hat{\vect{y}}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}\\
    (v_yw_xu_y-v_yw_yu_x)\hat{\vect{x}}+(v_xw_yu_x-v_xw_xu_y)\hat{\vect{y}}\neq(v_yw_xu_y-v_xw_yu_y)\hat{\vect{x}}+(v_xw_yu_x-v_yw_xu_x)\hat{\vect{y}}\\
    \vect{v}\times(\vect{w}\times\vect{u})\neq(\vect{v}+\vect{w})\times\vect{u}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{prodotto-vettoriale.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Coordinate Sferiche}

Considerando un sistema di riferimento tridimensionale 
$x, y, z$, si può rappresentare un vettore usando le sue 
componenti: $\vect{v} = v_x\hat{\vect{x}} + v_y\hat{\vect{y}} + v_z\hat{\vect{z}}$,
oppure si può rappresentare mediante coordinate sferiche.
Si considera la proiezione del vettore rispetto al piano formato da due assi, e scompone quel vettore con coordinate polari, in seguito si considera l'angolo formato dal vettore con il terzo asse perpendicolare al piano $\vect{v}$($\rho, \theta, \varphi$):
\begin{gather*}
    v_x = \rho \cos\varphi\\
    v_y = \rho \sin\varphi\\
    \rho = v_{xy}  = v\sin\theta\\
    v_z = v\cos\theta\\
    \vect{v} = v\sin\theta \cos\varphi\:\hat{\vect{x}} + v\sin\theta \sin\varphi\:\hat{\vect{y}} + v\cos\theta\:\hat{\vect{z}}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{coordinate-sferiche.pdf}%
\end{figure}

\clearpage

\section{Cinematica del Punto Materiale}
La cinematica è la parte della meccanica che analizza l'andamento del moto di un 
corpo nel tempo. 

\subsection{Traiettoria}
In cinematica una traiettoria $\Gamma$ è l'insieme di tutti i punti $Q$ dove 
il punto materiale analizzato si può trovare in un intervallo di tempo $\Delta t$:

\begin{equation}
    \Gamma := \left\{Q\:\mbox{t.c}\: Q = P(t)\right\}
\end{equation}


Un punto materiale rappresenta il centro di massa di un corpo, approssimando
il suo andamento come se tutta la massa fosse accumulata in unico punto.
La traiettoria di un punto materiale è indipendente dal sistema di rifermento usato
per analizzarla. Convenzionalmente si usano sistemi di riferimento aventi
assi ortogonali e destrorsi, in modo tale che valgono le seguenti relazioni: 
\begin{equation}
    \hat{\vect{i}}\times\hat{\vect{j}} = \hat{\vect{k}},\:\hat{\vect{j}}\times\hat{\vect{k}} = \hat{\vect{i}},\: \hat{\vect{k}}\times\hat{\vect{i}} = \hat{\vect{j}}
\end{equation}
Per un sistema di 
riferimento avente tre assi ($i, j, k$).
\\
Considerando una traiettoria $\Gamma$ in un sistema di riferimento ($i,j,k$),
si può definire un vettore posizione $\vect{r}(t)$, che rappresenta in 
funzione del tempo la posizione del punto materiale che segue quella data
traiettoria $\Gamma$.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{traiettoria.pdf}%
\end{figure}

Aggiungendo un altro asse ortogonale si può analizzare la posizione 
del punto nel tempo, definito moto. La posizione in 
funzione del tempo viene definita legge oraria del punto 
e descrive come il punto si muove nello spazio rispetto al tempo. 
Si può analizzare la legge oraria nei suoi componenti:
\begin{equation}
    \vect{r}(t) = r_x(t)\hat{\vect{x}} + r_y(t)\hat{\vect{y}} + r_z(t)\hat{\vect{z}}
\end{equation}
In questo modo si ottiene la legge oraria del punto nelle 
tre direzioni dello spazio, ognuna descrive il comportamento del 
punto in una singola direzione:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{traiettoria-xyz.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Moto nello Spazio}
Dati due istanti di tempo, è possibile approssimare la quantità di spazio
percorsa dal punto tramite: $\Delta\vect{r}(t) = \vect{r}(t_1) - \vect{r}(t_0)$, questa differenza 
approssima lo spostamento $\vect{s}$, definito come la distanza tra due punti di una traiettoria, poiché rappresenta una distanza, è indipendente 
dal sistema di riferimento utilizzato. Quando 
la posizione iniziale è nulla, allora si ha 
$\vect{s}(t)=\Delta\vect{r}(t)=\vect{r}(t)-\vect{0}=\vect{r}(t)$.
    
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{spostamento.pdf}%
\end{figure}
Viene definita velocità media di un punto $\vect{v}_m(t)$, la grandezza che quantifica la rapidità con cui un punto compie uno spostamento $\Delta \vect{r}$ 
in un intervallo di tempo $\Delta t$: 

\begin{equation}
    \vect{v}_m(t) = \displaystyle\frac{\Delta\vect{r}(t)}{\Delta t}\left[\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\right]
\end{equation}

Contiene informazioni sullo spostamento ed il 
tempo impiegato per compierlo, ma non sulla traiettoria.
Per ottenere informazioni sulla traiettoria si definisce la velocità istantanea:

\begin{equation}
    \vect{v}_i(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \displaystyle\frac{\Delta\vect{r}(t)}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\df\vect{r}(t)}{\df t}
\end{equation}

Per cui è possibile ottenere uno spostamento data la velocità istantanea $\vect{v}(t)$, derivata dello spostamento:

\begin{equation}
    \Delta\vect{r}(t)=\displaystyle\int_{t_0}^{t}\vect v(\tau)\df\tau
\end{equation}

Per cui si può esprimere la velocità media rispetto alla velocità istantanea considerando lo spostamento come l'integrale della velocità istantanea 
oppure considerando il teorema della media, se la velocità istantanea in funzione del tempo è continua:
\begin{equation*}
    \vect{v}_m(t)=\displaystyle\frac{1}{t-t_0}\int_{t_0}^{t}\vect v(\tau)\df\tau
\end{equation*}


Per ottenere la direzione ed il verso della velocità istantanea $\vect{v}_x(t)$, si analizza il cambiamento del vettore velocità media al diminuire 
dell'intervallo di tempo $\Delta t$. Al diminuire di $\Delta\vect{r}_x(t)$, l'angolo $\alpha$ tra la tangente alla 
traiettoria e lo spostamento diminuisce, quindi per $\Delta t \to 0$, $\alpha \to 0$ 
lo spostamento infinitesimo $\df\vect{r}_x(t)$ diventa un 
vettore parallelo alla traiettoria $\Gamma_x$ nell'istante di 
tempo $t_0$. La velocità istantanea $\vect{v}_x(t)$ di conseguenza, avendo 
stessa direzione e verso di $\df\vect{r}_x(t)$ è anch'essa tangente alla traiettoria 
lungo $\Gamma_x$ nel punto $r_x(t_0)$.

Per ogni componente di $\vect{r}(t)$ 
si può effettuare lo stesso ragionamento, 
quindi è possibile definire una velocita istantanea: 
\begin{equation}
    \vect{v}(t) =\dot{r}_x(t)\hat{\vect{x}} +\dot{r}_y(t)\hat{\vect{y}} +\dot{r}_z(t)\hat{\vect{z}} = v_x(t)\hat{\vect{x}} + v_y(t)\hat{\vect{y}} + v_z(t)\hat{\vect{z}}
\end{equation}    
Dove ${v}_i(t)$ 
sono le pendenze dei grafici della legge oraria nella coordinata $i$, all'istante 
di tempo $t$. Poiché rappresentano delle pendenze contengono informazioni sul modulo e sul verso del vettore velocità. 

Si definisce accelerazione istantanea la derivata della velocità istantanea rispetto al tempo: 

\begin{equation}
    \vect{a}_i(t) = \lim_{\Delta t \to 0}\displaystyle\frac{\Delta\vect{v}(t)}{\Delta t} = \frac{\df\vect{v}_i(t)}{\df t} = \frac{\df^{2}\vect{r}(t)}{\df t^{2}}\left[\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}\right]
\end{equation}

Avente direzione perpendicolare alla tangente alla 
traiettoria nell'istante di tempo $t$, e verso, individuato dal segno di $a$, dipendente dalla convessità o concavità della traiettoria
nell'intorno dell'istante di tempo $t$, a differenza del segno della velocità $v$, che indica il verso 
del moto del punto.  


L'accelerazione del punto lungo la traiettoria $\Gamma$ in tre dimensioni viene espressa come:
\begin{equation}
    \vect{a}(t) = \ddot{r}_x(t)\hat{\vect{x}} +\ddot{r}_y(t)\hat{\vect{y}} +\ddot{r}_z(t)\hat{\vect{z}} = \dot{v}_x(t)\hat{\vect{x}} + \dot{v}_y(t)\hat{\vect{y}} + \dot{v}_z(t)\hat{\vect{z}} = a_x(t)\hat{\vect{x}} +a_y(t)\hat{\vect{y}} + a_z(t)\hat{\vect{z}}
\end{equation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{velocita-accelerazione.pdf}%
\end{figure}

Data un'accelerazione costante, la sua legge oraria sarà data 
da: $\vect{a}(t) = \vect{a}_0$. 
Date le leggi orarie della velocità e dell'accelerazione, e le loro condizioni iniziali, è possibile ottenere la legge 
oraria della posizione integrando su un intervallo $[t_0,t]$ le leggi orarie note. 

\subsubsection{Moto Rettilineo Uniforme}
Un punto che si muove con un accelerazione nulla $\vect{a}=\vect{0}$ avrà 
una velocità costante $\vect{v}(t)=\vect{v}_0$ e compierà un moto definito rettilineo uniforme. 
Se è data la posizione nell'istante di tempo $t_0$ $\vect{r}(t_0)=\vect{r}_0$, 
è possibile 
ottenere la legge oraria della posizione:
\begin{gather*}
    \displaystyle\frac{\df\vect{r}(t)}{\df t}=\vect{v}(t)=\vect{v}(t_0)=\vect{v}_0\\
    \displaystyle\int_{t_0}^{t}\df\vect{r}(\tau)=\int_{t_0}^{t}\vect{v}_0\df\tau\\
    \vect{r}(t)-\vect{r}(t_0)=\vect{v}_0(t-t_0)\\
    \vect{r}(t)=\vect{r}(t_0)+\vect{v}_0(t-t_0)\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Questa legge oraria descrive un moto rettilineo uniforme, dove 
lo spostamento cresce linearmente rispetto al tempo.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{rettilineo-uniforme.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Moto Uniformemente Accellerato}

Un punto che si muove con un'accelerazione costante $\vect{a}(t)=\vect{a}_0$ si muove di moto uniformemente accelerato. 
Data l'accelerazione $\vect{a}_0$ e
se è data la posizione e la velocità nell'istante di tempo 
$t_0$: $\vect{v}(t_0)=\vect{v}_0{,}\:\vect{r}(t_0)=\vect{r}_0$, 
allora è possibile ottenere la legge oraria dello spostamento:

\begin{gather*}
    \displaystyle\frac{\df\vect{v}(t)}{\df t}=\vect{a}_0\\
    \displaystyle\int_{t_0}^t\df\vect{v}(\tau)=\int_{t_0}^ta_0\df\tau\\
    \vect{v}(t)=\vect{v}(t_0)+\vect{a}_0(t-t_0)\\
    \displaystyle\frac{\df\vect{r}(t)}{\df t}=\vect{v}(t)=\vect{v}(t_0)+\vect{a}_0(t-t_0)\\
    \displaystyle\int_{t_0}^t\df\vect{r}(\tau)=\int_{t_0}^{t}\vect{v}_0+\vect{a}_0(t-t_0)\df\tau\\
    \vect{r}(t)-\vect{r}_0=\vect{v}_0(t-t_0)+\displaystyle\frac{1}{2}\vect{a}_0(t-t_0)^2\\
    \vect{r}(t)=\vect{r}_0+\vect{v}_0(t-t_0)+\displaystyle\frac{1}{2}\vect{a}_0(t-t_0)^2\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Questa legge oraria descrive un moto uniformemente accelerato, 
dove la posizione aumenta quadraticamente rispetto al tempo. 


\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{uniformemente-accelerato.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Moto di Caduta}


Il moto di caduta di un punto materiale da un'altezza iniziale $y_0$ 
con un'accelerazione 
$\vect{a}(t) = \vect{g}$, 
è un moto uniformemente accelerato. Si esplicita il verso dell'accelerazione considerando $\vect{a}(t)=-g\hat{\vect{y}}$. Con una velocità nulla, avrà  
legge oraria: $\vect y(t)= y_0\hat{\vect{y}} -\displaystyle\frac{1}{2}gt^{2}\hat{\vect{y}}$.
\\
Se il punto viene lanciato, o verso l'alto o verso il basso
con una velocità di modulo $v_0$ la legge oraria sarà: 
$\vect y(t) = y_0\hat{\vect{y}} \pm v_0t\hat{\vect{y}}-\displaystyle\frac{1}{2}gt^{2}\hat{\vect{y}}$.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{caduta.pdf}%
\end{figure}

Per trovare il punto più alto della traiettoria lungo le $y$,
assumendo che il punto sia stato lanciato verso l'alto, bisogna
trovare il punto dove la velocità si annulla. La velocità, di modulo positivo, diminuisce linearmente rispetto al tempo $v(t)=v_0-gt$, per cui il punto 
continua a salire fino a quando la velocità è positiva, nel punto in cui la velocità si annulla il punto smette di salire, e comincia subito dopo a 
cadere verso il basso. 

\begin{gather*}
    \vect{v}(t) = \vect{v}_0  + \vect{g}(t-t_0),\:\exists t_{\max} \:\mbox{t.c}\:\vect{v}_y(t_{\max}) = \vect{0}\\
    \vect0= v_0\hat{\vect{y}} - g(t_{\max}-t_0)\hat{\vect{y}}\\
    t_{\max} = \displaystyle\frac{v_0}{g} + t_0,\,t_0=0\\
    y_{\max} = y(t_{\max}) = y_0 + v_0\left(\displaystyle\frac{v_0}{g}\right) -\displaystyle\frac{1}{2}g\left(\displaystyle\frac{v_0}{g}\right)^{2}\\
    y_{\max}=y_0 + \displaystyle\frac{v_0^{2}}{2g}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Per trovare il punto dove tocca terra bisogna risolvere 
la legge oraria rispetto al tempo:

\begin{gather*}
    \exists t_\mathrm{terra}\:\mbox{t.c}\: y(t_\mathrm{terra}) = 0\\
    y_0 + v_0(t_\mathrm{terra} - t_0)-\displaystyle\frac{1}{2}g
    (t_\mathrm{terra} - t_0)^{2} = 0\\
    -\displaystyle\frac{1}{2}gt_\mathrm{terra}^{2} + gt_\mathrm{terra}t_0
    -\displaystyle\frac{1}{2}gt_0^{2}+v_0t_\mathrm{terra} - v_0t_0 +y_0 =0\\
    -\displaystyle\frac{1}{2}gt_\mathrm{terra}^{2}+t_\mathrm{terra}
    (gt_0+v_0) + \left(y_0-v_0t_0 
    -\displaystyle\frac{1}{2}gt_0^{2}\right)=0\\
    t_\mathrm{terra} = \displaystyle\frac{gt_0+v_0 \mp\sqrt{(gt_0-v_0)^{2}+2g\left(y_0-v_0t_0-\displaystyle\frac{1}{2}gt_0^{2}\right)}}{g}
\end{gather*}

Poiché il punto non può toccare terra in un istante di tempo 
negativo si considera:

\begin{equation}
    t_\mathrm{terra} = \displaystyle\frac{gt_0+v_0 +\sqrt{(gt_0-v_0)^{2}+2g\left(y_0-v_0t_0-\displaystyle\frac{1}{2}gt_0^{2}\right)}}{g}
\end{equation}

\subsubsection{Moto Armonico o Oscillatorio}

Un moto armonico è un tipo di moto in cui il sistema torna 
alle stesse condizioni dopo un periodo.
Il periodo è la quantita di tempo necessaria 
al sistema per compiere un'oscillazione completa.
$T = \Delta t$: $\vect{f}(t) = \vect{f}(t + T)$.
\\
Alcuni moti oscillatori comuni sono il moto di una molla e il 
moto di un pendolo.

Nel moto armonico due stati sono uguali se la posizione, 
il vettore velocità e accelerazione sono uguali.

Un moto armonico è definito da varie grandezze fisiche:

\begin{itemize}
    \item Ampiezza ($A$): massima distanza dallo stato iniziale 
    in un oscillazione, misurata in metri [m];
    \item Frequenza ($\nu$): numero di oscillazioni effettuate 
    in un secondo, calcolata in Hertz $[\mathrm{Hz}]=[\mathrm{s}^{-1}]$, è l'inverso del 
    periodo: $\nu =T^{-1}$;
    \item Pulsazione ($\omega$): velocità in cui viene 
    effettuata un'oscillazione completa ($2\pi$), $\omega = 2\pi\cdot T^{-1} = 2\pi\nu$, 
    misurata in radianti al secondo $\left[\mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}\right]$.
    \item Fase Iniziale ($\varphi$): indica il punto dell'oscillazione 
    da dove comincia il moto, misurata in radianti [rad].
\end{itemize}

La legge oraria generale di un moto armonico è definita da 
una funzione sinusoidale o cosinusoidale: $x(t) = A(t)\cos(\varphi+\omega t)$ oppure $ x(t) = A(t)\sin(\varphi+\omega t)$.\\ 
In un moto armonico semplice l'ampiezza massima non diminuisce o 
aumenta nel tempo quindi la sua legge oraria sarà:  
\begin{equation}
    x(t) = A\cos(\varphi + \omega t) =A\cos(\varphi + 2\pi\nu t) = A\cos\left(\varphi + \displaystyle\frac{2\pi}{T}t\right)
\end{equation}
All'istante $t_0 = 0$, $x(t_0) = A\cos(\varphi + \omega t_0) = 
A\cos(\varphi)$, se la fase iniziale è nulla, all'istante di 
tempo iniziale il punto si trovo nella posizione 
di ampiezza massima: $x(0) = A\cos(0) = A$. 

Una funzione sinusoidale rappresenta lo stesso moto di una funzione cosinusoidale, solamente quadrato di fase, ovvero sfasato di $\pi/2$, 
per cui è possibile usare il seno ed il coseno per analizzare lo stesso moto armonico. 
Per convenzione si usa il seno per la legge oraria della posizione 
di un moto armonico: $x(t) = A\sin(\varphi + \omega t)$. Nell'istante di tempo $t_0 = 0$, se la fase è nulla: $x(0) = 0$. 

La velocità e l'accelerazione del moto armonico si ottengono 
derivando la legge oraria dell'accelerazione:
\begin{gather}
    v(t) = \dot x(t) = \omega A\cos(\varphi+\omega t)\\
    a(t)= \ddot x(t) = -\omega^{2}A\sin(\varphi+\omega t) = -\omega^{2}x(t)
\end{gather}

La velocità risulta quadrata di fase poiché è sfasata di $\displaystyle\frac{\pi}{2}\,rad$  rispetto alla posizione, mentre la legge oraria dell'accelerazione 
risulta essere in opposizione di fase rispetto alla posizione poiché è sfasata di $\pi\,rad$. 

Se la legge oraria di un punto materiale rispetta l'equazione $\ddot x(t)+\omega x(t)=0$, allora quel punto si muove di moto armonico semplice. Quest'equazione 
rappresenta la condizione necessaria per un moto armonico semplice. 

Poiché la legge oraria dell'accelerazione è: $\ddot x(t) = -\omega x(t)$, 
si può esprimere rispetto alla sola legge oraria della posizione:

\begin{align*}
    \ddot x(t) =& -\omega x(t) \\
    \df^{2}x(t) =& -\omega x(t)\df t^{2} \\
    \displaystyle\iint \df^{2}x(t)=& -\omega\iint x(t)\df t^{2}\\
    \displaystyle x(t) =& -\omega\iint x(t)\df t^{2}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{align*}
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{moto-armonico.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Moto Parabolico}
Quando un punto si muove, da una posizione iniziale 
($h, 0$) di moto rettilineo uniforme nella 
componente $x$, e si muove di moto uniformemente 
accelerato sulla componente $y$; allora si muove di 
moto parabolico:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{parabolico.pdf}%
\end{figure}


Avrà una traiettoria $\Gamma := \left\{Q\:\mbox{t.c.}\:Q=\vect{r}(t)\mbox{,}\:\forall t\in \left[0, t_\mathrm{terra}\right] \right\}$, 
definita dal vettore posizione $\vect{r}(t)$. Il moto del 
punto sarà definito dal vettore posizione $\vect{r}(t)$, dalla velocità 
$\vect{v}(t)$ e dall'accelerazione $\vect{a}(t)$.
Si possono scomporre in componenti:

\begin{gather*}
    \begin{cases}
        \vect{a}(t) = a_x\hat{\vect{x}} +a_y\hat{\vect{y}}\\
        \vect{v}(t) = v_x(t)\hat{\vect{x}} + v_y(t)\hat{\vect{y}}\\
        \vect{r}(t) = x(t)\hat{\vect{x}} + y(t)\hat{\vect{y}}
    \end{cases}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}\\
    \begin{cases}
        \vect{a}_x(t) = \vect{0}\\
        \vect{v}_x(t) =\displaystyle v_{x,0}\hat{\vect{x}}+\int_{t_0}^{t}\vect{a}_x(\tau)\df\tau=v_{x,0}\hat{\vect{x}}+ \int_{t_0}^{t}\vect{0}\df\tau=v_{x,0}\hat{\vect{x}}\\
        \vect{x}(t) = \displaystyle x_0\hat{\vect{x}}+\int_{t_0}^{t}\vect{v}_x(\tau)\df\tau = x_0\hat{\vect{x}}+\int_{t_0}^{t}v_{x,0}\hat{\vect{x}}\df\tau=x_0\hat{\vect{x}}+v_{x,0}(t-t_0)\hat{\vect{x}}
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        \vect{a}_y(t)=-g\hat{\vect{y}}\\
        \vect{v}_y(t)=\displaystyle v_{y,0}\hat{\vect{y}}+\int_{t_0}^{t}\vect{a}_y(\tau)\df\tau=v_{y,0}\hat{\vect{y}}+\int_{t_0}^{t}-g\hat{\vect{y}}\df\tau=v_{y,0}\hat{\vect{y}}-g(t-t_0)\hat{\vect{y}}\\
        \vect{y}(t)=y_0\hat{\vect{y}} +\displaystyle\int_{t_0}^{t}\vect{v}_y(\tau)\df\tau=y_0\hat{\vect{y}}+\int_{t_0}^{t}v_{y,0}\hat{\vect{y}}-g(\tau-t_0)\hat{\vect{y}}\df\tau=
        y_0\hat{\vect{y}}+v_{y,0}(t-t_0)\hat{\vect{y}}-\frac{1}{2}g(t-t_0)^{2}\hat{\vect{y}}
    \end{cases}
\end{gather*}

Per $x_0 = 0$, $y_0 = h$ e $t_0 = 0$, allora la traiettoria 
$\Gamma$ può essere definita come:

\begin{equation}
    \Gamma:=
    \begin{cases}
        \vect{x}(t)=v_{x,0}t\hat{\vect{x}}\\
        \vect{y}(t)=\displaystyle h\hat{\vect{y}}+v_{y,0}t\hat{\vect{y}}-\frac{1}{2}gt^{2}\hat{\vect{y}}
    \end{cases}
\end{equation}

Per ottenere una singola equazione per la traiettoria complessiva 
del punto si applica la seguente sostituzione:
\begin{gather*}
    \Gamma:=
    \begin{cases}
        \displaystyle t = \frac{x}{v_{x,0}}\\
        {y}(t)\hat{\vect{y}}=h\hat{\vect{y}}+v_{y,0}t\hat{\vect{y}}-\displaystyle\frac{1}{2}gt^{2}\hat{\vect{y}}
    \end{cases}\\
    \displaystyle y(x)=h+v_{y,0}\frac{x}{v_{x,0}}-\frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_{x,0}}\right)^{2}\\
    \Gamma:y(x)\displaystyle=-\frac{g}{2v_{x,0}^{2}}x^{2}+\frac{v_{y,0}}{v_{x,0}}x+h\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

La legge oraria del moto $y(x)$ corrisponde ad una parabola rivolta verso 
il basso.
Per trovare la gittata, bisogna trovare il punto della traiettoria 
dove si annulla la componente $y$:
\begin{gather*}
    x(t_g)=x_g \:\mbox{t.c.}\:y(t_g)=0\\
    \begin{cases}
        x(t_g)\hat{\vect{x}}=x_g\hat{\vect{x}}=v_{x,0}t_g\hat{\vect{x}}\\
        y(t_g)\hat{\vect{y}}=\vect{0}=\left(h+v_{y,0}t_g-\displaystyle\frac{1}{2}gt_g^{2}\right)\hat{\vect{y}}
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        x_g=v_{x,0}t_g\\
        t_g=\displaystyle\frac{y_{y,0}\mp\sqrt{v_{y,0}^{2}+2gh}}{g}{,}\:t_g>0  
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        x_g=\displaystyle\frac{v_{x,0}v_{y,0}\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{2gh}{v_{y,0}^2}}\right)}{\strut g}\\
        t_g=\displaystyle\frac{v_{y,0}+\sqrt{v_{y,0}^{2}+2gh}}{g}    
    \end{cases}
\end{gather*}

Per trovare la gittata massima in funzione di una velocità 
iniziale $\vect{v}_0 = v_0(\cos\theta\hat{\vect{x}}+\sin\theta\hat{\vect{y}})$, 
si considera la gittata $x_g$ come una funzione:
\begin{equation}
    x_g(v_0,\theta)=\displaystyle\frac{v_0^{2}\sin\theta \cos\theta\left(1+\sqrt{1+\displaystyle\frac{2gh}{v_0^2\sin^2\theta}}\right)}{g}
\end{equation}

Si considera il caso dove il moto parabolico inizia nell'origine 
degli assi, allora $h=0$, quindi si ha la funzione della gittata:
\begin{equation}
    x_g(v_0,\theta)=\displaystyle\frac{2v_0^2}{g}\sin\theta \cos\theta=\frac{v_0^2}{g}\sin2\theta
\end{equation}
In questo caso la gittata massima dipende interamente dall'angolo 
$\theta$ tra il vettore velocità e l'orizzontale, poiché è direttamente proporzionale al modulo della velocità iniziale $v_0$. Quindi
per trovare la gittata massima si considera la derivata della funzione gittata rispetto all'angolo $\theta$: 
\begin{gather*}
    \displaystyle\frac{\df x_g(\theta)}{\df\theta}=\frac{\df}{\df\theta}\frac{v_0^2}{g}sin2\theta=0\\
    \displaystyle\frac{2v_0^2}{g}\cos2\theta=0\\
    \theta=\displaystyle\frac{\pi}{4}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
La gittata massima di un punto in moto parabolico, per $h=0$, 
si ha per un vettore velocità:
\begin{equation} 
    \vect{v}_0=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}v_0\hat{\vect{x}}+\frac{\sqrt{2}}{2}v_0\hat{\vect{y}}
\end{equation}

\subsubsection{Moto Circolare Uniforme}

Quando un punto materiale ruota intorno ad un punto si muove di moto circolare.
Poiché la traiettoria è una circonferenza avente come centro il 
punto intorno a cui il punto materiale ruota, il modulo del vettore posizione 
per qualunque istante di tempo rimane invariato, ciò che cambia nel tempo è 
la sua direzione e verso: $\vect{r}(t)=r\cdot\hat{\vect{r}}(t)$.
Il versore $\hat{\vect{r}}(t)$ può essere scritto in componenti: 
\begin{equation}
    \hat{\vect{r}}(t)=1\cdot \cos\theta(t)\hat{\vect{x}}+1\cdot \sin\theta(t)\hat{\vect{y}}
\end{equation}

Da questa relazione è possibile ottenere il versore del 
vettore velocità: 
\begin{gather*}
    \hat{\vect{v}}(t)=\displaystyle\frac{\df\hat{\vect{r}}(t)}{\df t}\\
    \displaystyle\frac{\df}{\df t}\left(\cos\theta(t)\hat{\vect{x}}+\sin\theta(t)\hat{\vect{y}}\right)\\
    -\sin(\theta(t))\dot\theta(t)\hat{\vect{x}}+\cos(\theta(t))\dot\theta(t)\hat{\vect{y}}\\
    \hat{\vect{v}}(t)=\left(\cos\theta(t)\hat{\vect{y}}-\sin\theta(t)\hat{\vect{x}}\right)\dot\theta(t)\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
$\dot\theta(t)$ viene chiamata velocità angolare $\omega(t)$, 
viene definito un nuovo versore:
\begin{gather}
    \hat{\vect{\tau}}(t) =\left(\cos\theta(t)\hat{\vect{y}}-\sin\theta(t)\hat{\vect{x}}\right)\\
    \hat{\vect{v}}(t) =\hat{\vect{\tau}}(t)\cdot\omega(t)
\end{gather}
Il vettore velocità sarà: 
\begin{equation}
    \vect{v}(t)=r\cdot\frac{\df}{\df t}\hat{\vect{r}}(t)=r\cdot\hat{\vect{\tau}}(t)\omega(t)
\end{equation}
Considerando le componenti del versore velocità: 
$\hat{\vect{v}}(t)=\cos(\beta(t))\hat{\vect{x}}+\sin(\beta(t))\hat{\vect{y}}$ e 
uguagliandole alle componenti del versore $\hat{\vect{\tau}}(t)$: 
\begin{gather*}
    \begin{cases}
        \cos\beta(t)\hat{\vect{x}}=-\sin\theta(t)\hat{\vect{x}}\\
        \sin\beta(t)\hat{\vect{y}}=\cos\theta(t)\hat{\vect{y}}
    \end{cases}\\
    \beta(t)=\theta(t)+\displaystyle\frac{\pi}{2}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Allora è 
facile notare che il vettore velocità così ottenuto è 
perpendicolare al vettore posizione nell'istante $t$. Dato che  
sono equipollenti si può applicare il vettore velocità 
alla posizione del punto nell'istante $t$ sulla traiettoria.
Il vettore velocità sarà sempre tangente alla traiettoria 
circolare del punto.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{velocità-circolare.pdf}%
\end{figure}

Si può dimostrare questa proprietà senza analizzare le componenti 
dei versori, considerando la differenza infinitesima tra due 
vettori posizione in due istanti di tempo $t$ e $t+\Delta t$.
Il vettore velocità $\vect{v}(t)$ è dato dalla derivata: 
\begin{equation*}
    r\cdot\displaystyle\frac{\df\hat{\vect{r}}(t)}{\df t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\hat{\vect{r}}(t+\Delta t)-\hat{\vect{r}}(t)}{\Delta t}
\end{equation*}
Per $\Delta t \to 0$, 
l'angolo $\df\theta = \theta(t+\Delta t)-\theta(t)$, tra $\hat{\vect{r}}(t)$ e $\hat{\vect{r}}(t+\Delta t)$  
anch'esso tende a $0$. Si può approssimare la differenza per 
$\Delta t \to 0$ tra i due vettori posizione come l'arco di circonferenza di ampiezza $\df\theta$ e di raggio unitario, poiché si tratta di un versore: $\df\hat{\vect{r}}(t)\approx1\cdot \df\theta\hat{\vect\tau}(t)$, al diminuire di $\df\theta$ 
l'approssimazione diventa sempre più precisa. 
Quindi per $\df\theta\to0\,\mathrm{rad}$ si ha:
\begin{equation*}
    \vect{v}(t)=r\cdot\displaystyle\frac{\df\hat{\vect{r}}(t)}{\df t}=r\cdot\frac{\df\theta(t)}{\df t}\hat{\vect{\tau}}(t)=r\cdot\omega(t)\hat{\vect{\tau}}(t)
\end{equation*}
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{velocità-circolare-2.pdf}%
\end{figure}

Se il punto si muove con velocità angolare costante, e quindi si 
muove di moto circolare uniforme:
\begin{equation}
    \vect{v}(t)=r\omega\hat{\vect{\tau}}(t)
\end{equation}
Si può trovare l'accelerazione del punto derivando il vettore 
velocità:
\begin{gather*}
    \vect{a}(t)=\displaystyle\frac{\df\vect{v}(t)}{\df t}=
    r\omega\frac{\df\hat{\vect{\tau}}(t)}{\df t}\\
    r\omega\frac{\df}{\df t}(\cos\theta(t)\hat{\vect{y}}-\sin\theta(t)\hat{\vect{x}})\\
    \vect{a}(t)=    r\omega^{2}(-\sin\theta(t)\hat{\vect{y}}-\cos\theta(t)\hat{\vect{x}})\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Si definisce il versore $\hat{\vect{\nu}}(t)=-(\cos\theta(t)\hat{\vect{x}}+\sin\theta(t)\hat{\vect{y}})=-\hat{\vect{r}}(t)$, allora il vettore accelerazione può essere espresso come:
\begin{equation}
    \vect{a}(t)=r\omega^{2}\hat{\vect{\nu}}(t)=-\omega^{2}r\cdot\hat{\vect{r}}(t)=-\omega^{2}\vect{r}(t){,}\:\: a=\omega^{2}r=\displaystyle\frac{v^{2}}{r}
\end{equation}
Il vettore accelerazione ha la stessa direzione del vettore 
posizione $\vect{r}(t)$, ma verso opposto:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{accelerazione-circolare-1.pdf}%
\end{figure}

Questa proprietà si può dimostrare analizzando la derivata come 
rapporto incrementale: 
\begin{equation*}
    \vect{a}(t)=\displaystyle\frac{\df\vect{v}(t)}{\df t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\vect{v}(t+\Delta t)-\vect{v}(t)}{\df t}
\end{equation*}
Il vettore differenza $\Delta \vect{v}(t) =\vect{v}(t+\Delta t)-\vect{v}(t)$, 
al diminuire di $\Delta t$ tende a diventare ortogonale alla velocità:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{accelerazione-circolare-2.pdf}%
\end{figure}

Questa accelerazione viene chiamata accelerazione centripeta.



Dato un punto materiale in moto circolare uniforme, se dopo un periodo 
$T=\Delta t$, ritorna alla posizione iniziale, si definisce moto 
periodico. Si può ottenere la posizione, integrando la velocità angolare, se è nota la posizione angolare iniziale  
$\theta(t_0) = 0$: 
\begin{gather*}
    \dot\theta(t) = \omega\\
    \int_{t_0}^{t}\df\theta(\tau)\df\tau=\int_{t_0}^{t}\omega \df\tau\\
    \theta(t)-\theta(t_0)=\omega\Delta t\\
    \theta(t)=\omega\Delta t\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Sapendo la posizione angolare ad ogni istante è possibile 
calcolare il periodo di una rotazione:

\begin{gather*}
    \begin{cases}
        \vect{x}(t)=r\cos\theta(t)\hat{\vect{x}}=\vect{x}(t+T)\\
        \vect{y}(t)=r\sin\theta(t)\hat{\vect{y}}=\vect{y}(t+T)
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        \cos(\theta(t+T))=\cos(\theta(t))\\
        \sin(\theta(t+T))=\sin(\theta(t))\\
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        \cos(\omega t +\omega T)=\cos(\omega t)\\
        \sin(\omega t + \omega T)=\sin(\omega  t)\\
    \end{cases}\\
    \omega t +\omega T =\omega t + 2k\pi\:\mbox{,}\:k=1\\
    T=\displaystyle\frac{2\pi}{\omega}[\mathrm{s}]\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

\subsubsection{Moto Circolare non Uniforme}
Se un punto materiale si muove su una traiettoria circolare con 
una velocità angolare variabile nel tempo $\omega(t)$, si muove di moto 
circolare non uniforme. Allora il moto non avrà un periodo 
di rotazione fisso, sarà descritto dalle leggi orarie:

\begin{equation}
    \begin{cases}
        \vect{r}(t)=-r\hat{\vect{\nu}}(t)\\
        \vect{v}(t)=r\omega(t)\hat{\vect{\tau}}(t)\\
        \vect{a}(t)=\displaystyle\frac{\df\vect{v}(t)}{\df t}
        =r\frac{\df}{\df t}(\omega(t)\hat{\vect{\tau}}(t))
        =r(\dot\omega(t)\hat{\vect{\tau}}(t)+\omega(t)^{2}\hat{\vect{\nu}}(t))
    \end{cases}
\end{equation}

$\dot\omega(t)$ viene definita accelerazione angolare $\alpha(t)$, 
$r\alpha(t)\hat{\vect{\tau}}(t)$ viene definita accelerazione tangenziale 
$\vect{a}_\mathrm{tan}(t)$ mentre $r\omega^{2}(t)\hat{\vect{\nu}}(t)$ viene definita 
accelerazione centripeta $\vect{a}_\mathrm{cen}(t)$.
\\
Il moto del punto viene definito dai versori $\hat{\vect{\tau}}(t)$ e $\hat{\vect{\nu}}(t)$, 
perciò si può usare un sistema di riferimento centrato nel punto e con gli assi 
concordi per direzione e verso ai versori $\hat{\vect{\tau}}(t)$ e $\hat{\vect{\nu}}(t)$:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{moto-circolare.pdf}%
\end{figure}

L'utilizzo di questo sistema di riferimento locale facilita 
l'analisi di moti vari, poiché è una rappresentazione sempre 
valida essendo dipendente dall'istante di tempo in cui ci 
si trova.

\subsubsection{Moto Curvilineo Vario}
Si può aggiungere al sistema di riferimento $S(\tau(t), \nu(t))$, un altro 
asse, chiamato $\beta$ ortogonale al piano ($\hat{\vect{\beta}}=\hat{\vect{\tau}}(t)\times\hat{\vect{\nu}}(t)$) sulla base di $\tau$ e $\nu$ 
che rappresenta una rotazione in senso antiorario se è diretto 
verso l'alto ($\beta$), orario se è diretto verso il basso ($\beta'$):

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{moto-curvilineo-1.pdf}%
\end{figure}

Nel sistema di riferimento $S(\tau(t),\nu(t),\beta)$, 
si può rappresentare 
la velocità angolare e l'accelerazione angolare come vettori:
\begin{equation}
    \vect{\omega}(t)=\omega(t)\cdot\hat{\vect{\beta}}{,}\:\: \vect{\alpha}(t)=\alpha(t)\cdot\hat{\vect{\beta}}
\end{equation}
Considerando la velocità tangenziale $\vect{v}=r\omega\hat{\vect{\tau}}$, si può esprimere come prodotto vettoriale tra il vettore velocità angolare ed il versore raggio: 
\begin{equation*}
    \vect{v}=r\displaystyle\frac{\df\hat{\vect{r}}}{\df t}=r\vect\omega\times\hat{\vect{r}}=\vect\omega\times\vect{r}
\end{equation*}
In generale la derivata di un versore può essere espressa come il prodotto vettoriale tra il vettore velocità angolare della rotazione del versore per il versore stesso:
\begin{equation}
    \displaystyle\frac{\df\hat{\vect{x}}_i}{\df t}=\vect\omega\times\hat{\vect{x}}_i
\end{equation}
Questa espressione viene chiamata formula di Poisson. 

Considerando una qualsiasi traiettoria tridimensionale $\Gamma$, è utile analizzarla rispetto al sistema di riferimento $S(\tau,\nu,\beta)$ intrinseco, centrato nella 
posizione del punto materiale lungo la traiettoria. Rispetto a questo sistema di riferimento la posizione del punto materiale è sempre nulla, poiché coincide con l'origine 
del sistema $S$. Si considera l'asse $\tau$ sulla retta tangente alla traiettoria nella posizione del punto materiale, e diretta nel verso del moto. L'asse $\nu$ è perpendicolare 
a quest'ultimo, ma per determinare il suo verso bisogna analizzare la traiettoria nell'intorno della posizione del punto materiale. 


Dati tre è sempre definita una e una sola circonferenza passante per quei tre punti. Dato il punto della traiettoria dove si trova il punto materiale, si possono considerare 
altri due punti, prima e dopo la posizione del punto materiale, sempre lungo la traiettoria, per definire una circonferenza. Il moto del punto materiale in quell'intorno della 
traiettoria può quindi essere approssimato ad un moto circolare lungo la circonferenza così ottenuta, ma questa risulta soltanto un'approssimazione. Avvicinando i due punti 
alla posizione del punto materiale, si ottiene un'approssimazione sempre migliore del moto del punto. La circonferenza tenderà ad un valore limite, per i due punti coincidenti 
alla posizione del punto materiale, questa circonferenza così ottenuta è tangente alla traiettoria nella posizione del punto materiale, dove sono presenti anche gli altri due 
punti e viene chiamata circonferenza osculatrice. Il centro di questa circonferenza viene chiamato centro di curvatura, mentre la distanza del centro di curvatura dal punto 
materiale raggio di curvatura $R$. Minore è il raggio di curvatura, maggiore sarà la curvatura della traiettoria in quell'intorno e viceversa. L'asse $\nu$ quindi si trova 
sulla retta passante per il punto materiale ed il centro di curvatura, e punta verso il centro di curvatura della traiettoria. L'asse $\beta$ è ortogonale all'asse formato 
dagli assi $\tau,\,\nu$ e di verso definito dal prodotto vettoriale $\tau\times\nu$. Il verso dell'asse $\beta$ definisce il cambiamento di piano della traiettoria, ovvero 
la rotazione della circonferenza osculatrice. 



In questo sistema di riferimento intrinseco si può esprimere la velocità come un vettore $\vect{v}=v\hat{\vect\tau}$, poiché la velocità è sempre tangente alla traiettoria. Il punto 
materiale effettua una traiettoria circolare nell'intorno della sua posizione, per cui è soggetto ad un'accelerazione centripeta, o normale, alla sua traiettoria, per 
effettuare la curvatura individuata dalla traiettoria. Per determinare la componente normale e tangenziale dell'accelerazione si deriva la velocità rispetto al tempo:
\begin{gather*}
    \vect{a}=\displaystyle\frac{\df\vect{v}}{\df t}=\frac{\df v\hat{\vect\tau}}{\df t}\\
    \displaystyle\frac{\df v}{\df t}\hat{\vect\tau}+v\frac{\df\hat{\vect\tau}}{\df t}
\end{gather*}
Per la formula di Poisson si può esprimere la derivata del versore $\hat{\vect\tau}$ come $\vect{\omega}\times\hat{\vect\tau}$. Poiché nella rappresentazione 
intrinseca il punto materiale non effettua una rotazione, la componente velocità angolare si esprimere rispetto alla velocità tangenziale, ovvero la velocità del punto 
materiale, e del raggio di curvatura $R$: $\omega={v}/{R}$. Per cui esplicitando il modulo si può esprimere l'accelerazione del punto materiale:
\begin{gather}
    \vect{a}=\displaystyle\frac{\df v}{\df t}\hat{\vect\tau}+v\frac{v}{R}\hat{\vect\beta}\times\hat{\vect\tau}=\frac{\df v}{\df t}\hat{\vect\tau}+\frac{v^2}{R}\hat{\vect\nu}
\end{gather}
L'accelerazione del punto materiale presenta una componente tangenziale identificata dal versore $\hat{\vect{\tau}}$, e una componente normale o centripeta identificata dal versore $\hat{\vect{\nu}}$, 
poiché diretta sempre verso il centro di curvatura. Se la componente tangenziale è nulla, il moto è curvilineo uniforme, se è nulla la componente centripeta il moto è 
rettilineo vario, se sono nulle entrambe il moto è rettilineo uniforme, invece se entrambe sono diverse da zero il moto è curvilineo vario. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{moto-curvilineo-2.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Approssimazione della Legge Oraria} 
Una funzione $f(t)$ può essere espressa in un intorno $I_{t_0}(\delta)$ 
di un punto $t_0$ mediante la seria di Taylor: 
\begin{equation}
    f(t)=\sum_{i=0}^{n}\displaystyle f^{(i)}(t_0)\frac{(t-t_0)^{i}}{i!}+O((t-t_0)^{k})
\end{equation}
Viene definita la funzione $\tilde{f}_k$ che approssima la funzione $f$:
\begin{equation}
\tilde{f}_k(t,t_0)=\sum_{i=0}^{k}\displaystyle f^{(i)}(t_0)\frac{(t-t_0)^{i}}{i!}
\end{equation}
e la funzione 
errore $R_k$ che determina l'imprecisione della funzione $\tilde{f}$ 
rispetto alla funzione $f$: 

\begin{equation}
    R_k=\displaystyle\left|f(t)-\tilde{f}_k(t-t_0)\right|=
    f^{(k+1)}(\xi)\frac{(t-t_0)^{k+1}}{(k+1)!}\:\mbox{per}\:
    \xi \in [t, t_0]
\end{equation}

La funzione errore $R_k$ è un infinitesimo di ordine $k$: 
$R_k \leq O((t-t_0)^{k})$.
Date l'accelerazione e la velocità nell'istante di tempo $t_0$ è possibile approssimare la legge oraria della posizione $\vect{r}(t)$, tramite il suo sviluppo di Taylor: 

\begin{gather*}
    \vect{r}(t)=\sum_{i=0}^{2}\displaystyle\vect{r}^{(i)}(t_0)\frac{(t-t_0)^k}{i!}+O((t-t_0)^{3})\\
    \vect{r}(t)=\vect{r}(t_0) + \vect{r}^{(1)}(t_0)(t-t_0)+\vect{r}^{(2)}(t_0)\displaystyle\frac{(t-t_0)^{2}}{2}+O((t-t_0)^{3})\\
    {\vect{r}}(t)=\vect{r}_0+\vect{v}_0(t-t_0)+\vect{a}_0\displaystyle\frac{(t-t_0)^{2}}{2}+R_2\\
    {\vect{r}}(t)\approx\vect{r}_0+\vect{v}_0(t-t_0)+\vect{a}_0\displaystyle\frac{(t-t_0)^{2}}{2}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

In questo modo dati i valori della posizione, della velocità 
e dell'accelerazione nell'istante di tempo $t_0$, è possibile 
approssimare la traiettoria del punto materiale, per un qualsiasi tipo di moto, nell'intorno di $t_0$.

\clearpage

\section{Dinamica del Punto Materiale}
La dinamica è la parte della meccanica che analizza le cause del moto di un corpo, e ne descrive i suoi criteri di equilibrio. I principi della dinamica vennero 
enunciati da Newton. 

\subsection{Leggi di Newton}

\subsubsection{I Principio}
\begin{quotation}
    Un corpo rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo 
    uniforme se la somma delle forze agenti su di esso è nulla:
    \begin{equation}
        \vect{v}:\mathrm{cost.}\iff \sum\vect{F}=\vect{0}
    \end{equation}
\end{quotation}
Viene chiamato Principio di Inerzia il caso dove la velocità 
del corpo sia nulla.
L'intuizione per il I principio viene attribuita a Galileo 
e ai suoi esperimenti sul piano inclinato. Un corpo su un piano 
inclinato sufficientemente liscio se viene lasciato cadere 
avrà una certa velocità che, in seguito a evidenze sperimentali,
gli permette di raggiungere la quota di partenza 
se è presente un altro piano inclinato sufficientemente liscio dopo il primo, indipendentemente dalla pendenza del secondo. 


Perciò se il piano inclinato di arrivo viene abbassato 
progressivamente, la distanza complessiva percorsa dal corpo tenderà ad 
aumentare, fino a diventare infinita per un piano parallelo al 
vettore velocità, poiché non potrà mai raggiungere la quota iniziale. 
Per cui un corpo mantiene la sua velocità iniziale 
in assenza di forze che ne impediscono il moto.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{primo-principio.pdf}%
\end{figure}
    
Newton in seguito definì la grandezza fisica forza, anch'essa un 
vettore: $\vect{F}\left[\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}\cdot{\mathrm{s}^{-2}}\right]=\left[\mathrm{N}\right]$, grandezza che esprime e quantifica l'interazione tra sistemi fisici. Ne descrisse 
la sua relazione con il moto nel secondo principio.

\subsubsection{II Principio}
\begin{quotation}
    La forza agente su un corpo è data dalla prima derivata 
    rispetto al tempo della quantità di moto. 
    \begin{equation}
        \displaystyle\frac{\df\vect{p}}{\df t}=\vect{F}
    \end{equation}
\end{quotation}
Viene definita un'altra grandezza fisica, la quantità di moto 
di un corpo: $\vect{p}$, la variazione di quantità di moto 
viene ricavata dalla seguente equazione:

\begin{equation}
    \Delta\vect{p}=m\Delta\vect{v}
\end{equation}

In seguito ad evidenze sperimentali Newton scoprì un legame 
proporzionale tra la variazione della velocità in un istante di tempo 
ed il modulo della forza agente sul corpo. La costante di proporzionalità 
scoprì essere la massa del corpo, quindi la forza agente 
su un corpo è la derivata rispetto al tempo della quantità di 
moto:

\begin{gather*}
    \displaystyle\frac{\df\vect{v}(t)}{\df t}\propto\vect{F}\\
    \left|\displaystyle\frac{\df\vect{v}(t)}{\df t}\right|=c_0\left|\vect{F}\right|\\
    \frac{1}{c_0} \left|\displaystyle\frac{\df\vect{v}(t)}{\df t}\right|=\left|\vect{F}\right|{,}\:\:\frac{1}{c_0}=m\\
    \displaystyle\frac{\df mv}{\df t}=\frac{\df p}{\df t}=ma=F
\end{gather*}

La costante di proporzionalità $c_0^{-1}$ viene chiamata massa 
inerziale $m$ e quantifica quanto un corpo si oppone al moto ovvero l'inerzia 
del corpo.
\\
Questo legame tra accelerazione e forza agente sul corpo è valido 
anche in campo vettoriale: 
\begin{equation}
    m\vect{a}=\vect{F}
\end{equation}

Il secondo principio può essere espresso anche in forma integrale 
considerando: 
\begin{gather*}
    \vect{F}=\displaystyle\frac{\df\vect{p}}{\df t}\\
    \vect{F}\df t=\df\vect{p}\\
    \displaystyle\int_{t_0}^{t}\vect{F}\df\tau=\int_{p_0}^{p(t)}\df\vect{p}\\
    \vect{J}=\vect{F}\Delta t=\Delta\vect{p}\:[\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}]\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Viene definito il vettore impulso $\vect{J}$ che quantifica la quantità 
di forza che agisce su un corpo in un dato intervallo di tempo. 
Per cui se la forza è nulla, la differenza di quantità di moto deve essere anch'essa nulla; ne deriva il 
principio della conservazione della quantità di moto:
\begin{quotation}
    In assenza di forze applicate, o in caso la loro risultante sia nulla, la quantità di moto rimane costante, ovvero si conserva. 
\end{quotation}

\subsubsection{III Principio}

\begin{quotation}
    Ad ogni azione equivale una reazione uguale e contraria.
\end{quotation}

Questo principio può essere espresso anche considerando la risultante 
delle forze interne ad un sistema. Se non sono presenti 
forze esterne agenti su di esso, le forze rimaste saranno 
tutte uguali e contrarie tra di loro a coppie, quindi la 
forza risultante agente sul sistema sarà nulla:

\begin{quotation}
    La risultante delle forze interne agenti su un sistema è nulla.
\end{quotation}

\begin{equation}
    \vect{F}_{A\to B}=-\vect{F}_{B\to A}
\end{equation}

\subsubsection{Equilibrio}
Se su un corpo agiscono più forze, i contributi delle singole forze sono indipendenti tra di loro, per cui è possibile considerare una sola forza, definita risultante, pari 
alla somma vettoriale di tutte le forze applicate. Un corpo si dice sia in uno stato di equilibrio se la 
risultante è nulla. 

Applicando 
il primo principio della dinamica si individuano due tipi di 
equilibrio:
\begin{itemize}
    \item Equilibrio Statico: Si applica il principio di inerzia, 
    il corpo si trova in uno stato di quiete;
    \item Equilibrio Dinamico: Si applica il primo principio, 
    il corpo si muove di moto rettilineo uniforme.
\end{itemize}

Un corpo in moto circolare uniforme si trova in equilibrio 
dinamico, avendo una velocita costante. Ma avrà un'accelerazione centripeta costante. La risultante delle forze sarà 
comunque nulla poiché sul corpo agirà una forza apparente che 
bilancia la forza centripeta.
 
\subsection{Forze}

Esistono 4 forze fondamentali:
\begin{itemize}
    \item Forza di Gravità;
    \item Forza Elettromagnetica;
    \item Forza Nucleare Forte;
    \item Forza Nucleare Debole.
\end{itemize}
Da queste forze, derivano tutte le forze studiate dalla 
dinamica.\\
Dalla forza di gravità derivano:

\begin{itemize}
    \item Forza Peso;
    \item Reazione Vincolare;
    \item Forza di Attrito;
    \item Tensione;
    \item Forza Elastica.
\end{itemize}

\subsubsection{Forza Peso}

Viene definita la forza peso $\vect{F}_P$ o $\vect{P}$ la forza di attrazione gravitazionale tra un
corpo sulla superficie ed il pianeta dove si trova, approssimato 
come un punto avente la stessa massa del pianeta nel suo centro:

\begin{equation}
    \vect{F}_P=G\displaystyle\frac{M_\mathrm{terra}m}{r_\mathrm{terra}^{2}}\hat{\vect{r}}=\left(G\frac{M_\mathrm{terra}}{r_\mathrm{terra}^{2}}\hat{\vect{r}}\right)m=m\vect{g}
\end{equation}

Viene definito il vettore di accelerazione gravitazionale $\vect{g}$:
\begin{equation}
    \vect{g}=G\displaystyle\frac{M}{r^{2}}\hat{\vect{r}}
\end{equation}
Poiché la massa inerziale è diversa dalla massa gravitazionale 
l'accelerazione di un corpo in caduta libera è indipendente 
dalla massa inerziale del corpo. Su un corpo in caduta libera agirà solamente la forza peso, dipendente dalla massa gravitazionale, per il secondo 
principio, la somma delle forze è uguale alla massa inerziale del corpo moltiplicata alla sua accelerazione, quindi si ottiene: 
\begin{equation*}
    \sum\vect{F}=\vect{F}_P=m_i\vect{a}
\end{equation*}

Per cui si avrà che la forza peso di un corpo sia coincidente alla forza agente su un corpo in caduta libera ad un'accelerazione $\vect{a}$, 
per cui le masse saranno tra di loro direttamente proporzionali rispetto ad una costante di proporzionalità $c_0$:

\begin{equation*}
    m_g\vect{g}=m_i\vect{a}\Rightarrow m_g=c_0m_i
\end{equation*}

Sulla base di evidenze sperimentali si è scoperto che la costante di proporzionalità vale $1$, per cui un corpo allo stato di quiete su cui agisce 
solamente la forza peso, sarà soggetto alla stessa accelerazione di un corpo in caduta libera $\vect{a}=\vect{g}$. Perciò la massa gravitazionale è 
esattamente uguale alla massa inerziale, nonostante rappresentino due fenomeni distinti: la resistenza di un corpo ad uno spostamento e 
l'attrazione gravitazionale tra due corpi.

\subsubsection{Reazione Vincolare}

Se un corpo soggetto all'azione di una forza si trova in stato di quiete rispetto all'ambiente, allora sul corpo deve essere applicata un'altra forza tale da bilanciarla, 
questa forza viene chiamata reazione vincolare $\vect{R}$. 

Nel caso di un corpo poggiato su un piano, corrisponde ad una forza normale ad esso $\vect{N}$. 

\begin{equation}
    \displaystyle\sum\vect{F}=\vect{0}\Rightarrow\vect{F}_P+\vect{N}=\vect{0}\Rightarrow\vect{N}=-\vect{F}_P
\end{equation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{reazione-vincolare.pdf}%
\end{figure}
    
Il tipo di reazione vincolare dipende dal tipo di vincolo imposto al corpo, non è determinabile a priori poiché dipende dalle forze agenti in quel caso specifico sul 
corpo. Se il corpo è poggiato ad un piano, il vincolo rimuove un solo grado di libertà dal corpo per 
cui la reazione vincolare $\vect{R}$ sarà solamente la normale al piano, $\vect{R}=\vect{N}$.  


Se il corpo è vincolato tramite una cerniera allora il vincolo rimuove due gradi di libertà al corpo, impedendogli di traslare, per cui la reazione vincolare sarà data 
dalla somma vettoriale della normale $\vect{N}=\vect{R}_y$ al piano e la forza opposta alla traslazione del corpo $\vect{R}_x$, $\vect{R}=\vect{R}_x+\vect{R}_y$.


Esistono vincoli che rimuovono tre gradi di libertà, ovvero impediscono al corpo di ruotare sull'asse del vincolo, per cui la sua reazione vincolare avrà anche una componente 
torcente. 

\subsubsection{Forza di Attrito Radente}
In base al tipo di vincolo o ambiente dove si trova un corpo, è possibile che sia soggetto a delle forze di attrito. Queste forze, dovute alle forze di coesione tra due 
materiali, si oppongono al moto e sono sempre presenti. Si può analizzare il caso limite dove non sono presenti, considerando una superficie di appoggio liscia, nel resto 
dei casi si considera una superficie scabra.



La forza di attrito statico, o secco, o radente, è una forza 
che agisce su un corpo in quiete, cercando di mantenerlo in 
quiete, quindi si oppone alla forza esterna agente su di esso, 
ed ha direzione uguale alla direzione del moto, ma verso 
opposto. Il suo modulo aumenta fino al raggiungimento di 
un valore massimo, dopo il quale non riesce più a impedire 
il moto.
\\
\`{E} direttamente proporzionale all'inerzia del corpo: $F_\mathrm{atr}\propto F_P$, è uguale all'inerzia del corpo per una certa costante di proporzionalità. Per un valore massimo 
$F_{\max}$ la costante di proporzionalità corrisponde alla costante di attrito statico $\mu_s$. 

\begin{gather*}
    \vect{F}_{\max}\:\mbox{t.c.}\:\sum\vect{F}=\vect{0}\\
    F_{\max}\hat{\vect{x}}+F(-\hat{\vect{x}})=\vect{0}\\
    F_{\max}=\mu_sN=\mu_smg\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

La forza massima che l'attrito statico può resistere è 
di modulo: $F_{\mathrm{atr},\max}=\mu_smg$.

\subsubsection{Forza di Attrito Dinamico}
La forza di attrito dinamico si oppone in verso al moto di un corpo 
in movimento, è di modulo costante pari a: $F_d=\mu_dN$. La 
costatante di attrito dinamico è generalmente minore della 
costante di attrito statico: è necessaria più forza per 
mettere in moto un corpo che per mantenerlo in movimento:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{andamento-attrito.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Piano Inclinato}
Un sistema molto comune che coinvolge la forza di attrito 
è un piano inclinato. Dove un corpo, su cui agisce una forzante 
$\vect{F}$, viene posto su un piano inclinato 
di un angolo $\theta$ e una costante di attrito $\mu_s$ e 
$\mu_d$. Su questo piano il corpo può essere in uno stato di 
equilibrio statico o dinamico: $\sum\vect{F}_i=\vect{0}$.\\
Per analizzare questo sistema viene convenzionalmente scelto 
un sistema di riferimento con un asse parallelo $i$ al piano, 
un altro asse $j$ perpendicolare ad esso ed il centro $O$ 
nella posizione attuale del corpo.
Il sistema sarà descritto dalle seguenti equazioni:

\begin{gather*}
    \sum\vect{F}_i=\vect{0}\\
    \begin{cases}
        \sum\vect{F}_{i,x}=\vect{F}_{P,x}+\vect{F}_{s/d}+\vect{F}_x=\vect{0}\\
        \sum\vect{F}_{i,y}=\vect{F}_{P,y}+\vect{N}+\vect{F}_y=\vect{0}
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        F_P\sin\theta-\mu_{s/d}N+\left|\vect{F}_x\right|=0\\
        -F_P\cos\theta+N+\left|\vect{F}_y\right|=0
    \end{cases}
\end{gather*}

Per una forzante $\vect F=\vect0$, allora la condizione per l'equilibrio statico di un corpo poggiato su un piano scabro inclinato è descritta dalla seguente espressione:
\begin{equation}
    \mu_s\geq\tan\theta
\end{equation}

\begin{figure}[H]%
    \centering 
    \includegraphics{piano-inclinato.pdf}%
\end{figure}

Considerando una curva inclinata, sarà possibile ruotare intorno alla curva solamente utilizzando la forza di attrito statico tra il singolo punto delle ruota 
in contatto con il suolo in ogni istante, si considera la ruota incomprimibile. Se la curva non fosse inclinata, sarebbe possibile attraversarla 
solo con l'attrito se esso bilancia la forza derivante dall'accelerazione centripeta $a_c={v^2/}{r}$ della ruota:
\begin{gather*}
    \sum\vect{F}_x=\vect{0}=\vect{F}_s+\vect{F}\\
    -\mu_smg+m\displaystyle\frac{v^2}{r}=0\\
    v=\sqrt{\mu_sgr}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Considerando una curva inclinata ad una certa angolazione $\alpha$, la ruota attraverserà la curva se vale il primo principio della dinamica:
\begin{gather*}
    \begin{cases}
        \sum\vect{F}_x=\vect{0}=\vect{F}_{P,x}+\vect{F}_s\\
        \sum\vect{F}_y=\vect{0}=\vect{F}_{P,y}+\vect{N}
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        mg\sin\alpha-\mu_smg\cos\alpha=0\\
        N=mg\cos\alpha
    \end{cases}\\
    \mu_s=\tan(\alpha)\\
    \alpha=\arctan(\mu_s)\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
La curva dovrà quindi avere un'angolazione $\alpha=\arctan(\mu_s)$. \\
Se invece fosse applicata una forzante $\vect{F}_y$ sulla ruota durante la rotazione sulla curva si avrà:
\begin{gather*}
    \begin{cases}
        \sum\vect{F}_x=\vect{0}=\vect{F}_{P,x}+\vect{F}_s\\
        \sum\vect{F}_y=\vect{0}=\vect{F}_{P,y}+\vect{N}+\vect{F}_y
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        mg\sin\alpha-\mu_s(mg\cos\alpha+\vect{F}\cdot\hat{\vect{y}})=0\\
        N=mg\cos\alpha+\vect{F}\cdot\hat{\vect{y}}
    \end{cases}\\
    F_y=mg\left(\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\mu_s}-\cos\alpha\right)=F\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Una macchina potrà attraversare una curva inclinata di un angolo $\alpha$, e di costante di attrito statico $\mu_s$, se applicasse ad ognuna delle sue ruote una 
forza di modulo $F$, dove $m$ è la massa della ruota.

\subsubsection{Tensione}
Considerando un filo non estensibile, di massa trascurabile che 
lega un corpo ad un vincolo. Se il corpo lega una massa ad un vincolo, e si trova in stato di quiete, allora la risultante delle forze applicate al filo deve essere 
necessariamente nulla. Se il filo non si estende allora le stesse forze dovranno essere applicate su qualsiasi punto del filo. Considerando l'estremo dove è collegata 
la massa, la sua forza peso $\vect{F}_P$ viene bilanciata da una forza definita tensione $\vect{T}$ di verso opposto. Considerando l'altro estremo collegato al vincolo, poiché 
le forze devono agire su ogni punto del filo, la tensione sarà applicata anche sul vincolo, per essere in quiete è necessaria l'azione di una reazione vincolare normale al piano 
dove è legato il filo $\vect{N}$. Poiché le tensioni interne al filo si bilanciano tra di loro, la forza peso della massa si bilancia con la reazione vincolare del filo, per cui 
il filo si comporta come se trasferisse l'azione di una forza da un'estremo all'altro. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{tensione.pdf}%
\end{figure}

Per dimostrare la proprietà di trasmissione di forze di una fune, si può approssimare 
come molti blocchetti in serie, di masse anch'essi trascurabile. 
Partendo dalla massa all'estremo inferiore, essa è legata ad un 
blocchetto che sarà soggetto alla forza peso della massa e alla 
sua reazione vincolare. Ora considerando la massa ed il primo 
blocchetto come un sistema unico, essendo collegato al blocchetto 
successivo su di esso agiranno la forza peso del sistema massa-blocchetto, uguale alla forza peso della massa, e una reazione 
vincolare derivante dalla forza peso. Continuando questo processo, 
poiché i blocchetti hanno massa trascurabile e non sono deformabili, 
si arriverà all'estremo superiore collegato al vincolo, dove agiranno 
la forza peso del sistema massa-blocchetti, uguale alla forza peso 
della massa, e la sua relativa reazione vincolare.

\subsubsection{Pendolo Semplice}
Un pendolo semplice è un sistema formato da una massa collegata 
ad un filo di lunghezza $l$, che oscilla senza smorzamento da una posizione iniziale, inclinata 
di un angolo $\theta$. Sulla massa agiscono due accelerazioni: 
una centripeta ed una tangenziale al moto: $\vect{a}_\mathrm{tan},\:\vect{a}_\mathrm{cen}$. 
Il sistema, rispetto al sistema di riferimento $S(\tau,\nu)$ 
verrà quindi descritto dall'equazione:

\begin{gather*}
    \sum\vect{F}=m\vect{a}_\mathrm{cen}+m\vect{a}_\mathrm{tan}\\
    \begin{cases}
        \sum\vect{F}_{\nu}=\vect{T}+\vect{F}_{P,\nu}=m\vect{a}_\mathrm{cen}\\
        \sum\vect{F}_{\tau}=\vect{F}_{P,\tau}=m\vect{a}_\mathrm{tan}\\
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        ma_\mathrm{cen}\hat{\vect{\nu}}=T\hat{\vect{\nu}}+F_P\cos(\theta(t))(-\hat{\vect{\nu}})\\
        ma_\mathrm{tan}\hat{\vect{\tau}}=F_P\sin(\theta(t))(-\hat{\vect{\tau}})\\
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        a_\mathrm{cen}=\omega^{2}(t)l=\dot\theta^{2}(t)l\\
        a_\mathrm{tan}=\alpha(t)l=\ddot\theta(t)l\\
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        m\dot\theta(t)^{2}l=T-mg\cos(\theta(t))\\
        m\ddot\theta(t)l=-mg\sin(\theta(t))\\
    \end{cases}
\end{gather*}

Considerando l'equazione sull'asse $\tau$: 
\begin{equation}
    \ddot\theta(t)=-\displaystyle\frac{g}{l}\sin\theta(t)
\end{equation}
Si definisce $\omega_p^{2}=g/l$ la pulsazione del pendolo.
\\
Considerando l'intorno $[0\,\mathrm{rad},\theta(t_0)]$, 
con $\theta(t_0) << 1\,\mathrm{rad}$, 
si può approssimare $\sin\theta(t)$ mediante la sua serie di Taylor: 
$\sin\theta(t) = \theta(t)+O(\theta^{3}(t))\Rightarrow\ddot\theta(t)\approx-\theta(t)\omega_p^{2}$, 
quindi si può approssimare il moto del pendolo ad un moto 
armonico: 
\begin{equation*}
    \begin{cases}
        \theta(t)=A\sin(\varphi+\omega_pt)\\
        \dot\theta(t)=A\omega_p\cos(\varphi+\omega_pt)\\
        \ddot\theta(t)=-A\omega_p^{2}\sin(\varphi+\omega_pt)
    \end{cases}
\end{equation*}
e avrà un periodo:
\begin{equation} 
    T_p =2\pi\omega_p=2\pi\displaystyle\sqrt[]{\frac{g}{l}}
\end{equation}
Si considera $\theta_0$ la posizione iniziale del 
pendolo: 
\begin{equation*}
    \theta_0=\theta(0)=A\sin\varphi
\end{equation*}
Si considera il pendolo in uno stato di quiete nell'istante $t=0$, 
quindi:
\begin{gather*}
    \dot\theta(t=0)=0=\omega_pA\cos\varphi\\
    \varphi=\displaystyle\frac{\pi}{2}\\
    \theta_0=A\sin\frac{\pi}{2}=A\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Date queste condizioni le equazioni del moto del pendolo diventano: 
\begin{equation*}
    \begin{cases}
        \displaystyle\theta(t)=\theta_0\sin\left(\frac{\pi}{2}+\omega_pt\right)=\theta_0\cos(\omega_pt)\\
        \displaystyle\dot\theta(t)=\theta_0\omega_p\cos\left(\frac{\pi}{2}+\omega_pt\right)=-\theta_0\omega_p\sin(\omega_pt)\\
        \displaystyle\ddot\theta(t)=-\theta_0\omega_p^{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}+\omega_pt\right)=-\theta_0\omega_p^{2}\cos(\omega_pt)
    \end{cases}
\end{equation*}

La tensione esercitata sul filo in funzione del tempo sarà per piccole oscillazioni:
\begin{equation}
    T(t)=mg\cos(\theta_0\cos(\omega_pt))+ml\theta_0^2\omega_p^2\sin^2(\omega_pt)
\end{equation}
La tensione è massima nella posizione verticale per $\theta(t)=\theta_0\cos(\omega_pt)=0$ e minima per $\theta(t)=\theta_0\cos(\omega_pt)=\theta_0$.  

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{pendolo-semplice.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Forza Elastica}
Un oggetto che, se deformato, tende a ritornare alla sua posizione 
di riposo risente di una forza elastica $\vect{F}_{\mathrm{el}}$. Un oggetto 
comune che ha questa caratteristica è la molla. Una molla ha 
una posizione di riposo $\vect{r}_0$, quando la molla si sposta 
di $\Delta\vect{r}$, risenta di una forza di verso opposto allo 
spostamento e di modulo proporzionale ad esso: $\vect{F}_{\mathrm{el}}\propto\Delta\vect{r}$. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{molla-1.pdf}%
\end{figure}
    
Per cui esplicitando la costante di proporzionalità $k$, la forza elastica viene espressa tramite la seguente equazione, per molle ideali di massa trascurabile:
\begin{equation}
    \vect{F}_{\mathrm{el}}=-k\Delta\vect{r}
\end{equation}
La costante di proporzionalità $k$ viene chiamata costante 
elastica, si misura in Newton per metro $\left[\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-1}\right]$. 
Si può usare una molla, con una costante elastica $k$ 
nota, per misurare la forza applicata applicata sulla molla, 
in base alla sua deformazione, questo strumento di misura 
viene chiamato dinamometro. Nel caso sia 
presente una massa all'estremo della molla:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{molla-2.pdf}%
\end{figure}

Se la molla si trova in equilibrio stabile nel punto $y=y_1$: $\sum\vect{F}_y=0\hat{\vect{y}}$, 
allora:
\begin{gather*}
    \sum\vect{F}_y=\vect{F}_P+\vect{F}_{\mathrm{el}}=\vect0\\
     F_P(-\hat{\vect{y}})+F_{\mathrm{el}}\hat{\vect{y}}=0\hat{\vect{y}}\\
    m=\displaystyle-\frac{k\Delta y}{g}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Considerando una molla su cui è applicata una forza $\vect{F}$ nell'istante 
di tempo $t=0$, in uno stato di equilibrio stabile: 
$\vect{F}+\vect{F}_{\mathrm{el}}=\vect{0}\Rightarrow F=k\Delta x$. 
Nell'istante subito successivo viene rimossa la forza $\vect{F}$, 
la molla risente della sola forza elastica, e quindi
di un'accelerazione risultante, indirizzata 
verso la posizione di riposo della molla:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{molla-3.pdf}%
\end{figure}

Ne risulterà per il secondo principio della dinamica:
\begin{gather*}
    \vect{F}_{\mathrm{el}}=m\vect{a}\\
    F_{\mathrm{el}}\hat{\vect{x}}=ma\hat{\vect{x}}=-k\Delta  \vect x(t)\hat{\vect{x}}\\
    k(x_0-x(t))=m\ddot x(t)\\
    \ddot x(t)=-\displaystyle\frac{k}{m}x(t)+\frac{k}{m}x_0\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Viene definita la pulsazione della molla $\omega_M^{2}=k/m$, 
si considera l'origine del sistema di riferimento nel punto $x_0$, per cui $x_0=0$:
\begin{equation*}
    \ddot x(t)=-\omega_M(x(t)-\cancelto{0}{x_0})=-\omega_Mx(t)
\end{equation*}

Quindi il moto di una molla è un moto armonico:
\begin{equation*}
    x(t)=A\sin(\varphi + \omega_Mt)
\end{equation*}
Si considera $x_in$ l'ampiezza della molla nell'istante $t=0$:
$x_\mathrm{in}=x'(0)=A\sin\varphi$
Essendo in uno stato di equilibrio nell'istante $t=0$, allora: 
\begin{equation*}
    \dot x(0)=\omega_MA\cos\varphi=0\Rightarrow\varphi=\displaystyle\frac{\pi}{2}\Rightarrow x_\mathrm{in}=A
\end{equation*}
L'equazione del moto della molla è quindi:
\begin{equation}
    x(t)=x_\mathrm{in}\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+\omega_Mt\right)=x_\mathrm{in}\cos(\omega_Mt)
\end{equation}

La molla oscilla con periodo $T=2\pi/\omega_M$, se l'oscillazione non si smorza nel tempo, continuerà ad oscillare tra $-x_\mathrm{in}$ e $x_\mathrm{in}$:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{andamento-molla.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Forza di Attrito Viscoso}
Quando un corpo si muove con una velocità $v(t)$ attraverso 
un fluido, esso risente di una forza di attrito viscoso 
proporzionale alla velocità del corpo che si oppone al 
suo spostamento: $\vect{F}_\mathrm{vis}=-b\vect{v}(t)$. $b$ viene 
chiamata costante di attrito viscoso, si misura in Newton al 
secondo per metro $\left[(\mathrm{N}\cdot \mathrm{s})\cdot{\mathrm{m}}^{-1}\right]$.
\\
Considerando un corpo che si muove dentro un liquido con una velocità iniziale $\vect{v}_0=v_{0}\hat{\vect{y}}$, per cui il corpo risenti di una forza di attrito viscoso $\vect{F}_\mathrm{vis}=-b\vect{v}=-bv\hat{\vect{y}}$. 
Se si muovesse anche in un'altra direzione $x$, il corpo sarebbe soggetto ad un attrito viscoso $\vect{F}_\mathrm{vis}=-b\vect{v}=-bv_x\hat{\vect{x}} -bv_y\hat{\vect{y}}$. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{attrito-viscoso.pdf}%
\end{figure}
\begin{gather*}
    \sum\vect{F}_y=F_P\hat{\vect{y}}+\left|F_\mathrm{vis}\right|(-\hat{\vect{y}})=m\dot v(t)\hat{\vect{y}}=m\vect{a}_y\\
    mg-bv(t)=m\dot v(t)\\
    \df v(t)=\left(g-\displaystyle\frac{b}{m}v(t)\right)\df t\\
    \displaystyle\int_{v_0}^{v(t)}\frac{\df v(\tau)}{g-\displaystyle\frac{b}{m}v(\tau)}=\int_{0}^{t}\df\tau\\
    \displaystyle\frac{b}{m}\left(\ln\left|g-\displaystyle\frac{b}{m} v_0\right|-\ln\left|g-\displaystyle\frac{b}{m} v(t)\right|\right)=t\\
    \displaystyle \ln\left|g-\displaystyle\frac{b}{m}v(t)\right|=\ln\left|g-\displaystyle\frac{b}{m} v_0\right|-t\frac{m}{b}\\
    \left(g-\displaystyle\frac{b}{m} v(t)\right)=\left(g-\frac{b}{m}v_0\right)e^{ -t\frac{m}{b}}\\
    -bv(t)=mge^{ -t\frac{b}{m}}-mg-bv_0e^{ -t\frac{b}{m}}\\
    v(t)=\left(1-e^{\ -t\frac{b}{m}}\right)\displaystyle\frac{m}{b}g+v_0e^{ -t\frac{b}{m}},\:\frac{m}{b}=\tau\\
    v(t)=\tau g\left(1-e^{ -\frac{t}{\tau}}\left(1-\displaystyle\frac{v_0}{\tau g}\right)\right)\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

$\tau$ viene chiamato tempo caratteristico (o costante di tempo) 
quantifica quanto il corpo accelera lentamente dentro al liquido. 

Nell'istante di tempo $t=0$, la velocità del corpo sarà: 
\begin{equation*}
    v(0)=\tau g\left(1-e^{ -\frac{0}{\tau}}\left(1-\displaystyle\frac{v_0}{\tau g}\right)\right)=v_0
\end{equation*} 
Mentre avrà un valore limite $v_{\lim}$ tale che:
\begin{gather*}
    \sum\vect{F}_y=\vect{0}\\
     mg\hat{\vect{y}}-b(v_{\lim}-v_0)\hat{\vect{y}}=0\hat{\vect{y}}\\
    v_{\lim}=\tau g +v_0\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{andamento-viscoso.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Oscillatore Armonico}
Un oscillatore armonico è un oggetto composto da una molla e 
da una massa ad essa collegata. La massa si muove di moto 
oscillatorio semplice: 
\begin{equation*}
    x(t)=x_\mathrm{in}\sin\left(\omega_Mt+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)
\end{equation*}
Oscilla con una frequenza $\nu_M=\omega_M/2\pi$. 
Si scegli un sistema di riferimento dove la posizione di riposo 
della molla coincide con l'origine degli assi.
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{oscillatore-armonico}%
\end{figure}

\subsubsection{Moto Oscillatorio con Attrito Viscoso}
Se la massa attaccata al corpo è soggetta ad un attrito viscoso 
allora: 
\begin{gather*}
    \sum\vect{F}_x=m\vect{a}_x\\
    \vect{F}_{\mathrm{el}}+\vect{F}_\mathrm{vis}=m\vect{a}_x\\
    -kx(t)-b\dot x(t)=m\ddot x(t)\\
    \ddot x(t) +\displaystyle\frac{b}{m}\dot x(t) +\frac{k}{m}x(t)=0\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
L'equazione del moto del corpo è un'equazione differenziale 
di secondo ordine e primo grado, la soluzione di questo tipo 
di equazione si trova considerando: 
\begin{gather*}
    \ddot y + a \dot y+y=0\\
    \lambda^{2}+a\lambda+b=0\\
    \begin{cases}
        \displaystyle y(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}&A,B\in\mathbb{R}\:\:\:\Delta > 0\\
        \displaystyle y(t)=Ae^{\lambda t}+Bte^{\lambda t}&A,B\in\mathbb{R}\:\:\:\Delta = 0\\
        \displaystyle y(t)=Ce^{(\Re(\lambda_1)+i\Im(\lambda_1))t} + De^{(\Re(\lambda_2)+i\Im(\lambda_2))t}&C,D\in\mathbb{C}\:\:\:\Delta < 0
    \end{cases}
\end{gather*} 

$b/2m$ viene chiamato tempo caratteristico 
$\gamma$ e ${k}/{m}$ 
la pulsazione della molla $\omega_M^{2}$:
\begin{equation}
    \ddot x(t)+2\gamma\dot x(t)+\omega_M^{2}x(t)=0
\end{equation}
Se il polinomio caratteristico ha due soluzioni complesse, 
la massa tende al punto di riposo, oscillando. Se ha 
due soluzioni reali, la massa tende alla posizione di riposo 
senza oscillare.\\
Se è rispettata la seguente espressione:
\begin{equation*}
    \Delta=1-\displaystyle\frac{\omega_M^{2}}{\gamma^{2}} <0\Rightarrow \gamma^{2} < \omega_M^{2}
\end{equation*}
Allora la massa oscilla fino alla posizione di riposo, le due 
soluzioni del polinomio caratteristico sono:
\begin{gather*}
    \lambda_{1,2}=-\gamma\pm\gamma\sqrt{1-\displaystyle\frac{\omega_M^{2}}{\gamma^{2}}}=-\gamma\pm i\Omega
\end{gather*}
La soluzione dell'equazione differenziale è quindi:
\begin{gather*}
    \displaystyle x(t)=C_1e^{\left(-\gamma+ i\Omega\right)t}+C_2e^{\left(-\gamma- i\Omega\right)t}\\
    x(t)=e^{-\gamma t}\left(C_1e^{i\Omega t}+C_2e^{-i\Omega t}\right)
\end{gather*}
Poiché $C_1,C_2\in\mathbb{C}$, mentre la posizione $x(t)$ è una funzione $x:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$:
\begin{gather*}
    x(t)\in\mathbb{R}\Rightarrow \Im(x(t))=0\\
    \Im\left(e^{-\gamma t}(C_1\cos(\Omega t)+iC_1\sin(\Omega t)+C_2\cos(\Omega t)-iC_2\sin(\Omega t))\right)=0\\
    \begin{cases}
        \Im((C_1+C_2)\cos(\Omega t))=0\\
        \Re(i(C_1-C_2)\sin(\Omega t))=0
    \end{cases}\\ 
    \begin{cases}
        \Im(C_1+C_2)=0\Rightarrow \Im(C_1)=-\Im(C_2)\\
        \Re(C_1-C_2)=0\Rightarrow \Re(C_1)=\Re(C_2)
    \end{cases}\\ 
    C_1=C_2^{*}=Ae^{i\varphi}
\end{gather*}
Allora l'equazione del moto è:
\begin{gather*}
    x(t)=e^{-\gamma t}(C_1e^{i\Omega t}+C_1^*e^{-i\Omega t})\\
    x(t)=2Ae^{-\gamma t}\left(\displaystyle\frac{e^{i(\Omega t+\varphi)}+e^{-i(\Omega t+\varphi)}}{2}\right)\\
    x(t)=2Ae^{-\gamma t}\cos\left(\Omega t +\varphi\right)\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Se consideriamo la massa in uno stato di quiete nell'istante 
di tempo $t=0$ allora:
\begin{gather*}
    x(0)=x_\mathrm{in}=2A\cos(\varphi)\\
    \dot x(0)=-2A\Omega \sin(\varphi)=0\\
    \varphi=0\\
    x_\mathrm{in}=2A\cos(0)=2A\\
    A=\displaystyle\frac{x_\mathrm{in}}{2}
\end{gather*}
La legge oraria del moto, con un'oscillazione di 
semiperiodo $T={2\pi}/{\Omega}$, è: 
\begin{equation}
    x(t)=x_\mathrm{in}e^{-\gamma t}\cos(\Omega t)
\end{equation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{oscillatorio-1.pdf}%
\end{figure}

Se $\gamma^{2}<\omega_M^{2}$, allora l'oscillazione è fortemente 
smorzata e la legge oraria della posizione è:
\begin{equation*}
    x(t)=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}
\end{equation*}
Considerando la massa in quiete nell'istante di tempo $t=0$: 
\begin{gather*}
    x_\mathrm{in}=x(0)=A+B\\
    \dot x(0)=A\lambda_1+B\lambda_2=0=-\gamma(A+B)+\sqrt{\Delta}(A-B)\\
    \displaystyle\frac{\gamma}{\sqrt{\Delta}}x_\mathrm{in}+B=A\\
    B=\displaystyle\frac{1}{2}x_\mathrm{in}\left(1-\displaystyle\frac{\gamma}{\sqrt{\Delta}}\right)\\
    A=\displaystyle\frac{1}{2}x_\mathrm{in}\left(1+\displaystyle\frac{\gamma}{\sqrt{\Delta}}\right)
\end{gather*}
La legge oraria è quindi:
\begin{equation}
    x(t)=\displaystyle\frac{1}{2}x_\mathrm{in}\left(1+\displaystyle\frac{\gamma}{\sqrt{\Delta}}\right)e^{\lambda_1t}+\displaystyle\frac{1}{2}x_\mathrm{in}\left(1-\displaystyle\frac{\gamma}{\sqrt{\Delta}}\right)e^{\lambda_2t}
\end{equation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{oscillatorio-2.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Moto Oscillatorio con Attrito Viscoso ed una Forzante}
Se viene applicata una forzante $F(t)=\displaystyle\frac{F_0}{m}\sin(\omega_f t)$ 
al corpo, il moto è descritto da: 
\begin{equation}
    \ddot x(t)+2\gamma\dot x(t)+\omega_M^{2}x(t)=\displaystyle\frac{F_0}{m}\sin(\omega_f t)
\end{equation}
La soluzione particolare $x_p(t)$ dell'equazione si ottiene considerando:
\begin{gather*}
    \begin{cases}
        x_p(t)=A\sin(\omega_f t+\varphi)\\
        \dot x_p(t)=A\omega_f\cos(\omega_f t+\varphi)\\
        \ddot x_p(t)=-A\omega_f^{2}\sin(\omega_f t+\varphi)
    \end{cases}\\
    -A\omega_f^{2}\sin(\omega_f t+\varphi)+
    2A\omega_f\gamma \cos(\omega_f t+\varphi)+
    A\omega_M^{2}\sin(\omega_f t+\varphi)=\displaystyle\frac{F_0}{m}\sin(\omega_f t)
\end{gather*}
Espandendo la somma dei coseni e seni si ottiene: 
\begin{gather*}
    -A\omega_f^{2}(\sin(\omega_f t)\cos\varphi+\sin\varphi \cos(\omega_f t))+
    2A\omega_f\gamma(\cos(\omega t)\cos\varphi-\sin(\omega t)\sin\varphi)+\\
    A\omega_M^{2}(\sin(\omega_f t)\cos\varphi+\sin\varphi \cos(\omega_f t))=\displaystyle\frac{F_0}{m}\sin(\omega_f t)\\
    \begin{cases}
        \sin(\omega_f t)((\omega_M^{2}-\omega_f^{2})A\cos\varphi-2A\omega_f\gamma \sin\varphi)=\displaystyle\frac{F_0}{m}\sin(\omega_f t)\\
        \cos(\omega_f t)((\omega_M^{2}-\omega_f^{2})A\sin\varphi+2A\omega_f\gamma \cos\varphi)=0
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        (\omega_M^{2}-\omega_f^{2})A\cos\varphi-2A\omega_f\gamma \sin\varphi=\displaystyle\frac{F_0}{m}\\
        (\omega_M^{2}-\omega_f^{2})A\sin\varphi+2A\omega_f\gamma \cos\varphi=0\Rightarrow\displaystyle \tan\varphi=-\frac{2\omega_f\gamma}{(\omega_M^{2}-\omega_f^{2})}
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        \displaystyle A\frac{\omega_M^{2}-\omega_f^{2}}{\sqrt{1+\left(-\frac{2\omega_f\gamma}{(\omega_M^{2}-\omega_f^{2})}\right)^{2}}}-2A\omega_f\gamma\sqrt{1-\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{2\omega_f\gamma}{(\omega_M^{2}-\omega_f^{2})}\right)^{2}}}\right)^{2}}=\frac{F_0}{m}\\
        \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{2\omega_f\gamma}{(\omega_M^{2}-\omega_f^{2})}\right)^{2}}}=\cos\varphi
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        A\left(\displaystyle\frac{(\omega_M^{2}-\omega_f^{2})^{2}+4\omega_f^{2}\gamma^{2}}{\sqrt{(\omega_M^{2}-\omega_f^{2})^{2}+4\omega_f^{2}\gamma^{2}}}\right)=A\sqrt{(\omega_M^{2}-\omega_f^{2})^{2}+4\omega_f^{2}\gamma^{2}}=\displaystyle\frac{F_0}{m} \\
        \tan\varphi=-\displaystyle\frac{2\omega_f\gamma}{(\omega_M^{2}-\omega_f^{2})}
    \end{cases}\\
    A(\omega_f)=\frac{F_0}{m}\frac{1}{\sqrt{(\omega_M^{2}-\omega_f^{2})^{2}+4\omega_f^{2}\gamma^{2}}}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
L'ampiezza della soluzione particolare $x_p(t)$ dipenderà 
dalla pulsazione della forzante, della molla e dal tempo 
caratteristico: $x_p(t)=A(\omega_f)\sin(\omega_f t+\varphi)$. 
\\
Se i valori della costante di tempo $\gamma\approx0$ allora 
l'ampiezza in funzione della pulsazione della forzante diventa:
\begin{equation}
    A(\omega_f)\approx\displaystyle\frac{F_0}{m}\frac{1}{\omega_M^{2}-\omega_f^{2}}
\end{equation}
Quando la forza agente sul corpo ha una pulsazione 
$\omega_f\in I_{\omega_M}(\delta)$ allora l'ampiezza tende 
ad aumentare all'infinito: si verifica il fenomeno della 
risonanza. Per valori di $\gamma$ vicini allo zero, è presente 
il fenomeno di risonanza, ma con ampiezza minore:

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{risonanza.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Moti Relativi e Forze Apparenti}
Le leggi fisiche non dipendono dal sistema di riferimento, mentre le espressioni matematiche dipendono dal sistema di coordinate scelto per l'analisi. 
Considerando un altro sistema di riferimento, cambierà l'espressione in coordinate del comportamento di un corpo interno al sistema.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{relativi-1.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Sistemi Inerziali}
Per il primo principio della dinamica è impossibile poter 
determinare sperimentalmente se il sistema di riferimento dove 
avviene la misura sia in quiete o in moto rettilineo uniforme 
rispetto ad un osservatore esterno. 


Questo tipo di sistema di riferimento viene definito 
inerziale, per cui ogni altro sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema inerziale, è anch'esso un sistema di riferimento inerziale. 
In un sistema di riferimento inerziale vale rigorosamente la legge d'inerzia, ovvero un punto materiale, non soggetto a forze, rimane in moto rettilineo uniforme, oppure, 
se è in quiete, rimane in quiete. 



Per attuare un 
cambiamento di coordinate da un sistema ad un altro si 
considera la distanza tra le due origini 
$\vect{R}=\left|\overline{OO'}\right|\hat{\vect{R}}$, e la velocità del 
sistema $S'$ rispetto ad $S$ $\vect{V}$:
\begin{equation}
    \begin{cases}
        \vect{r}=\vect{r}'+\vect{R}\\
        \vect{v}=\displaystyle\frac{\df\vect{r}\strut }{\df t\strut }=\frac{\df\vect{r}\strut }{\df t\strut }+\frac{\df\vect{R}\strut }{\df t\strut }=\vect{v}'+\vect{V}\\
        \vect{a}=\displaystyle\frac{\df\vect{v}\strut }{\df t\strut }=\frac{\df\vect{v}'\strut }{\df t\strut }+\frac{\df\vect{V}\strut }{\df t\strut }=\vect{a}'+\vect{0}=\vect{a}'
    \end{cases}
\end{equation}
Questo tipo di trasformazioni, tra sistemi di riferimento inerziali, vengono definite trasformazioni galileiane. 



Anche i versori delle componenti vettoriali potrebbero variare nel 
tempo a causa del moto del sistema $S'$ rispetto a $S$. In quel 
caso sarà presente un'accelerazione $A$ del sistema $S'$ a 
causa del cambio di direzione della velocità, causato dal cambio 
di direzione dei vettori componenti. 


Considerando il sistema 
inerziale $S'$, non avendo un'accelerazione relativa a $S$ 
allora anche la forza risultante agente su un corpo, descritta 
in entrambi i sistemi di riferimento sarà uguale. Per cui per ogni sistema di riferimento inerziale, agiranno le stesse forze, espressioni delle stesse interazioni fisiche. 
Essendo presenti le stesse forze in ogni sistema di riferimento inerziale non è possibile determinare se un sistema inerziale si muova 
di moto rettilineo uniforme o si trovi in uno stato di quiete. Questo concetto viene descritto con il termine relatività galileiana. 
\begin{equation}
    \vect{F}_\mathrm{tot}=\vect{F}'_\mathrm{tot}
\end{equation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{inerziali-1.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Sistemi non Inerziali}
Se un sistema si muove di moto rettilineo non uniforme, 
rispetto ad un altro, allora i due sistemi non sono inerziali tra di loro. 
$S'$ avrà un'accelerazione $\vect A$ relativa al sistema $S$, 
le espressioni per il cambio di coordinate saranno:
\begin{gather}
    \begin{cases}
        \vect{r}=\vect{r}'+\vect{R}\\
        \vect{v}=\vect{v}'+\vect{V}\\
        \vect{a}=\vect{a}'+\vect{A}
    \end{cases}
\end{gather}
Poiché cambia l'accelerazione del corpo, cambierà anche 
la sua forza risultante. Le forze misurate 
nei sistemi di riferimento inerziali vengono chiamate forze vere, poiché possono essere calcolate sulla base delle interazioni fondamentali. In un sistema di riferimento non 
inerziale il valore della forza misurato differisce dal valore calcolato sulla base delle interazioni fondamentali, per cui si devono considerare altre forze per ritornare 
alla rappresentazione del secondo principio. Queste forze apparenti sono interamente dovute alla scelta del sistema di riferimento, possono essere calcolate esprimendo 
l'accelerazione, misurata nel sistema inerziale, nel sistema non inerziale:  
\begin{gather*}
    m\vect{a}=m(\vect{a}+\vect{A})\\
    m\vect{a}'=m\vect{a}-m\vect{A}\\
    \vect{F}'_\mathrm{tot}=\vect{F}_\mathrm{tot}-m\vect{A}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
$m\vect{A}$ rappresenta questa forza apparente. Queste forze presenti solo nei sistemi di riferimento non inerziali vengono definite forze di inerzia, non dipendono 
da interazioni fondamentali.  

\subsubsection{Sistemi non Inerziali con Rotazione e Trascinamento}
Se il sistema $S'$ non inerziale ruota intorno intorno al centro del 
sistema $S$ con velocità angolare $\vect{\omega}$, allora anche i versori 
cambieranno rispetto al tempo:

\begin{gather*}
    \vect{r}=\vect{r}'+\vect{R}=r'\hat{\vect{r}}'+\vect{R}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}\\
    \vect{v}=\displaystyle\frac{dr'}{\df t}\hat{\vect{r}}'+r'\frac{\df\hat{\vect{r}}'}{\df t}+\frac{\df\vect{R}}{\df t}\\
    v'\hat{\vect{r}}'+r'\vect{\omega}\times\hat{\vect{r}}+\vect{V}
\end{gather*}
Per la formula di Poisson si calcola la derivata temporale del versore $\hat{\vect{r}}$. 
Come in un moto circolare presenta una velocità tangenziale $\vect{\omega}\times\vect{r}'$, ma a differenza di un moto circolare dove il raggio è costante, presenta anche una 
velocità perpendicolare $v\hat{\vect{r}}'$ dovuta all'avvicinamento o allontanamento tra i due sistema di riferimento. 
\begin{gather*}
    \vect{v}'+\vect{\omega}\times\vect{r}'+\vect{V}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}\\
    \vect{a}=\displaystyle\frac{\df\vect{v}}{\df t}=\frac{\df\vect{v}'}{\df t}+\frac{\df(\vect{\omega}\times\vect{r}')}{\df t}+\frac{\df\vect{V}}{\df t}\\
    \vect{a}'+\vect{\omega}\times\vect{v}'+\displaystyle\frac{\df\vect{\omega}}{\df t}\times\vect{r}'+\vect{\omega}\times\frac{\df\vect{r}'}{\df t}+\vect{A}\\
    \vect{a}'+\vect{\omega}\times\vect{v}'+\vect{\alpha}\times\vect{r}'+\vect{\omega}\times(\vect{v}'+\vect{\omega}\times\vect{v}')+\vect{A}\\
    \vect{a}'+2\vect{\omega}\times\vect{v}'+\vect{\alpha}\times\vect{r}'+\vect{\omega}\times(\vect{\omega}\times\vect{r}')+\vect{A}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Viene definita l'accelerazione di trascinamento dovuta al moto 
circolare e di traslazione di $S'$ intorno al centro $O$ e ad alla posizione del corpo nel sistema $S'$: 

\begin{equation}
    \vect{a}_\mathrm{tr}=\vect{A}+\vect{\alpha}\times\vect{r}'+\vect{\omega}\times(\vect{\omega}\times\vect{r}')
\end{equation}

Dove $\vect{\omega}\times(\vect{\omega}\times\vect{r}')$ viene 
definita accelerazione centrifuga.
Viene definita accelerazione di Coriolis dovuta al moto del 
corpo nel sistema $S'$, e alla rotazione del sistema $S'$ rispetto a $S$:

\begin{equation}
    \vect{a}_C=2\vect{\omega}\times\vect{v}'
\end{equation}

In generale il moto di un corpo in $S'$ analizzato rispetto al sistema 
di riferimento $S$ sarà dato da:

\begin{equation}
    \begin{cases}
        \vect{r}=\vect{r}'+\vect{R}\\
        \vect{v}=\vect{v}'+\vect{\omega}\times\vect{r}'+\vect{V}\\
        \vect{a}=\vect{a}'+\vect{a}_\mathrm{tr}+\vect{a}_C
    \end{cases}
\end{equation}
    
Se il corpo è soggetto ad una forza $\vect{F}_\mathrm{tot}$ nel 
sistema $S$, allora in $S'$ sarà soggetto ad una forza: 

\begin{equation}
    \vect{F}'_\mathrm{tot}=m(\vect{a}-\vect{a}_\mathrm{tr}-\vect{a}_C)=\vect{F}_\mathrm{tot}-\vect{F}_\mathrm{tr}-\vect{F}_C
\end{equation}



Se il sistema $S'$ si muove di solo moto rotatorio attorno al sistema inerziale $S$:
\begin{equation}
    \begin{cases}
        \vect{r}=\vect{r}'+\vect{R}\\
        \vect{v}=\vect{v}'+\vect{\omega}\times\vect{r}'\\
        \vect{a}=\vect{\alpha}\times\vect{r}'+\vect{\omega}\times(\vect{\omega}\times\vect{r}')+2\vect{\omega}\times\vect{v}'
    \end{cases}
\end{equation}
Se ruota con una velocità angolare $\vect{\omega}$ costante, allora la componente $\vect{\alpha}\times\vect{r}'$ sarà nulla. 
Il sistema $S'$ si può muovere di moto di trascinamento o rotatorio  o rototraslatorio rispetto al sistema $S$. \`{E} inerziale solo se si muove di moto trascinamento rettilineo uniforme, in 
tutti gli altri casi il sistema $S'$ non è inerziale. 

\subsection{Energia}

\subsubsection{Lavoro}
Il lavoro è una grandezza fisica, misurata in Joule $\left[\mathrm{J}\right]$, che quantifica la forza $\vect{F}$
necessaria per compiere un certo spostamento $\Delta s$: 

\begin{equation}
    W=\vect{F}\cdot\Delta\vect{s}=F\Delta s\cos\theta\:\left[\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}\right]=\left[\mathrm{J}\right]
\end{equation}

Il lavoro lega diversi stati in cui si puoi trovare il corpo, 
indipendentemente dal tempo. Il lavoro dipende 
dalla solo componente della forza parallela allo spostamento. 
Se la forza è concorde allo spostamento $\theta<{\pi}/{2}$, il punto materiale su cui è applicata la forza accelera, il lavoro generato risulta positivo e viene chiamato lavoro motore. Se la 
forza applicata è discorde allo spostamento $\theta>{\pi}/{2}$, il punto decelera, il lavoro generato risulta negativo e viene chiamato lavoro resistente. 
Se la forza applicata è perpendicolare allo spostamento, la velocità del punto rimane costante, genera un'accelerazione centripeta ed il lavoro risulta nullo. 



Se lo spostamento è una traiettoria curva, si considera la 
traiettoria divisa in segmenti $\Delta s$, su cui si 
applica la forza $\vect{F}$. Il lavoro totale sarà allora dato 
dalla somma di tutti i lavori su ogni segmento della 
traiettoria. Se il numero di segmenti tende all'infinito $n\to\infty$ 
allora i segmenti diventeranno di lunghezza infinitesima, e la 
sommatoria diventa un integrale lungo la traiettoria $\Gamma$:

\begin{gather*}
    \displaystyle W_{A\to B}\approx\sum_{i=0}^{n}\vect{F}\cdot\Delta\vect{s}_i\\
    W_{A\to B}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\vect{F}\cdot\hat{\vect{s}}_i{\Delta s_i}=\int_{A}^{B}\vect{F}\cdot\hat{\vect{s}}\df s=\int_{A}^{B}F_s\df s\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Dove $F_s$ è il modulo della componente della forza parallela 
all'asse curvilineo $s$, coincidente alla traiettoria $\Gamma$ 
del corpo nello spostamento dal punto $A$ al punto $B$.
Considerando lo spostamento come variazione di posizione 
del corpo lungo l'intera traiettoria:

\begin{equation}
    \displaystyle W_{\Gamma}=\int_{\Gamma}\vect{F}\cdot \df\vect{r}
\end{equation}
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{lavoro-1.pdf}%
\end{figure}

Il lavoro totale può compensarsi lungo l'intera 
traiettoria:
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{lavoro-2.pdf}%
\end{figure}


Il lavora complessivo sarà dato dalla somma dei lavori sulle due traiettorie $A\to B$ e $B\to C$: $W_{A\to C}=W_{A\to B}+W_{B\to C}$. 


Se la forza $\vect{F}$ agente sul corpo è conservativa, allora il lavoro 
da $A$ a $B$ sarà uguale e contrario del lavoro da $B$ a $C$, 
quindi il lavoro complessivo sarà nullo.
\\
Se agiscono più forze sul corpo, il lavoro sarà dato dal 
lavoro della risultante, quindi dalla risultante dei lavori:
\begin{equation}
    W_{\Gamma}=\displaystyle\int_{\Gamma}\vect{F}_\mathrm{tot}\df\vect{r}=\sum_{i=1}^{n}\int_{\Gamma}\vect{F}_i\df\vect{r}=\sum_{i=1}^{n}W_i
\end{equation}

Dato un sistema di riferimento $\df\vect{r}=\hat{\vect{s}}\df s$, si potrà 
scomporre la forza agente sul corpo come: $\vect{F}=F_{\parallel}\hat{\vect{s}}+F_{\perp}\hat{\vect{s}}_{\perp}$ 
il lavoro risultante sarà quindi: 
\begin{equation}
    W=\int_{s_A}^{s_B}\vect{F}\df\vect{r}=\int_{s_A}^{s_B}F_{\parallel}\hat{\vect{s}}\cdot\hat{\vect{s}}+F_{\perp}\cancelto{0}{\hat{\vect{s}}_{\perp}\cdot\hat{\vect{s}}}\df s=\int_{s_A}^{s_B}F_{\parallel}\df s
\end{equation}

\subsubsection{Forze Conservative}

Considerando un corpo di massa $m$ che cade, esso sarà soggetto 
ad una forza peso $\vect{F}_P=mg(-\hat{\vect{z}})$, che causa uno spostamento 
lungo l'asse $z$, il suo lavoro sarà:
\begin{gather*}
    W_{A\to B}=\displaystyle\int_{\vect{r}_A}^{\vect{z}_B}\vect{F}_P\cdot \df\vect{r}\\
    \displaystyle\int_{z_A}^{z_B}mg(-\hat{\vect{z}})(\df x\hat{\vect{x}}+\df y\hat{\vect{y}}+\df z\hat{\vect{z}})\\
    \displaystyle-\int_{z_A}^{z_B}mg \df z=-mg\Delta z\\
    W_{A\to B}=-mg\Delta z\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Se la variazione di quota è negativa, allora il corpo 
scende e la forza peso avrà un lavoro positivo, mentre 
se la variazione di quota è positiva il corpo sale e avrà 
lavoro negativo.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{conservative-1.pdf}%
\end{figure}


Considerando un oscillatore armonico armonico senza attrito, la massa 
sarà soggetta ad una forza elastica $\vect{F}_{\mathrm{el}}$ che causerà uno 
spostamento lungo l'asse $x$, con un certo lavoro.
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{conservative-2.pdf}%
\end{figure}
Il lavoro dello spostamento $x_A\to x_C$ è nullo, poiché la molla 
ritorna alla stessa posizione iniziale.  
Il lavoro $W_{A\to B}$ sarà:
\begin{equation}
    W_{A\to B}=\displaystyle\int_{x_A}^{x_B}\vect{F}_{\mathrm{el}}\cdot\hat{\vect{x}}\df x=\int_{x_A}^{x_B}-kx \df x=-k\frac{\Delta( x^{2})}{2}
\end{equation}

La forza peso e la forza elastica sono due forze conservative, in 
generale una forza conservativa è una forza, che produce un lavoro 
indipendente dal percorso effettuato, dipende solo dalla differenza degli stati iniziali 
e finali del corpo. Per cui si può esprimere il lavoro come la differenza di una funzione di stato $-U(\vect{r})$, primitiva della funzione $\vect{F}(\vect{r})$, 
chiamata energia potenziale. Il lavoro generato da una qualsiasi forza conservativa lungo 
la traiettoria $\Gamma$ dal punto $A$ al punto $B$ sarà quindi dato da: 
\begin{equation}
    W_{A\to B}=\displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\vect{F}\cdot \df\vect{r}=-\left(U_B-U_A\right)=-\Delta U_{AB}
\end{equation}

Se una forza è conservativa il lavoro sarà dato da una differenza di due stati, per cui la componente $\vect{F}\cdot \df\vect{r}$ rappresenterà un differenziale esatto $\df W$, per 
cui si avrà: 
\begin{equation}
    W_{A\to B}=\displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\vect{F}\cdot  \df\vect{r}=\int_{\Gamma_{AB}}\df W=-\Delta U_{AB}
\end{equation}

Se la forza non è conservativa allora il componente $\vect{F}\cdot \df\vect{r}$ rappresenterà un differenziale inesatto $\delta W$, poiché l'integrale dipenderà dal percorso 
e non dalla differenza di due stati. 
\\
Una forza è conservativa se il lavoro compiuto non dipende dal percorso compiuto dallo spostamento, se indipendentemente dal percorso il lavoro complessivo per compiere uno 
spostamento complessivo nullo $A\to B\to A$ è nullo, se il lavoro può essere espresso come una differenza di energia potenziale oppure se il differenziale $\delta W$ rappresenta un 
differenziale esatto. 
Una forza è conservativa se:
\begin{align*}
    (i)\:& W_{AB} \mbox{ non dipende da }\Gamma_{AB};\\
    (ii)\:&W_{ABA}=0;\\
    (iii)\:& W_{AB}=-\Delta U_{AB};\\
    (iv)\:& \delta W =-\df U.
\end{align*}
Se la forza è conservativa allora:
\begin{gather*}
    (i),(iii)\:W_{AB}=\displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\vect{F}\cdot \df\vect{r}\\
    \df\vect{r}=\hat{\vect{s}}\df s\\
    W_{AB}=\int_{s_A}^{s_B}\vect{F}\cdot\hat{\vect{s}}\df s=\int_{s_A}^{s_B}F \df s=-\Delta U_{AB} \\
    (ii)\:W_{\Gamma_{AB}}=\displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\vect{F}\cdot \df\vect{r}=\int_{s_A}^{s_B}\vect{F}\cdot\hat{\vect{s}}\df s=-\int_{s_B}^{s_A}\vect{F}\cdot\hat{\vect{s}}\df s=-W_{\Gamma_{BA}}\\
    W_{\Gamma_{ABA}}=W_{\Gamma_{AB}}+W_{\Gamma_{BA}}=-W_{\Gamma_{BA}}+W_{\Gamma_{BA}}=0
\end{gather*}

In generale il lavoro generato da una qualsiasi forza conservativa lungo un qualsiasi percorso $\Gamma: A\to A $ chiuso è nullo:
\begin{equation*}
    \oint_{\Gamma}\vect{F}\cdot \df\vect{r}=0
\end{equation*}

\subsubsection{Forze non Conservative}
La forza di attrito è una forza non conservativa, poiché dipende 
dal percorso del punto, il suo lavoro generato sarà:
\begin{equation}
    W_{A\to B}=\displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\vect{F}_\mathrm{att}\df\vect{r}=\int_{s_A}^{s_B}-\mu mg \df s=-\mu g\int_{s_A}^{s_B}\df s=-\mu g\mathscr{L}(\Gamma_{AB})
\end{equation}
Dove $\mathscr{L}$ rappresenta la lunghezza dello spostamento effettuato dal punto lungo la traiettoria effettiva. In generale una forza non conservativa dipenderà dalla distanza percorsa dal corpo 
su cui agisce la forza. 

\subsubsection{Potenza}
Il lavoro non considera l'intervallo di tempo in cui viene effettuato 
lo spostamento, per cui viene definita la grandezza fisica potenza media 
che quantifica la quantità di lavoro scambiata in un intervallo 
di tempo $\Delta t$, viene misurata in Watt $[\mathrm{W}]$ corrispondenti a Joule per secondi: 
\begin{equation*}
    \mathscr{P}_{m}=\displaystyle\frac{\Delta W}{\Delta t}\:\:\left[\mathrm{J}\cdot\mathrm{s}^{-1}\right]=[\mathrm{W}]
\end{equation*}
Se viene considerato un intervallo di tempo infinitesimo $\df t$, allora 
si considera la potenza istantanea:
\begin{equation}
    \mathscr{P}=\displaystyle\frac{\delta W}{\df t}=\frac{\vect{F}\cdot \df\vect{r}}{\df t}=\vect{F}\cdot\vect{v}
\end{equation}
Esprime la rapidità in cui viene svolto il lavoro. A parità di lavoro, ha maggiore potenza ciò che lo eroga in minor tempo.  


L'energia può essere espressa anche come kiloWatt-ora kWh. Un kWh rappresenta l'energia necessaria per fornire una potenza di un kiloWatt per un ora. Può essere 
convertita in Joule considerando:
\begin{equation*}
    1\,\mathrm{kWh}=10^3\mathrm{W}\cdot3,6\times10^3\mathrm{s}=3,6\times10^6\mathrm{J}=3,6\mathrm{MJ}
\end{equation*}

Per cui corrisponde a $3,6$ megaJoule di energia. 

\subsubsection{Energia Cinetica}
Considerando $\delta W=\vect{F}\cdot \df\vect{r}$ e $\vect{F}=m\dot{\vect{v}}$, si può esprimere il differenziale del lavoro rispetto alla velocità:
\begin{equation*}
    \delta W=m\dot{\vect{v}}\cdot \df\vect{r}=m\displaystyle\frac{\df\vect{v}\cdot \df\vect{r}}{\df t}=m\vect{v}\cdot \df\vect{v}
\end{equation*}
Il lavoro calcolato rispetto alla velocità del corpo sarà:
\begin{equation*}
    W=\int_{\Gamma_{AB}}m\vect{v}\cdot \df\vect{v}=m\int_{v_A}^{v_B}v\df v=\displaystyle\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{1}{2}mv_A^2
\end{equation*}
Viene definita energia cinetica $K$ la funzione di stato, in funzione della velocità, corrispondente all'energia necessaria per compiere questo 
lavoro, indipendente dal tipo di forza agente sul corpo. Se si 
considera $v_A=0$, allora l'energia cinetica in $B$ sarà uguale al 
lavoro necessario per spostare un corpo dallo stato $0$ allo stato $v_B$:
\begin{equation}
    W_{0\to B}=\displaystyle\frac{1}{2}mv_B^{2}=\frac{1}{2}\frac{p^2_B}{m}=K_B
\end{equation}


Il teorema delle forze vive o dell'energia cinetica descrive la relazione tra il lavoro e l'energia cinetica: 
\begin{quotation}
    Indipendentemente dal tipo di forza agente durante lo spostamento di un punto materiale, il lavoro
    prodotto da esse sarà dato dalla sola variazione di energia cinetica:
    \begin{equation}
        W=\Delta K
    \end{equation}
\end{quotation}  
Tramite la variazione di energia cinetica si può esplicitare il cambiamento della velocità in seguito all'azione di una forza. Se il lavoro della forza è positivo, l'energia 
cinetica finale è maggiore dell'energia cinetica iniziale, quindi la velocità aumenta. Se il lavoro è negativo l'energia cinetica iniziale è maggiore dell'energia cinetica 
finale, per cui la velocità del corpo diminuisce. Se la variazione di energia cinetica è nulla, allora la velocità si conserva. 

\subsubsection{Energia Potenziale}
Considerando un corpo in due sistemi di riferimento diversi, distanti 
$\overline{OO'}=\vect{R}$ tra di loro, il lavoro compiuto da una forza 
conservativa nel sistema $S$ e nel sistema $S'$ sarà:
\begin{gather*}
    W_{AB}=U(\vect{r}_B)-U(\vect{r}_A)\\
    W'_{AB}=U(\vect{r}'_B)-U(\vect{r}'_A)\\
    U(\vect{r}_B-\vect{R})-U(\vect{r}_A-\vect{R})\\
    U(\vect{r}_B)-U(\vect{r}_A)+U(\vect{R})-U(\vect{R})=W_{AB}
\end{gather*}


La  distanza tra i due punti $A$ e $B$ non dipende dal sistema di 
riferimento. 
Il lavoro quindi non dipenderà dal sistema di riferimento usato per 
analizzare il comportamento del corpo. 
Se invece fosse stata una forza non conservativa, allora il 
lavoro sarebbe dipendente dalla lunghezza del percorso $\mathscr{L} (\Gamma_{AB})$, 
indipendente anch'essa dal sistema di riferimento scelto. 
Lo stesso vale per l'energia cinetica, dipendente dalla velocità 
del corpo nei punti $A$ e $B$.


Viene definita energia potenziale in un punto, il lavoro necessario per spostare un corpo da uno stato di riferimento allo stato in un punto $P$. Essendo l'energia potenziale 
definita come una variazione sarà sempre definita a meno di una costante $c=U(O)$, dove $O$ è il centro del sistema di riferimento usato per calcolare l'energia potenziale, 
convenzionalmente si considera l'energia nello stato di riferimento $U(O)=0$. Considerando l'energia potenziale nulla in O, l'energia potenziale può essere espressa come: 
\begin{equation}
    \Delta U_{OP}=U(P)-\cancelto{0}{U(O)}=-W_{O\to P}
\end{equation} 

\subsubsection{Teorema della Conservazione dell'Energia}
\begin{quotation}
    Se in un sistema agiscono solo forze conservative, la variazione di energia cinetica corrisponde all'opposto della variazione di energia potenziale. 
\end{quotation}
\begin{gather*}
    \begin{cases}
       W_{AB}=\Delta K_{AB}>0\\
      -W_{AB}=\Delta U_{AB}<0
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        K_B>K_A\\
        U_B<U_A
    \end{cases}
\end{gather*}
L'energia cinetica diminuisce, mentre l'energia potenziale aumenta. Poiché la variazione di energia cinetica corrisponde alla variazione di energia potenziale, l'energia 
potenziale allo stato iniziale viene in parte convertita in energia cinetica nello stato finale: 
\begin{equation}
    \Delta K_{AB}=-\Delta U_{AB}
\end{equation}

Se l'energia potenziale è nulla allo stato $B$, e l'energia cinetica 
è nulla allo stato $A$, allora:
\begin{equation*}
    U_B=K_A
\end{equation*}
l'energia potenziale in $B$ verrà convertita in energia cinetica in $A$.
Se $\Gamma$ è sempre alla stessa 
quota rispetto ad un sistema di riferimento allora $\Delta U=0$, 
e l'energia cinetica è costante $\Delta K = \mathrm{cost.}$, se non ci sono 
altre forze anche l'energia cinetica è nulla.

\subsubsection{Energia Meccanica}
Viene definita la grandezza energia meccanica, somma tra 
l'energia potenziale e cinetica nello stesso stato $P$:
\begin{equation}
    E=K+U
\end{equation}
Se su un corpo agiscono solo forze conservative allora l'energia si conserva: 
\begin{gather*}
    W=-\Delta U = \Delta K\\    
    K_B+U_B=K_A+U_A\\
    E_B=E_A\\
    E_B-E_A=0\\
    \Delta E=0\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Quindi in un sistema dove agiscono solo forze conservative la 
variazione di energia meccanica è nulla, ovvero l'energia si 
trasforma solamente da potenziale a cinetica e viceversa. 




Se su un corpo agiscono sia forze conservative che non 
conservative, il suo lavoro totale sarà dato dalla somma dei 
lavori dovuti alla forza conservativa ed alla forza non 
conservativa: 
\begin{gather*}
    W=W^{\mathrm{n.c.}}+W^{\mathrm{c.}}=\Delta K\\
    W^{\mathrm{c.}}=-\Delta U\\
    W^{\mathrm{n.c.}}=\Delta K +\Delta U\\
    W^{\mathrm{n.c.}}=\Delta E\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Quindi in un sistema dove agiscono forze non conservative, il 
lavoro derivato da esse sarà uguale alla variazione di energia 
meccanica del sistema. Analogamente se in un sistema la 
variazione di energia meccanica è diversa da zero, allora 
agiscono anche forze non conservative.

\subsubsection{Potenziale}


Se su un corpo agiscono solo forze conservative allora:
\begin{gather*}
    W=\int_{\Gamma}\vect{F}\cdot \df\vect{r}=\int_{\Gamma}-\df U\\
    \vect{F}=-\displaystyle\frac{\df U}{\df\vect{r}}=-\vect{\nabla}\cdot U=-\left(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial x}\hat{\vect{x}}+\frac{\partial U}{\partial y}\hat{\vect{y}}+\frac{\partial U}{\partial z}\hat{\vect{z}}\right)
\end{gather*} 
Il componente $-\vect{\nabla}U$ rappresenta l'opposto del gradiente della superficie $U(x,y,z)$, quindi rappresenta un vettore che punta verso i punti di minimo dell'energia 
potenziale. Il componente $\vect{\nabla}$ rappresenta l'operatore differenziale vettoriale avente come componenti per ogni direzione $\hat{\vect{x}}_i$ la derivata parziale rispetto 
a quella coordinata:
\begin{gather*}
    \vect{\nabla}:=\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_1}\hat{\vect{x}}_1+\cdots+\frac{\partial}{\partial x_n}\hat{\vect{x}}_n
\end{gather*}
Per l'energia potenziale presenta tre componenti per le tre direzioni spaziali $(x,y,z)$. 


Viene definita la funzione di stato potenziale $V(x)$. In una dimensione corrisponde ad una qualsiasi primitiva della forza conservativa $\vect{F}$:
\begin{equation*}
    \displaystyle\int_{x_A}^{x_B}\vect{F}\cdot \df\vect{r}=V(x_B)-V(x_A)
\end{equation*}



In $2$ dimensioni il potenziale dipenderà da due variabili $V(x,y)$ 
quindi sarà una superficie. Si può analizzare considerando una 
variabile costante, in questo modo si 
considera una ``fetta" della superficie bidimensionale.
\\
Si può considerare il suo andamento rispetto ad una singola 
variabile tramite la derivata parziale: 
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\partial V}{\partial x}
\end{equation*}
Questa analisi equivale all'analisi a ``fette" poiché 
considera il cambiamento del potenziale rispetto ad una sola variabile, se invece si deriva questa derivata 
appena ottenuta rispetto all'altra variabile si ottiene una derivata 
mista della funzione $V$, che tiene conto del cambiamento della 
funzione sulle $x$ rispetto alla variazione delle $y$: 
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\partial^{2} V}{\partial y\partial x}
\end{equation*}


Non necessariamente queste derivate miste sono uguali: 
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\partial^{2} V}{\partial y\partial x}\stackrel{?}{=}\displaystyle\frac{\partial^{2} V}{\partial x\partial y}
\end{equation*}
Per il Teorema di Schwarz è possibile risolvere questo problema: 
\begin{quotation}
    Se le derivate prime di una funzione $F(x,y)$ sono continue, 
    allora le sue derivate miste saranno uguali.
\end{quotation}




Si definisce differenziale totale o esatto del potenziale $V$:
\begin{equation*}
    \df V(x,y)=\displaystyle\frac{\partial V}{\partial x}\df x+\frac{\partial V}{\partial y}\df y
\end{equation*}
Si definisce differenziale parziale di una funzione $F(x,y)$:
\begin{equation*}
    \delta F=F_1(x,y)\df x+F_2(x,y)\df y
\end{equation*}
Se queste due funzioni $F_1$ e $F_2$ possono essere espresse come:
\begin{gather*}
    F_1(x,y) = \displaystyle\frac{\partial V}{\partial x}\\ 
    F_2(x,y) = \displaystyle\frac{\partial V}{\partial y}
\end{gather*}
Allora il differenziale parziale $\delta F$ sarà uguale al 
differenziale esatto ed il suo integrale sarà dato da:
\begin{equation*}
    \displaystyle\int\delta F=\int \df V=V+c
\end{equation*}
Affinché il differenziale parziale ed il differenziale esatto 
siano uguali, deve valere il teorema di Schwarz per la superficie 
$V$:
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\partial ^{2}V}{\partial x\partial y}=\frac{\partial ^{2}V}{\partial y\partial x}\iff \frac{\partial}{\partial x}F_2=\frac{\partial}{\partial y}F_1
\end{equation*}
Questa condizione è verificata se il potenziale $V$ è una 
superficie sufficientemente connessa. 


Analogamente si può considerare una funzione in $3$ dimensioni, 
come il lavoro, che ha un differenziale parziale: 
\begin{equation*}
    \delta W=\vect{F}\cdot \df\vect{r}=f_1(x,y,z)\df x+f_2(x,y,z)\df y+f_3(x,y,z)\df z
\end{equation*}
Se questo differenziale è uguale al differenziale 
esatto del potenziale $\delta W =\df V$, allora la forza 
è conservativa. Questa condizione come per il potenziale bidimensionale è verificata se la superficie $V(x,y,z)$ è sufficientemente connessa. 
\begin{equation}
    \int_{\Gamma_{AB}}\delta W = \int_{\Gamma_{AB}}\df V=V(B)-V(A)
\end{equation}
Dove il potenziale $V$ corrisponde all'opposto dell'energia 
potenziale $U=-V$.
Per cui una forza è conservativa se e solo se il differenziale del lavoro esercitato da quella forza corrisponde all'opposto del differenziale esatto dell'energia potenziale: 
\begin{equation}
    F:\:\mbox{conservativa}\iff\delta W=-\df U
\end{equation}

\subsubsection{Equilibrio e Stabilità}
Un sistema dinamico, può essere in equilibrio statico o dinamico, 
in entrambi i casi la risultante delle forze agenti sul sistema 
deve essere nulla, allora:
\begin{equation*}
    \vect{F}(\vect{r})=-\vect{\nabla}U(\vect{r})=\vect{0}
\end{equation*}
Questa funzione avrà punti di minimo corrispondenti a 
punti di equilibrio stabile del sistema e punti di massimo 
corrispondenti a punti di equilibrio instabile del sistema. 


Per trovare questi punti si deriva nuovamente la funzione 
ottenendo:
\begin{equation*}
    -\nabla^{2}U(\vect{r})=\vect\nabla F(\vect{r})
\end{equation*}
Se il sistema si trova in una posizione $\vect{r}$ corrispondente ad un punto di massimo della forza $\vect\nabla F(\vect{r})<0$, il sistema si trova in uno stato di equilibrio stabile, 
se corrisponde ad un punto di minimo $\vect\nabla F(\vect{r})>0$ il sistema si trova in uno stato di equilibrio instabile. 



Viene definito l'operatore Jacobiano $\vect{J}$, una matrice contenente tutte 
le possibili derivate miste. Se le derivate miste sono uguali, 
allora il Jacobiano è una matrice simmetrica. Tramite lo 
Jacobiano dell'energia potenziale $\vect{J}U(\vect{r})$ si può analizzare l'andamento dell'energia potenziale per trovare eventuali punti di equilibrio. 
\\
Hopfield dimostrò che nell'intorno di un punto di stabilità 
il sistema tende all'equilibrio, ovvero resiste agli errori. 
In $1$ dimensione il comportamento di un sistema attorno ad un 
punto di equilibrio $x_0$ sarà definito da:
\begin{equation}
    F(x_0)=-\displaystyle\frac{\df U}{\df x}(x_0)=0
\end{equation}
Si considerano valori in un intorno di raggio $\varepsilon$ del punto di equilibrio $x_0$ $x\in I_{x_0}(\varepsilon)$, allora la forza può 
essere approssimata mediante la sua serie di Taylor:
\begin{gather*}
    F(x)\approx F(x_0)+\displaystyle\frac{\df F}{\df x}(x_0)(x-x_0)\\
    F(x)\approx 0-\displaystyle\frac{\df}{\df x}\left(\frac{\df U}{\df x}\right)(x_0)(x-x_0)\\
    F(x)\approx -\displaystyle\frac{\df^{2}U}{\df x}(x_0)(x-x_0)
\end{gather*}
Se $x_0$ è un punto di equilibrio instabile allora $\displaystyle\frac{\df^{2}U}{\df x}(x_0)$ 
sarà minore di zero, quindi la forza sarà concorde allo 
spostamento, allontanando il sistema dal punto di equilibrio. 
Se il punto $x_0$ è un punto di equilibrio stabile, 
la forza è discorde allo spostamento, quindi 
il corpo tenderà al punto di equilibrio. Questo andamento  
è simile al comportamento di una molla:
\begin{equation}
    F(x)\approx -\left(\displaystyle\frac{\df^{2}U}{\df x}(x_0)\right)(x-x_0)=-k(x-x_0)
\end{equation}
Il sistema si comporta come se fosse attaccato ad una molla avente 
posizione di riposo in $x_0$ e sarà soggetto ad una forza di 
richiamo indirizzata verso tale punto in presenza di uno 
spostamento. 
\\
Considerando un pendolo semplice, si può approssimare il suo comportamento intorno al punto di equilibrio stabile, considerando $U(0)=0$: 
\begin{equation*}
    U(\theta) = mgl(1-\cos\theta)\approx mgl\left(1-\left(1-\displaystyle\frac{\theta^{2}}{2}\right)\right)=mgl\frac{\theta^2}{2}
\end{equation*}
l'energia potenziale del pendolo avrà un comportamento parabolico 
nell'intorno del punto di equilibrio $\theta_0=0$.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{approssimazione-equilibrio.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Teoria della Gravitazione Universale}

All'inizio del '500 Copernico descrisse il sistema solare come una sistema di pianeti in orbita intorno al Sole come centro. In seguito Brahe studiò 
il moto dei pianeti e ottenne i dati sperimentali necessari per l'analisi dei loro moti. In seguito Keplero studiando i dati ottenuti da Brahe 
enunciò le sue $3$ leggi sul moto dei pianeti:

\begin{quotation}
    $i\left.\right)$ I pianeti compiono delle orbite piane ellittiche, di cui il sole occupa uno dei due fuochi.
\end{quotation}

Un'ellisse è una conica, ovvero un insieme di punti ottenuto sezionando un cono infinito tridimensionale con un piano. Un'ellisse viene definita 
come il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze tra i due fuochi è invariante. Viene definita l'eccentricità 
di un ellisse $\varepsilon$, una misura che quantifica quanto l'ellisse è schiacciata, ovvero di quanto l'asse maggiore $a$ è più lungo dell'asse 
minore $b$ dell'ellisse, il valore sarà $0$ per un cerchio mentre tenderà asintoticamente ad $1$ per un'ellisse avente un'asse $a$ di lunghezza infinita, o un asse minore $b$ di lunghezza nulla. 

\begin{equation*}
    \varepsilon=\sqrt{1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2}}\in[0,1)
\end{equation*}

\begin{quotation}
    $ii\left.\right)$ La velocità areolare del pianeta lungo l'orbita è costante. 
\end{quotation}

Viene definita velocità areolare, la variazione di area descritta da uno spostamento del pianeta lungo l'orbita in un dato intervallo di tempo: 
\begin{equation}
    \displaystyle\frac{\df A(t)}{\df t}=\mathrm{cost.}
\end{equation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{seconda-keplero.pdf}%
\end{figure}

L'area descritta in uno stesso intervallo di tempo rimane invariata, per cui dovrà cambiare la velocità dell'orbita del pianeta, per mantenere l'area 
costante, per cui quando i pianeti si trovano vicini al sole, si muovono più velocemente poiché descriveranno un'area maggiore, mentre quando si 
trovano lontani dal Sole si muovono più lentamente. 
\\
La terza legge di Keplero descrive la relazione tra il periodo dell'orbita e la lunghezza dell'asse maggiore dell'ellisse, tramite una costante 
$k$, che varia per ogni pianeta in base all'eccentricità della loro orbita: 
\begin{quotation}
    $iii\left.\right)$ Il quadrato del periodo dell'orbita di un pianeta è proporzionale al cubo dell'asse maggiore della sua orbita ellittica.
    \begin{equation}
        T^2=ka^3
    \end{equation}
\end{quotation}

Newton fornì una dimostrazione dinamica delle leggi di Keplero nel $1666$, approssimando le orbite ellittiche a delle circonferenze, poiché 
tutti, eccetto per Mercurio che percorre un'orbita di eccentricità $\varepsilon_M=0.02$, i pianeti descrivono orbite con eccentricità $\varepsilon<<1$. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{terza-keplero.pdf}%
\end{figure}

Per ottenere l'area descritta dall'orbita si considera il modulo del prodotto vettoriale tra uno spostamento infinitesimo $\df\vect{s}$ e la sua posizione nell'orbita $\vect{r}$, 
che rappresenta l'area del parallelogramma di lati $\df\vect{s}$ e $\vect{r}$. Si può quindi esprimere l'area infinitesima descritta da uno spostamento infinitesimo di un 
pianta lungo la sua orbita circolare secondo la seguente espressione: 
\begin{equation*}
    \df A=\displaystyle\frac{|\vect{r}\times \df\vect{s}|}{2}=\frac{r\df s\sin\alpha}{2}
\end{equation*}

La variazione di area nel tempo sarà data da:
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\df A}{\df t}=\frac{r}{2}\sin\alpha\frac{\df{s}}{\df t}=\frac{r^2\omega}{2}\sin\alpha
\end{equation*}

Affinché la velocità areolare rimanga costante allora la velocità angolare deve essere costante, inoltre è inversamente proporzionale al quadrato della distanza 
tra il pianeta ed il Sole. La sua orbita genera un'accelerazione centripeta $\vect{a}_c=r\omega^2\hat{\vect{\nu}}$. Per cui esisterà una forza diretta verso 
il Sole dal pianeta $\vect{F}=m_p\vect{a}_c=m_pr\omega^2\hat{\vect{\nu}}$. Per la terza legge di Keplero si può esprimere la relazione tra il braccio maggiore
dell'ellisse con il periodo, per cui si può ottenere la velocità angolare: 
\begin{equation*}
    \omega=\displaystyle\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\sqrt{ka^3}}
\end{equation*}
La forza agente sul pianeta avrà modulo:
\begin{gather*}
    F=m_pr\displaystyle\frac{4\pi^2}{ka^3}\\
    \varepsilon=0\Rightarrow a=b=r\\
    F=m_p\displaystyle\frac{4\pi^2}{kr^2}
\end{gather*}
Anche la forza agente sul pianeta sarà allora inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra il pianeta ed il Sole. Per il terzo 
principio della dinamica il pianeta eserciterà sul Sole una forza uguale e contraria: $\vect{F}_{s\to p}=-\vect{F}_{p\to s}$. 
\begin{gather*}
    \left|\vect{F}_{s\to p}\right|=m_p\displaystyle\frac{4\pi^2}{k_pr^2}=m_s\displaystyle\frac{4\pi^2}{k_sr^2}=\left|\vect{F}_{p\to s}\right|\\
    m_sk_p=m_pk_s
\end{gather*}
Si suppone esista una costante $k_s\neq k_p$ anche per il sole. 
\\
Viene definita la costante di gravitazione universale, indipendente dalla coppia di pianeti considerati:
\begin{equation}
    G:=\displaystyle\frac{4\pi^2}{m_ik_j}=\frac{4\pi^2}{m_jk_i}=\mathrm{cost.}
\end{equation}

Per cui la forza agente si può esprimere rispetto a questa nuova costante:
\begin{equation}
    F=m_p\displaystyle\frac{4\pi^2}{k_pr^2}\cdot\frac{m_s}{m_s}=G\frac{m_sm_p}{r^2}
\end{equation}

Questa forza viene espressa in generale senza sapere a priori il valore delle masse gravitazionali, poiché è possibile calcolare la costante di gravitazione universale $G$ 
rispetto a due corpi qualsiasi che si attraggono. 


A fine settecento Cavendish misurò con estrema precisione il valore della costante $G$, usando una bilancia di torsione, formata da un filo avvolto 
su sé stesso connesso ad un'asta in grado di ruotare sull'asse del filo, con due masse alle estremità. Le due masse agli estremi vengono esposte 
a dei corpi aventi una massa molto elevata, provocando una forza gravitazionale sulle due masse sull'asta, generando un momento torcente. L'asta ruoterà fino ad una nuova 
posizione di equilibrio del sistema, dovuta a questo momento torcente. Sapendo le masse dei corpi connessi all'asta, dei corpi esterni generatori della forza 
gravitazionale e la distanza tra questi è possibile, misurando la rotazione effettuata, calcolare il momento torcente ed in seguito la costante di gravitazione universale $G$. 
\\
Si vuole determinare se la forza gravitazionale è una forza conservativa o meno. 
Data $\vect{F}=F(r)(-\hat{\vect{r}})$, si considera l'integrale del lavoro $W$, analizzando  
la traiettoria compiuta dal pianeta è possibile notare come il prodotto scalare $\hat{\vect{r}}\cdot \df\vect{s}$, corrisponda al modulo della variazione 
infinitesima del vettore posizione nella traiettoria, per cui:
\begin{equation*}
    \hat{\vect{r}}\cdot \df\vect{s}=1\cdot \df s\cos\theta=dr
\end{equation*}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{gravità.pdf}%
\end{figure}

Essendo $F(r)$ una funzione di stato avrà sempre una primitiva, quindi è una forza conservativa ed il suo lavoro risultante sarà:
\begin{equation*}
    W=\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}-F(r)\df r=f(r_2)-f(r_1)
\end{equation*}
Date due masse $m$ e $M$ di distanza $r$, il modulo della forza gravitazionale tra i due sarà dato da:  
\begin{equation}
    F(r)=GmM\displaystyle\frac{1}{r^2}
\end{equation}
Essendo una forza conservativa si può ricavare l'energia potenziale integrando la forza gravitazionale:
\begin{equation}
    U(r)=-W(r)=\displaystyle\int F(r)\df r=\displaystyle\int GmM\frac{1}{r^2}dr=-\frac{GmM}{r}+c
\end{equation}
Si può esprimere il lavoro della forza gravitazionale come differenza di energia potenziale:
\begin{equation}
    W=-\Delta U=GmM\Delta\left(\displaystyle\frac{1}{r}\right)
\end{equation}

Data l'energia potenziale è possibile calcolarsi, se non agiscono altre forze non conservative, la velocità necessaria per un corpo di 
massa $m$ per uscire dall'orbita terrestre. Ovvero si considera raggiunga asintoticamente una distanza infinita dalla terra, per 
cui la sua energia potenziale in quel punto sarà nulla:
\begin{gather*}
    U(r_0)+K(v_0)=\cancelto{0}{U(r_f)}+K(v_f)\\
    -\displaystyle\frac{GmM}{r_0}+\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_f^2\\
    v_0=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{2GM}{r_0}+v_f^2}
\end{gather*}
Se si considera la velocità finale nulla, ovvero il corpo si trova in uno stato di quiete a distanza infinita dalla terra, dovrà avere 
una velocità iniziale:
\begin{equation}
    v=\displaystyle\sqrt{\frac{2GM}{r}}
\end{equation}
Questa velocità viene definita velocità di fuga dalla terra. 




In caso si consideri un sistema di riferimento avente centro nel Sole, sul corpo agiranno delle forze d'inerzia, poiché le analisi 
precedenti sono state effettuate rispetto al sistema di riferimento intrinseco del corpo, in moto rotazionale rispetto al Sole. Sul corpo agirà una forza centripeta, calcolata 
precedentemente $m\omega^2r$, per cui la risultante delle forze agenti sul pianeta sarà:
\begin{equation*}
    F=\displaystyle\frac{GmM}{r^2}-m\omega^2r
\end{equation*}
Il corpo avrà un certo momento angolare $L=|\vect{r}\times m\vect{v}|=m\omega r^2$, poiché si tratta di un'orbita ellittica il vettore direzione 
sarà perpendicolare al vettore velocità. Si potrà quindi esprimere la forza risultante rispetto al modulo del momento angolare:
\begin{equation*}
    F=\displaystyle\frac{GmM}{r^2}-\frac{L^2}{mr^3}
\end{equation*}
Poiché il momento angolare dipende solamente dalla distanza, essendo la velocità angolare costante, la forza risultante sarà conservativa, e si potrà 
calcolare l'energia potenziale. Si definisce energia potenziale efficace l'energia potenziale calcolata in questo sistema di riferimento:
\begin{equation}
    U^\mathrm{eff}(r)=-W=\displaystyle\int F(r)\df r=-\displaystyle\frac{GmM}{r}+\frac{L^2}{2mr^2}
\end{equation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{potenziale-efficace.pdf}%
\end{figure}

Per cui per dei corpi vicini al Sole, prevale la componente ${L^2}/{2mr^2}$, e l'energia potenziale efficace sarà positiva, quindi 
il corpo si muoverà verso il sole. Diminuirà all'aumentare della distanza $r$ fino al raggiungimento di un punto di equilibrio stabile, corrispondente ad un punto 
di minimo per l'energia potenziale, per un valore 
$r_0$, dopo il quale l'energia potenziale tenderà asintoticamente a $0^-$. Un corpo ad una distanza $r_0$ dal sole quindi sarà in un orbita attorno al 
punto di energia minima $U(r_0)$, compiendo piccole oscillazioni, per cui la funzione potenziale potrà essere approssimata con una parabola in 
tutto il semipiano negativo. Per $U(r)\geq0$, il potenziale continuerà a crescere fino ad infinito, potrà quindi essere approssimato come un'iperbole. 




Se si considera il Sole in movimento, allora i due corpi si muoveranno l'uno rispetto all'altro di moto rototraslatorio. Si considera la conservazione della quantità di moto 
e del momento angolare: 
\begin{gather*}
    \vect{p}_\mathrm{tot}=\mathrm{cost.}=m\vect{v_p}+M\vect{v_s}\\
    \vect{L}_\mathrm{tot}=\mathrm{cost.}
\end{gather*}
Il corpo con massa maggiore avrà quindi una velocità relativamente minore. Poiché l'energia cinetica del sistema è costante, per una quantità di moto costante, 
se l'energia potenziale efficace è costante, l'energia meccanica del sistema si conserverà. Il moto viene analizzato rispetto alla distanza 
del centro di massa dal Sole $\vect{R}_{(\mathrm{c.d.m.})}$ e la distanza relativa tra i due corpi $\vect{r}=\vect{r}_s-\vect{r}_p$. 

\clearpage

\section{Dinamica dei Sistemi di Punti Materiali}

Un sistema di punti materiali è un insieme di punti definiti 
in un sistema di riferimento, aventi ognuno un suo 
comportamento nello spazio:
\begin{equation}
    \mathscr{S}:=\left\{P_i,\:\forall i\in[1,\:N]\cap\mathbb{N}\right\}
\end{equation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{insieme-punti.pdf}%
\end{figure}

Per ogni punto $P_i$ è possibile descrivere le sue interazioni dinamiche ed il suo comportamento cinematico. 
Per trovare la forza totale agente su un unico punto $P_i$, si 
considerano tutte le interazioni tra quel punto e i restanti punti 
appartenenti al sistema $\mathscr{S}$:
\begin{equation}
    \vect{F}^\mathrm{tot}_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{i-1}\vect{F}_{j\to i}+\sum_{k=i+1}^{N}\vect{F}_{k\to i}
\end{equation}
Vengono definite forze interne al sistema, tutte le forze 
dovute ad interazioni tra elementi appartenenti ad esso.
Mentre vengono definite forze esterne al sistema, tutte le forze 
dovute all'interazione tra punti appartenenti al sistema con 
elementi non appartenenti ad esso. 



Per il terzo principio della dinamica 
la somma di tutte le forze interne al sistema è nulla. Per ogni 
forza $\vect{F}_{i\to j}$ generata da un punto $i$ verso un punto $j$ 
esiste una forza uguale e contraria $-\vect{F}_{i\to j}=\vect{F}_{j\to i}$ dal punto $j$ verso il punto $i$. 
Per cui la somma di tutte le coppie di forze tra loro opposte 
è uguale alla somma di tutte le forze interne, ed è quindi nulla:
\begin{equation}
    \vect{F}_\mathrm{tot}^\mathrm{int}=\displaystyle\sum_{j=1}^{N}\vect{F}_i^\mathrm{int}=\sum_{i=1}^{N}\left(\sum_{j=1}^{N}\vect{F}_{i\to j}\right)=\sum_{(i,j)=(1,1)}^{(N,N)}\vect{F}_{i\to j}+\vect{F}_{j\to i}=\vect{0}
\end{equation}
Considerando nulla la forza che agisci sullo stesso punto $\vect{F}_{i\to i}=\vect{0}$.
Quindi la forza totale agente un sistema di punti materiali $\mathscr{S}$ è data da:
\begin{equation}
    \vect{F}_\mathrm{tot}=\vect{F}^\mathrm{est}_\mathrm{tot}+\cancelto{\vect0}{\vect{F}^\mathrm{int}_\mathrm{tot}}=\vect{F}^\mathrm{est}_\mathrm{tot}
\end{equation}


Se la somma delle forze esterne applicate sul sistema 
è nulla allora la forza totale agente sul sistema è nulla $\vect{F}_\mathrm{tot}=\vect{0}$, quindi il sistema 
si trova in uno stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. 

\subsection{Centro di Massa}
Il centro di massa di un sistema $\mathscr{S}$ è definito come 
un punto, non necessariamente reale, che può essere usato per approssimare il comportamento del sistema. 
Il centro di massa si trova in una posizione $\vect{r}_c$ 
rispetto ad un sistema di riferimento $S$ definita come la media ponderata, rispetto alle masse, delle posizioni di ogni punto materiale del sistema: 
\begin{equation}
    \vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{r}_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i}
\end{equation}
Può essere calcolato iterativamente:
\begin{equation*}
    \vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^Nm_i\vect{r}'_{\mathrm{c.d.m.}}+m_{N+1}\vect{r}_{N+1}}{\sum_{i=1}^Nm_i+m_{N+1}}=\frac{\sum_{i=1}^{N+1}m_i\vect{r}_i}{\sum_{i=1}^{N+1}m_i}
\end{equation*}
Se il sistema è traslato di $\vect{R}$, la posizione del 
centro di massa è anch'essa traslata della stessa quantità:
\begin{equation*}
    \vect{r}'_{\mathrm{c.d.m.}}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{r}'_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i(\vect{r}_i+\vect{R})}{\sum_{i=1}^{N}m_i}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{R}}{\sum_{i=1}^{N}m_i}+\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{r}_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i}=\vect{R}+\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{r}_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i}=\vect{R}+\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}
\end{equation*}

La posizione del centro di massa di un sistema di punti rispetto ai punti materiali è indipendente dal sistema di riferimento, invece la sua espressione in coordinate 
dipende dal sistema di riferimento adottato. 



Se le masse sono costanti, ed i punti sono mobili nel tempo, 
allora il centro di massa ha una certa velocità $\vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}$:
\begin{equation}
    \vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}=\frac{\df}{\df t}\left(\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{r}_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i}\right)=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\dot{\vect{r}}_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{v}_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}\vect{p}_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i}
\end{equation}
Analogamente si può ottenere l'accelerazione del centro di 
massa:
\begin{equation}
    \vect{a}_{\mathrm{c.d.m.}}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{a}_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i}
\end{equation}
La quantità di moto del sistema coincide con la quantità di 
moto del centro di massa: 
\begin{equation*}
    \vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}\vect{p}_i}{M}=\displaystyle\frac{p^\mathrm{tot}}{M}\\
    M\vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}=\vect{p}_{\mathrm{c.d.m.}}=\vect{p}^\mathrm{tot}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{equation*}
Con $M=\sum_{i=1}^{N}m_i$. 
Si considera per ogni punto $P_i$ l'espressione del suo moto rispetto alla forza agente su di esso: 
\begin{gather*}
    m_i\vect{a}_i=\vect{F}_i^\mathrm{tot}\\
    \displaystyle\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{a}_i=\sum_{i=1}^{N}\vect{F}_i^\mathrm{tot}\\
    M\vect{a}_{\mathrm{c.d.m.}}=\vect{F}^\mathrm{tot}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Poiché la somma totale delle forze interne è nulla, la somma 
delle forze esterni agenti sul 
sistema è uguale alla forza necessaria per muovere un corpo 
di massa $M$ di un'accelerazione $\vect{a}_{\mathrm{c.d.m.}}$.
Viene quindi definita prima equazione cardinale la relazione tra le forze esterne agenti su un sistema e l'accelerazione del centro di massa del sistema: 
\begin{equation*}
    (i)\:M\vect{a}_{\mathrm{c.d.m.}}=\vect{F}^\mathrm{est}
\end{equation*}
Il centro di massa di un sistema di punti materiali si muove come un punto materiale dove è concentrata tutta la massa del sistema su cui è applicata la risultante delle forze 
esterne del sistema. L'azione delle forze interne non può modificare il moto del centro di massa, ma può modificare il comportamento di un singolo punto del sistema. 

\subsection{Sistema Isolato}
Viene definito sistema isolato un sistema di punti materiali dove la risultante delle 
forze esterni agenti su di esso è nulla $\vect{F}^\mathrm{est}=\vect{0}$. 
Per la prima equazione cardinale $M\vect{a}_{\mathrm{c.d.m.}}=\vect{0}$, allora il centro di massa, quindi il sistema, si muove di moto rettilineo 
uniforme o è in stato di quiete. La quantità di moto interna del sistema $\vect{p}^\mathrm{int}$ 
è conservata, poiché $\dot{\vect{p}}_{\mathrm{c.d.m.}}=\vect{0}$.
\\
Se la quantità di moto totale del sistema è nulla $\vect{p}^\mathrm{tot}=\vect{0}$, allora 
i punti appartenenti al sistema o divergono con quantità di 
moto tali da bilanciarsi, oppure convergono nel centro di 
massa. In quest'ultimo caso la posizione dei punti converge 
ad una posizione $\vect{r}$, coincidente alla posizione del centro di massa:
\begin{equation}
    \vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}=\displaystyle\frac{\sum_{i_1}^{N}m_i\vect{r}_i}{M}=\vect{r}\frac{\sum_{i_1}^{N}m_i}{M}=\vect{r}
\end{equation}

\subsection{Sistema di Riferimento del Centro di Massa}
Nella maggior parte dei casi, è più comodo analizzare un sistema di punti materiali rispetto ad un sistema di riferimento solidale al centro di massa del sistema. 
Se il centro di massa si muove di sola traslazione, allora
il sistema di riferimento $S_{\mathrm{c.d.m.}}$, con origine nel centro 
di massa, si muove di sola traslazione con un'accelerazione 
$\vect{A}=\vect{a}_{\mathrm{c.d.m.}}={\vect{F}^\mathrm{est}}/{M}$. 
La velocità del centro di massa relativa al sistema di punti espresso rispetto a $S_{\mathrm{c.d.m.}}$ è nulla, quindi il centro di massa e il sistema di punti hanno una quantità 
di moto totale nulla. Quindi in un sistema $\mathscr{S}$ espresso rispetto al sistema di riferimento del centro di massa $S_{\mathrm{c.d.m.}}$ gli elementi 
si muovono con una quantità di moto tale da bilanciarsi a vicenda. 


Se la risultante delle forze esterne è diversa da zero, il sistema di riferimento del centro di massa è un sistema non inerziale rispetto al sistema di riferimento $S$ dove 
è stato definito il sistema di punti. Per passare al sistema di riferimento del centro di massa $S\to S_{\mathrm{c.d.m.}}$, si considerano le seguenti espressioni: 
\begin{equation*}
    \begin{cases}
        \vect{r}(S)=\vect{r}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)\\ 
        \vect{v}(S)=\vect{v}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)\\
        \vect{a}(S)=\vect{a}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{a}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)
    \end{cases}
\end{equation*}
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{riferimento-cdm.pdf}%
\end{figure}

\subsection{I Teorema di K\"oning}
\begin{quotation}
    Il momento angolare di un insieme di punti materiali in un 
    sistema di riferimento generico è dato dalla somma tra 
    il momento angolare nel sistema di riferimento del centro 
    di massa con il momento angolare del centro di massa.
    \begin{equation}
        \vect{L}(S)=\vect{L}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{L}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)
    \end{equation}
\end{quotation}
Si considerano i punti nel sistema di riferimento $S$ espressi rispetto al sistema di riferimento del centro di massa $S_{\mathrm{c.d.m.}}$: $\vect{r}_i(S)=\vect{r}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)$, 
$\vect{r}_i(S)=\vect{r}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)$.
Il momento angolare nel sistema $S$ è dato da $\vect{L}(S)=\sum_{i=1}^{N}(\vect{r}_i(S)\times\vect{p}_i(S))$, 
considerando le espressioni del cambiamento di coordinate $S\to S_{\mathrm{c.d.m.}}$ si esprime il momento angolare rispetto al sistema di riferimento del centro di massa: 
\begin{gather*}
    \vect{L}(S)=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(\vect{r}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}(S))\times m_i(\vect{v}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}(S))\\
    \displaystyle\sum_{i=1}^{N}(\vect{r}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})\times m_i\vect{v}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{r}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})\times m_i\vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)\\
    +\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)\times m_i\vect{v}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)\times m_i\vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}(S))\\
    \displaystyle\sum_{i=1}^{N}(\vect{r}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})\times m_i\vect{v}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}}))+\cancelto{\vect0}{\sum_{i=1}^{N}(\vect{r}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})m_i)\times \vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)}\\
    +\cancelto{\vect0}{\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)\times\sum_{i=1}^{N}(m_i\vect{v}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}}))}+\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)\times\sum_{i=1}^{N}(m_i)\vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)\\
    \vect{L}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{L}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)
\end{gather*}
Poiché la posizione del centro di massa nel sistema di riferimento solidale al centro di massa è nulla $\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}(S_{\mathrm{c.d.m.}})=\vect{0}$, 
si ha che $\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}(S_{\mathrm{c.d.m.}})=\left({\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{r}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})}\right)/{M}=\vect{0}$ 
quindi la componente $\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{r}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})$ è nulla, analogamente si dimostra che la componente $\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{v}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})$ è nulla, sapendo 
che la velocità del centro di massa nel sistema di riferimento del centro di massa è nulla.

\subsection{II Teorema di K\"oning}
\begin{quotation}
    L'energia cinetica di un sistema di punti materiali in un 
    sistema di riferimento inerziale è data dalla somma tra 
    l'energia cinetica del sistema di punti in un sistema di 
    riferimento concorde al centro di massa, sommata all'energia 
    cinetica del centro di massa:
    \begin{equation}
        K(S)=K(S_{\mathrm{c.d.m.}})+K_{\mathrm{c.d.m.}}(S)
    \end{equation}
\end{quotation}

Si considera l'energia cinetica del sistema di punti nel sistema inerziale $S(S)$:
\begin{equation*}
    K(S)=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_iv_i^{2}(S)
\end{equation*}
Si considera l'espressione del cambiamento di coordinate $S\to S_{\mathrm{c.d.m.}}$ della velocità $v_i(S)=v_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})+v_{\mathrm{c.d.m.}}(S)$. Si esprime l'energia cinetica 
rispetto al sistema di riferimento solidale al centro di massa tramite quest'espressione $S\to S_{\mathrm{c.d.m.}}$: 
\begin{gather*}
    K(S)=\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_i(v_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})+v_{\mathrm{c.d.m.}}(S))^2\\
    \displaystyle\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_i(v^{2}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})+2v_i(S_{\mathrm{c.d.m.}}){v}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)+v_{\mathrm{c.d.m.}}^{2}(S))\\
    \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^{N}m_iv^{2}(S_{\mathrm{c.d.m.}})_i+\cancelto{0}{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\left(m_i{v}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})\right)}{v}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)+\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{i=1}^{N}m_iv_{\mathrm{c.d.m.}}^{2}(S)\\
    K(S_{\mathrm{c.d.m.}})+K_{\mathrm{c.d.m.}}(S)
\end{gather*}
Il componente $\sum_{i=1}^{N}m_i{v}_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})$ corrisponde alla quantità di moto del centro di massa nel sistema di riferimento del centro di massa $\vect{p}_{\mathrm{c.d.m.}}(S_{\mathrm{c.d.m.}})$, 
ma la quantità di moto del centro di massa è nulla nel sistema di riferimento del centro di massa, per cui quella componente ha un contributo nullo. 



Segue per i due teoremi di K\"oning che le grandezze principali di un sistema di punti materiali $\mathscr{S}$ espresse rispetto ad 
un sistema di riferimento inerziale $S$, possono essere sempre espresse 
rispetto ad un sistema di riferimento $S_{\mathrm{c.d.m.}}$ solidale al centro di massa del sistema. Non è necessaria una formulazione di un terzo teorema di K\"oning poiché 
è stato precedentemente dimostrato che per qualsiasi sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto totale del sistema di punti materiali $\mathscr{S}$ coincide 
alla quantità di moto del centro di massa del sistema nello stesso sistema di riferimento. Poiché è più semplice analizzare il comportamento di un singolo punto materiale, 
centro di massa, 
invece di un sistema di punti, è consigliabile, se le grandezze sono ottenute in un sistema di riferimento inerziale, analizzare il sistema di punti nel sistema di riferimento 
solidale al centro di massa: 
\begin{equation}
    \begin{matrix}
        \strut 
        \\
        \left.i\right) 
        \\
        \left.ii\right) 
    \end{matrix}
    \begin{cases}
        \vect{p}^\mathrm{tot}(S)=\cancelto{0}{\vect p^\mathrm{tot}(S_{\mathrm{c.d.m.}})}+\vect{p}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)\\
        \vect{L}^\mathrm{tot}(S)=\vect{L}^\mathrm{tot}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{L}_{\mathrm{c.d.m.}}(S)\\
        K^\mathrm{tot}(S)=K^\mathrm{tot}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+K_{\mathrm{c.d.m.}}(S)
    \end{cases}
\end{equation}

\subsection{Urti}
Quando due corpi si scontrano con due velocità iniziali $\vect{v}_i$, 
si verifica un fenomeno 
chiamato urto in un intervallo di tempo $\Delta t$, dopo 
lo scontro i corpi avranno velocità finali non necessariamente 
uguali alle velocità iniziali $\vect{v}_f$. Nell'intervallo di tempo 
$[0,\varepsilon]$ i due corpi sono a contatto e il sistema si trova 
in uno stato di equilibrio instabile, poiché i corpi si 
separeranno dopo l'urto. Il sistema è isolato e quindi la 
quantità di moto totale del sistema rimarrà costante nell'intervallo 
di tempo $[0,\varepsilon]$. 

 
\subsubsection{Forze Impulsive}
Nell'intervallo di tempo dell'urto sui due corpi agisce una 
forza impulsiva, proporzionale all'inverso dell'intervallo di tempo in cui avviene l'urto 
$F(t)\propto \displaystyle\frac{1}{\varepsilon}$. 
Poiché la forza è una grandezza che non dipende esplicitamente all'intervallo di 
tempo in cui è stata applicata si usa l'impulso, grandezza definita nella rappresentazione integrale del secondo principio della dinamica, per quantificare 
l'intensità dell'impulso: 
\begin{gather*}
    \displaystyle\frac{\df\vect{p}}{\df t}=\vect{F}\\
    \displaystyle\int_{0}^{\varepsilon}\df\vect{p}=\int_{0}^{\varepsilon}\vect{F}\df t\\
    \Delta\vect{p}=\displaystyle\int_{0}^{\varepsilon}\vect{F}\df t=\vect{J}
\end{gather*}

Poiché la quantità di moto totale del sistema viene conservata 
durante l'urto, viene scambiata una quantità di moto $\Delta\vect{p}$ 
tra i due corpi durante l'intervallo di tempo $[0,\varepsilon]$. 

Per una forza impulsiva $F$ al diminuire dell'intervallo di tempo, la sua intensità aumenterà. Per un urto in un tempo infinitesimo, 
l'impulso ha un valore non nullo per un intervallo di tempo infinitesimo:
\begin{equation*}
    \lim_{\varepsilon\to 0}\displaystyle\int_{0}^{\varepsilon}\vect{F}\df t\approx\vect{F}\cdot\varepsilon=\vect{J}\neq\vect{0}
\end{equation*}
Per una forza non impulsiva, nello stesso intervallo di tempo l'impulso generato è nullo $\vect{F}\cdot\varepsilon=\vect{0}$. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{forze-impulsive.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Elastici}
Gli urti possono essere rappresentati come uno scambio di quantità di moto tra due corpi. 
Se il sistema composto dai cue corpi è isolato allora la quantità di 
moto viene conservata durante l'urto. Invece se sul sistema di punti agiscono forze esterne, se l'intervallo di tempo è sufficientemente ristretto e le forze esterne applicate 
non sono impulsive allora si conserva la quantità di moto. Le forze impulsive che generano l'urto non sono necessariamente conservative, per cui si considerando 
due tipi di urti: 
\begin{itemize}
    \item Urti Elastici: dove l'energia meccanica del sistema si conserva;
    \item Urti Anelastici: dove l'energia meccanica del sistema non si conserva, ma una parte viene dissipata nell'ambiente esterno.
\end{itemize}

In un urto elastico i due corpi subiscono delle deformazioni elastiche, riprendendo la configurazione iniziale subito dopo l'urto. 
Nel sistema di riferimento del 
centro di massa dei due corpi i due punti materiali convergono verso il centro di massa con quantità di moto di modulo uguale e verso opposto, e dopo l'urto ripartono con 
quantità di moto uguali in modulo e verso opposto. La quantità di moto 
totale del sistema è nulla durante l'urto, e si conserva l'energia meccanica del sistema, poiché si tratta di un urto elastico. 
\begin{gather*}
    \begin{cases}
        \vect{p}^\mathrm{tot}_i=\vect{p}^\mathrm{tot}_f=\vect{0}\Rightarrow \vect{p}_{1,i}=-\vect{p}_{2,i}\land\vect{p}_{1,f}=-\vect{p}_{2,f}\\
        K_i=K_f
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        m_1v_{1,i}=-m_2v_{2,i}\land m_1v_{1,f}=-m_2v_{2,f}\\
        \displaystyle\frac{1}{2m_1}(m_1v_{1,i})^2+\frac{1}{2m_2}(m_2v_{2,i})^2=\frac{1}{2m_1}(m_1v_{1,f})^2+\frac{1}{2m_2}(m_2v_{2,f})^2
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        \displaystyle m_1v_{1,i}^2+\frac{m_1^2}{m_2}v_{1,i}^2=m_1v_{1,f}^2+\frac{m_1^2}{m_2}v_{1,f}^2\\
        \displaystyle m_2v_{2,i}^2+\frac{m_2^2}{m_1}v_{2,i}^2=m_2v_{2,f}^2+\frac{m_2^2}{m_1}v_{2,f}^2
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        \displaystyle v_{1,i}^2\left(\displaystyle\frac{m_1}{m_2}+1\right)=v_{1,f}^2\left(\displaystyle\frac{m_1}{m_2}+1\right)\\
        \displaystyle v_{1,i}^2\left(\displaystyle\frac{m_2}{m_1}+1\right)=v_{2,f}^2\left(\displaystyle\frac{m_2}{m_1}+1\right)
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        v_{1,i}=\pm v_{1,f}\\
        v_{2,i}=\pm v_{2,f}
    \end{cases}     
\end{gather*}
Poiché i corpi convergono prima dell'urto e divergono subito 
dopo, le loro velocità cambiano verso dopo l'urto, quindi 
l'unica soluzione possibile è:
\begin{equation}
    \begin{cases}
        v_{1,i}=-v_{1,f}\\
        v_{2,i}=-v_{2,f}
    \end{cases}
\end{equation}


Queste velocità sono calcolate nel sistema di riferimento $S_{\mathrm{c.d.m.}}$. Per esprimere le velocità finali rispetto ad un qualsiasi sistema di riferimento inerziale 
$S$ si considera: 
\begin{gather*}
    v(S)=v(S_{\mathrm{c.d.m.}})+v_{\mathrm{c.d.m.}}\\
    v_{\mathrm{c.d.m.}}=\displaystyle\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}\\
    \begin{cases}
        v_{1,f}(S)=v_{1,f}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+v_{\mathrm{c.d.m.}}(S)=-v_{1,i}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+v_{\mathrm{c.d.m.}}(S)=2v_{\mathrm{c.d.m.}}(S)-v_{1,i}(S)\\
        v_{2,f}(S)=v_{2,f}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+v_{\mathrm{c.d.m.}}(S)=-v_{2,i}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+v_{\mathrm{c.d.m.}}(S)=2v_{\mathrm{c.d.m.}}(S)-v_{2,i}(S)
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        v_{1,f}=\displaystyle\frac{\strut2(m_1v_{1,i}+m_2v_{2,i})-(m_1+m_2)v_{1,i}}{\strut m_1+m_2}\\
        v_{2,f}=\displaystyle\frac{\strut2(m_1v_{1,i}+m_2v_{2,i})-(m_1+m_2)v_{2,i}}{\strut m_1+m_2}
    \end{cases}\\
    \begin{cases}
        v_{1,f}=\displaystyle\frac{\strut (m_1-m_2)v_{1,i}+2m_2v_{2,i}}{\strut m_1+m_2}\\
        v_{2,f}=\displaystyle\frac{(\strut m_2-m_1)v_{2,i}+2m_1v_{1,i}}{\strut m_1+m_2}
    \end{cases}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}


Se le velocità iniziali hanno la stessa direzione, il 
corpo colpito deve essere raggiunto dal primo $v_{1,i}>v_{2,i}$, 
le velocità risultante del corpo colpito non può cambiare di 
verso, poiché entrambe le velocità hanno lo stesso verso. Mentre 
la velocità finale del primo corpo può rimanere concorde a 
quella iniziale o può essere di verso opposto.
\begin{gather*}
    \displaystyle v_{1,f}=\frac{(m_1-m_2)v_{1,i}+2m_2v_{2,i}}{m_1+m_2}\qquad
    \begin{cases}
        <0\qquad\displaystyle\frac{\strut m_1-m_2}{\strut 2m_2}<\frac{\strut v_{2,i}}{\strut v_{1,i}}<1\\
        >0\qquad\displaystyle\frac{\strut m_1-m_2}{\strut 2m_2}>\frac{\strut v_{2,i}}{\strut v_{1,i}}
    \end{cases}\\
    \displaystyle v_{2,f}=\frac{(m_2-m_1)v_{2,i}+2m_1v_{1,i}}{m_1+m_2}>0 \qquad m_2v_{2,i}+m_1((2v_{1,i}-v_{2,i}))>0\:\forall m_1,m_2\in\mathbb{R}^+
\end{gather*}



Se i due corpi convergono con velocità iniziali aventi 
versi opposti, le velocità finali possono avere 
versi opposti, oppure concordi ad una delle due velocità iniziali.
\begin{gather*}
    \displaystyle v_{1,f}=\frac{(m_1-m_2)v_{1,i}+2m_2v_{2,i}}{m_1+m_2}\qquad
    \begin{cases}
        <0 \qquad\displaystyle\frac{\strut m_1-m_2}{\strut 2m_2}<\frac{\strut v_{2,i}}{\strut v_{1,i}}\\
        >0 \qquad\displaystyle\frac{\strut m_1-m_2}{\strut 2m_2}>\frac{\strut v_{2,i}}{\strut v_{1,i}}
    \end{cases}\\
    \displaystyle v_{2,f}=\frac{(m_2-m_1)v_{2,i}+2m_1v_{1,i}}{m_1+m_2}\qquad
    \begin{cases}
        <0 \qquad\displaystyle\frac{\strut m_2-m_1}{\strut 2m_1}<\frac{\strut v_{1,i}}{\strut v_{2,i}}\\
        >0 \qquad\displaystyle\frac{\strut m_2-m_1}{\strut 2m_1}>\frac{\strut v_{1,i}}{\strut v_{2,i}}
    \end{cases}
\end{gather*}


\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{urti.pdf}%
\end{figure}

Se un corpo si scontra contro un oggetto immobile all'urto, 
allora si può analizzare come se avesse una massa inerziale 
tendente all'infinito, poiché si oppone al moto dell'oggetto. 
In questo caso il corpo che si scontra rimbalza contro l'oggetto 
con una velocità: 
\begin{equation}
    v_{1,f}=\displaystyle\lim_{m_2\to\infty}\frac{(m_1-m_2)v_{1,i}}{m_1+m_2}=\lim_{m_2\to\infty}\frac{\left(\frac{m_1}{m_2}-1\right)v_{1,i}}{\frac{m_1}{m_2}+1}=\frac{-1\cdot v_{1,i}}{1}=-v_{1,i}
\end{equation}

\subsubsection{Anelastici}


Un urto anelastico è un urto dove non viene conservata 
l'energia: $K_f<K_i$, si disperde nell'ambiente una porzione 
dell'energia cinetica iniziale sotto forma di calore. Di conseguenza, le velocità 
finali saranno minori dei loro valori in un urto elastico. 
\\
Un urto viene definito perfettamente anelastico se i due corpi dopo la collisione rimangono a contatto. L'energia cinetica non viene conservata, 
mentre la quantità di moto viene conservata. Dato che rimangono a contatto hanno la stessa velocità finale. 


Dati due corpi che si urtano di urto perfettamente anelastico, per la conservazione della quantità di moto prima e dopo l'urto si può determinare la velocità finale del sistema: 
\begin{gather*}
    \vect{p}_{1,i}+\vect{p}_{2,i}=\vect{p}_{1,f}+\vect{p}_{2,f}\\
    m_1\vect{v}_{1,i}+m_2\vect{v}_{2,i}=(m_1+m_2)\vect{v}_f\\
    \vect{v}_f=\displaystyle\frac{m_1\vect{v}_{1,i}+m_2\vect{v}_{2,i}}{m_1+m_2}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Per cui la velocità dei due corpi corrisponde 
alla velocità del centro di massa del sistema. 



Dato che una porzione dell'energia viene dissipata durante l'urto, le forze interne impulsive, non sono conservative. Poiché i corpi rimangono 
uniti dopo l'urto, si deformano, e l'energia dissipata corrisponde al lavoro necessario per deformare irreversibilmente i due corpi. 
Poiché la velocità dei corpi coincide alla velocità del centro di massa, 
l'energia cinetica del sistema sarà nulla nel sistema di 
riferimento concorde al centro di massa $K(S_{\mathrm{c.d.m.}})=0$, mentre sarà uguale all'energia 
cinetica del centro di massa in un qualsiasi sistema di riferimento inerziale $S$ 
ad esso $K(S)=K_{\mathrm{c.d.m.}}(S)$. Per cui l'energia dissipata durante l'urto può essere calcolata come la differenza tra l'energia cinetica prima dell'urto e 
l'energia cinetica del centro di massa, nello stesso sistema di riferimento inerziale. Per il secondo teorema di K\"oning, questa differenza è esattamente l'energia cinetica dei due punti materiali prima dell'urto 
nel sistema di riferimento del centro di massa: 
\begin{equation}
    E_\mathrm{dis.}=K_i(S)-K_{\mathrm{c.d.m.}}(S)=K_i(S_{\mathrm{c.d.m.}})
\end{equation}

\subsection{Momento di un Punto Materiale}


Lo stato di un punto può essere descritto mediante variabili 
lineari, ma per analizzare lo stato di un sistema di punti 
sono necessarie anche componenti rotazionali. Sono già state 
introdotte $\theta,\:\vect{\omega},\:\vect{\alpha}$, corrispettivi 
delle variabili lineari $\vect{r},\:\vect{v},\:\vect{a}$, ma 
mancano i corrispettivi rotazionali della forza $\vect{F}$ 
e del lavoro $W_{\Gamma}$. 
\\
Viene definito il momento $\vect{M}$ di un vettore $\vect{v}$, applicato ad un punto $Q$ rispetto ad 
un polo $P$ il prodotto vettoriale tra la distanza dal punto 
$P$ al punto $Q$ dove è applicato il vettore per il vettore $\vect{v}$ stesso: 
\begin{equation*}
    \vect{M}_P=\vect{r}_{PQ}\times\vect{v}=r_{PQ}v\sin\theta\:\hat{\vect{r}}_{PQ}\times\hat{\vect{v}}
\end{equation*}
In caso si volesse ottenere il momento rispetto ad un altro polo 
$P'$, dato  il vettore distanza tra i due poli $\vect{R}$: 
$\vect{r}_{P'Q}=\vect{r}_{PQ}-\vect{R}$. Il momento sarà:
\begin{equation*}
    \vect{M}_{P'}=\vect{r}_{P'Q}\times\vect{v}=(\vect{r}_{PQ}-\vect{R})\times\vect{v}=\vect{M}_P-\vect{R}\times\vect{v}
\end{equation*}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{momento-vettore.pdf}%
\end{figure}

Viene definito il momento angolare $\vect{L}$, il momento della 
quantità di moto applicato in un polo $P$:
\begin{equation} 
    \vect{L}_P=\vect{r}_P\times\vect{p}\left[\mathrm{m}^2\cdot \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-1}\right]
\end{equation}
Viene definito il momento torcente $\vect{\tau}_P$ o $(\vect{M}_P)$, il momento della forza applicato 
ad un polo $P$:
\begin{equation}
    \vect{\tau}_P=\vect{r}_P\times\vect{F}\left[\mathrm{m}\cdot \mathrm{N}\right]=[\mathrm{J}]
\end{equation}

Quando sono applicate più forze in un punto, il momento risultante è uguale al momento della risultante. 
Derivando il momento angolare applicato su un polo $P$ rispetto al tempo, si ottiene: 

\begin{equation}
    \displaystyle\frac{\df\vect{L}_P}{\df t}=\frac{\df\vect{r}_P}{\df t}\times\vect{p}+\vect{r}_P\times\frac{\df\vect{p}}{\df t}=\vect{v}_P\times\vect{p}+\vect{r}_P\times\vect{F}=\cancelto{0}{\vect{v}_P\times(m\vect{v})}+\vect{\tau}_P=\vect{\tau}_P
\end{equation}

Si considera per semplicità il caso dove la velocità del polo $P$ sia solidale alla velocità del punto materiale. 


Un qualsiasi moto può essere approssimato localmente come un moto circolare. Considerando il lavoro svolto in un moto circolare $W$, lo spostamento infinitesimo può essere espresso 
in termini polari $\df s=r\df\theta$. Il lavoro si può quindi esprimere rispetto al modulo del momento torcente: 
\begin{equation*}
    W=\displaystyle\int_{s_A}^{s_B}{F}_s \df s=\int_{\theta_A}^{\theta_B}F_sr\df\theta=\int_{\theta_A}^{\theta_B}\tau \df\theta
\end{equation*}




Feynman dimostrò quest'ultima relazione nel seguente modo. Si considera un punto che si 
muove su un traiettoria circolare su cui agisce una forza $\vect{F}$, 
e la variazione del vettore posizione del punto $\df\vect{r}$. Per 
variazioni infinitesime dell'angolo $\df\theta$, si può approssimare la variazione 
della posizione come $\df\vect{r}\approx r\sin \df\theta\hat{\vect{\tau}}$. Per 
$\df\theta\to 0\Rightarrow \sin \df\theta\approx \df\theta$, allora si può 
approssimare la variazione di posizione come $\df\vect{r}=r\df\theta\hat{\vect{\tau}}$. 


Il differenziale del lavoro è allora $\delta W =\vect{F}\cdot \df\vect{r}=\vect{F}\cdot\hat{\vect{\tau}}r\df\theta$, 
si scompone $\vect{F}$ nei suoi componenti $\delta W=(F_x\hat{\vect{x}}+F_y\hat{\vect{y}})\cdot\hat{\vect{\tau}}r\df\theta$. 
Si considera l'angolo $\varphi$ tra il versore $\hat{\vect{\tau}}$ e l'asse 
verticale $y$, allora: 

\begin{gather*}
    \begin{cases}
        \displaystyle\hat{\vect{x}}\cdot\hat{\vect{\tau}}=\cos\left(\varphi+\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\varphi\\
        \displaystyle\hat{\vect{y}}\cdot\hat{\vect{\tau}}=\cos\varphi
    \end{cases}\\
    \delta W =(F_x\hat{\vect{x}}\cdot\hat{\vect{\tau}}+F_y\hat{\vect{y}}\cdot\hat{\vect{\tau}})r\df\theta\\
    (-F_xr\sin\varphi+F_yr\cos\varphi)\df\theta\\
    (-F_xr_y+F_yr_x)\hat{\vect{z}}\cdot\hat{\vect{z}}\df\theta\\
    (r_xF_y\cdot\hat{\vect{z}}-r_yF_x\cdot\hat{\vect{z}}+0+0)\cdot\hat{\vect{z}}\df\theta\\
    (r_xF_x\hat{\vect{x}}\times\hat{\vect{x}}+r_xF_y\hat{\vect{x}}\times\hat{\vect{y}}+r_yF_x\hat{\vect{y}}\times\hat{\vect{x}}+r_yF_y\hat{\vect{y}}\times\hat{\vect{y}})\cdot\hat{\vect{z}}\df\theta\\
    (\vect{r}\times\vect{F})\cdot\hat{\vect{z}}\df\theta\\
    W=\displaystyle\int_{\theta_A}^{\theta_B}(\vect{r}\times\vect{F})\cdot\hat{\vect{z}}\df\theta=\int_{\theta_A}^{\theta_B}\vect{\tau}_P\cdot\hat{\vect{z}}\df\theta=\int_{\theta_A}^{\theta_B}{\tau}_{P,z}\df\theta\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{feynman-momento.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Momento di un Sistema di Punti Materiali}

In un insieme di punti, si calcolano i momenti rispetto 
al sistema di riferimento inerziale solidale al centro 
di massa del sistema $S_{\mathrm{c.d.m.}}$. La somma 
di tutti i momenti angolari del sistema è: $\vect{L}=\sum_{i=1}^{N}\vect{r}_i\times\vect{p}_i$, 
derivandola si ottiene la somma dei momenti torcenti 
del sistema: 
\begin{equation}
    \displaystyle\frac{\df\vect{L}}{\df t}=\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\df\vect{r}_i}{\df t}\times\vect{p}_i+\vect{r}_i\times\frac{\df\vect{p}_i}{\df t}\right)=\sum_{i=1}^{N}(\cancelto{0}{\vect{v_i}\times\vect{p}_i}+\vect{r}_i\times\vect{F}_i)=\vect{\tau}^\mathrm{tot}
\end{equation}
Il momento torcente totale non è uguale al momento torcente 
della forza totale del sistema: 
\begin{equation}
    \vect{\tau}^\mathrm{tot}\neq\vect{r}\times\vect{F}^\mathrm{tot}
\end{equation}
Poiché la posizione descritta dal vettore $\vect{r}$ non corrisponde ad alcun punto noto del sistema di punti, né al suo centro di massa, per cui il suo valore non è definito. 
Poiché la somma delle forze interne al sistema è nulla, è nulla anche la risultante dei loro momenti torcenti. Date due forze interne opposte 
$\vect{F}_{i\to j}=-\vect{F}_{j\to i}$, applicate su due punti 
$\vect{r}_i$ e $\vect{r}_j$, la somma dei momenti delle due forze 
è: $\vect{r}_j\times\vect{F}_{i\to j}+\vect{r}_i\times\vect{F}_{j\to i}=(\vect r_i-\vect r_j)\times\vect{F}_{j\to i}$, 
il vettore distanza $\vect{\df}=\vect{r}_i-\vect{r}_j$ è parallelo 
alla direzione su cui agiscono le forze per cui il prodotto 
vettoriale $\vect{\df}\times\vect{F}_{j\to i}$ è nullo. 
Il momento torcente totale allora è dato dalla sole forze esterne al sistema:
\begin{equation}
    \vect{\tau}_P=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}(\vect{r}_i\times\vect{F}^\mathrm{est}_i+\cancelto{0}{\vect{r}_i\times\vect{F}^\mathrm{int}_i})=\sum_{i=1}^{N}\vect{r}_i\times\vect{F}^\mathrm{est}_i
\end{equation}
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{momento-punti.pdf}%
\end{figure}

Dato un insieme di punti $\mathscr{S}$, ogni punto ha un suo momento angolare, la risultante di questi momenti corrisponde al momento angolare dell'intero sistema. 
Per ogni punto $P_i$ si considera la distanza del punto dal polo $P$ $\vect{\df}_{iP}$ per calcolarne il momento angolare $\vect{L}=\vect{\df}_{iP}\times\vect{p}_i$. La distanza $\vect{\df}_{iP}$ 
corrisponde alla differenza delle posizioni del punto $P_i$ e del polo $P$: $\vect{\df}_{iP}=\vect{r}_i-\vect{R}_P$, per cui si può esprimere il momento angolare rispetto alle 
posizioni del polo $\vect{r}_P$ e del punto $\vect{r}_i$: 
\begin{gather*}
    \vect{L}_P=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\vect{\df}_{iP}\times\vect{p}_i\\
    \vect{L}_P=\displaystyle\sum_{i=1}^N(\vect{r}_i-\vect{r}_P)\times\vect{p}_i
\end{gather*}
Derivando il momento angolare ottenuto nel sistema di riferimento inerziale $S$: 
\begin{gather*}
    \displaystyle\frac{\df\vect{L}_P}{\df t}=\sum_{i=1}^N\frac{\df(\vect{r}_i-\vect{r}_P)}{\df t}\times\vect{p}_i+\sum_{i=1}^N(\vect{r}_i-\vect{r}_P)\times\frac{\df\vect{p}_i}{\df t}\\
    \displaystyle\frac{\df\vect{L}_P}{\df t}=\sum_{i=1}^N\frac{\df\vect{r}_i}{\df t}\times\vect{p}_i-\sum_{i=1}^N\frac{\df\vect{r}_P}{\df t}\times\vect{p}_i+\sum_{i=1}^N(\vect{r}_i-\vect{r}_P)\times\vect{F}_i\\
    \displaystyle\frac{\df\vect{L}_P}{\df t}=\sum_{i=1}^N\cancelto{0}{\vect{v}_i\times\vect{p}_i}-\vect{v}_P\times\sum_{i=1}^N\vect{p}_i+\vect{\tau}_P\\
    \displaystyle\frac{\df\vect{L}_P}{\df t}=\vect{\tau}_P-\vect{v}_P\times\vect{p}^\mathrm{tot}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Se una delle seguenti condizioni è verificata: il polo è fermo, la quantità di moto totale del sistema è 
nulla, la velocità del polo e la quantità di moto 
totale del sistema sono paralleli, oppure il polo coincide con 
il centro di massa del sistema; allora l'evoluzione del momento angolare rispetto al polo $P$ dipende interamente dal momento delle forze applicate al polo $P$. Viene 
definita quest'espressione seconda equazione cardinale:  
\begin{equation*}
    ii)\;\displaystyle\frac{\df\vect{L}_P}{\df t}=\vect{\tau}_P
\end{equation*}
Se su un sistema di punti materiali è isolato, ed una delle condizioni della seconda equazione cardinale è verificata, il momento angolare si conserva per qualsiasi polo e la 
quantità di moto si conserva. Se non è isolato e il momento torcente risultante è nullo per un determinato polo, il momento angolare si conserva solo per quel determinato 
polo. 

\subsection{Coppie di Forze}

Dato un sistema composto da due punti materiali, perfettamente 
isolato: $\vect{F}^\mathrm{est}=\vect{0}$, descritto rispetto al sistema di riferimento del centro di massa $S_{\mathrm{c.d.m.}}$ 
dove la posizione del centro 
di massa rimane costante $\vect{p}_{\mathrm{c.d.m.}}=\vect{p}^\mathrm{tot}=\vect{0}$. 
Il sistema ruota intorno al centro di massa con una certa 
velocità angolare $\vect{\omega}$. Il momento angolare del sistema 
è dato dalla somma dei momenti angolari dei due punti: 
\begin{equation*}
    \vect{L}=\vect{L}_1+\vect{L}_2=\vect{r}_1\times m_1\vect{v}_1+\vect{r}_2\times m_2\vect{v}_2=(r_1m_1v_1+r_2m_2v_2)\hat{\vect{z}}
\end{equation*}
Se i due punti hanno masse uguali, la loro distanza dal centro di 
massa è uguale, e hanno una velocità uguale poiché hanno la stessa 
velocità angolare e distanza dal centro $\vect{v}=\vect{\omega}\times\vect{r},\:\vect{\omega}\perp\vect{r}\rightarrow v=\omega r$, 
il momento angolare del sistema risulta essere $\vect{L}=2mrv\hat{\vect{z}}=2mr^2\omega\hat{\vect{z}}=2mr^2\vect{\omega}$. 
Si considera $b$ la distanza tra le due masse $d_{m_1,m_2}$, 
il momento angolare può essere espresso come:
\begin{equation}
    \vect{L}=\displaystyle 2m\left(\frac{b}{2}\right)^2\vect{\omega}=\frac{mb^2}{2}\vect{\omega}=I\vect{\omega}
\end{equation}

\subsubsection{Momento d'Inerzia}

Dove viene definito il momento d'inerzia $I$:
\begin{equation*}
    I=\displaystyle\frac{mb^2}{2}\;\left[\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^2\right]
\end{equation*}
Rappresenta la resistenza del sistema ad una rotazione, analogamente a come  
la massa inerziale rappresenta quanto un corpo resiste ad uno spostamento. Il momento d'inerzia varia a seconda della disposizione dei punti nel sistema, come per il centro 
di massa, ma cambia a seconda dell'asse $z$ su cui ruota, per cui uno stessi sistema può avere momenti d'inerzia differenti in base alla posizione dell'asse di rotazione. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{inerzia.pdf}%
\end{figure}

\`{E} possibile, in certi casi, rappresentare il momento angolare di un sistema di punti materiali 
come il prodotto tra il momento di inerzia $I$ del sistema e la velocità angolare $\vect\omega$ del sistema. 

\subsection{Densità}

Dato un corpo esteso, di massa totale $M$ e volume $V$. Se esso è continuo è possibile dividerlo 
in volumetti di piccolo volume $\df V$, distanti $\vect{r}_i$ dal centro del sistema di 
riferimento, ciascuno avente una massa $\df m$. La suddivisione del corpo è 
$\df V=\df x\df y\df z$ in $3$ dimensioni, $\df S=\df x\df y$ in $2$ dimensioni, 
$\df L=\df x$ in $1$ dimensione. 

Data una suddivisione sempre più piccola del corpo, i suoi elementi tendono a diventare di volume infinitesimo $\df V\to 0$ e 
la massa tende anch'essa ad un valore infinitesimo $\df m\to 0$.

Si definisce la densità (di massa) $\rho$ di uno 
di questi volumetti il rapporto tra la loro massa infinitesima e la 
grandezza della loro suddivisione. In base alla dimensione 
del corpo si ha densità volumica:
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\df m}{\df V}\;\left[\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\right]
\end{equation*}
Densità superficiale: 
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\df m}{\df S}\;\left[\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-2}\right]
\end{equation*}
Densità lineare:
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\df m}{\df L}\;\left[\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}\right]
\end{equation*}
\\
Un corpo viene definito omogeneo se la densità di ogni 
suddivisione del corpo è uguale $\rho_i=\rho_j$, ovvero se ogni suddivisione infinitesima contiene la stessa massa $\df m$. 
La densità di un corpo omogeneo può essere calcolata dal rapporto 
tra la massa totale e la sua dimensione $\rho={M}/{V}$. 
Per un corpo non omogeneo la densità è una funzione della posizione $\rho(\vect{r})$, si può calcolare la massa integrandola su tutto il corpo: 
\begin{equation}
    M=\displaystyle\int_M \df m=\int_V \rho(x,y,z) \df V 
\end{equation}


Il centro di massa di un corpo esteso può essere calcolato considerando tutte le sue suddivisioni infinitesime: 
\begin{equation}
    \vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}=\lim_{N\to\infty}\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{r}_i}{\sum_{i=1}^{N}m_i}=\displaystyle\frac{1}{M}\int_M\vect{r}\df m=\displaystyle\frac{1}{M}\int_V\vect{r}\rho \df V
\end{equation}
Sia il vettore posizione che la densità sono funzioni a $3$ variabili $\vect{r}(x,y,z)$, $\rho(x,y,z)$ e il differenziale del volume può essere espresso come $\df V=\df x\df y\df z$, per cui questo integrale corrisponde 
ad un integrale triplo sulle tre direzioni $x$, $y$ e $z$ su cui è definito il corpo. 


Per cui la posizione del centro di massa di un corpo omogeneo non dipende dalla massa contenuta dal corpo, ma dalla sua forma. Se il corpo è simmetrico rispetto ad un punto, un 
asse o un piano, il centro di massa appartiene a quel'asse o quel piano oppure coincide con quel punto. Se sono presenti più di un asse o piano di simmetria, il centro di massa 
si trova sulla loro intersezione. 

\subsection{Corpo Rigido}

Viene definito corpo rigido un insieme di punti materiali la 
cui distanza relativa non varia nel tempo $|\vect{r}_i-\vect{r}_j|=\mathrm{cost.}$ Questo rappresenta un modello ideale di un corpo indeformabile. 
La distanza di ogni punto del corpo con il centro di massa 
rimane costante $|\vect{r}_i-\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}|=\mathrm{cost.}\:\forall i\in[1,N]$, quindi è possibile ottenere la posizione 
del centro di massa, dati due punti del corpo rigido. Per cui un 
corpo rigido ha sei gradi di libertà corrispondenti alla posizione di due punti in un sistema di riferimento inerziale.  
Viene definito corpo esteso un corpo rigido formato da un'
infinità di punti materiali. 
\\
Considerando un corpo rigido, su cui agisce una forza peso $\vect{F}_{{P,i}}$, 
su ogni punto del corpo, il momento torcente causato dalla forza 
peso del corpo è dato da: 
\begin{equation*}
    \vect{\tau}=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\vect{r}_i\times\vect{F}_{P,i}=
    \displaystyle\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{r}_i\times\vect{g}\frac{M}{M}=
    M\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vect{r}_i}{M}\times\vect{g}=
    \vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}\times M\vect{g}=
    \vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}\times \vect{F}_P^\mathrm{tot}
\end{equation*}
In questo caso la somma dei momenti torcenti è uguale al 
momento totale agente sul centro di massa. In generale questa 
relazione è valida solo la forza è costante nel tempo e le 
forze agenti sui vari punti del sistema sono parallele tra di loro: 
\begin{equation}
    \vect{\tau}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}F_i\vect{r}_i}{\sum_{i=1}^{N}F_i}\times\sum_{i=1}^{N}\vect{F}_I
\end{equation}
Dove si definisce il centro delle forze:
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{N}F_i\vect{r}_i}{\sum_{i=1}^{N}F_i}
\end{equation*}
\\
Data un'asta rigida di lunghezza $L$ e di densità lineare omogenea $\rho={M}/{L}$ , 
il suo centro di massa è dato da:
\begin{equation*}
    x_{\mathrm{c.d.m.}}=\displaystyle\frac{1}{M}\int_{0}^{L}x\rho \df x=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}x\df x=\frac{x^2}{L}\Bigg|_0^L=\frac{L}{2} 
\end{equation*}
\\
Dato un corpo rigido che ruota, in un sistema di riferimento inerziale, intorno ad un asse $z$ fisso con una 
velocità angolare $\vect{\omega}=\omega\hat{\vect{z}}=vR\hat{\vect{z}}$. Dove 
$R$ è il raggio della rotazione che compie un punto del corpo, ovvero la distanza del punto su un piano $x,y$ 
dall'asse $z$ di rotazione. Si esprime una variazione infinitesima di momento angolare: 
\begin{gather*}
    \df\vect{L}=\vect{r}\times \df\vect{p}=\vect{r}\times\vect{v}\:\df m\\
    \df L=r\cdot v\sin\displaystyle\frac{\pi}{2}\:\df m=\omega Rr\:\df m
\end{gather*}
Questo momento angolare è ortogonale al piano individuato dai vettori $\vect{r}$ e $\vect{v}$, per cui si trova ad un angolo $\alpha={\pi}/{2}-\theta$ dall'asse 
di rotazione $z$. In generale il momento angolare $\vect{L}$ non è parallelo all'asse di rotazione, per cui in generale non esiste una relazione di proporzionalità tra la velocità angolare 
lungo l'asse $z$ e il momento angolare. Considerando solo la componente assiale del momento angolare sull'asse $z$ si ottiene: 
\begin{gather*}
    \df L_z=\df L\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\omega Rr\sin\theta\:\df m=\omega R^2\df m\\
    L_z=\displaystyle\int_M\omega R^2\df m=\omega\int_M R^2\df m=\omega I_z
\end{gather*}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{corpo-rigido.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Momento d'Inerzia di un Corpo Rigido}

Viene definito momento d'inerzia $I_z$, rispetto all'asse fisso $z$, di un corpo rigido, l'integrale sull'intero corpo della distanza quadrata sul piano $(x,y)$ dall'asse $z$, 
$R^2=x^2+y^2$:  
\begin{equation}
    I_z=\displaystyle\int_M R^2\df m=\int_V R^2\rho \df V
\end{equation}
Il momento d'inerzia dipende dalle masse e dalla loro posizione rispetto all'asse di rotazione, non dipende solo dalla struttura del corpo come il centro di massa, poiché 
bisogna conoscere anche la posizione del corpo rispetto all'asse di rotazione. Il momento d'inerzia rispetto ad un asse fisso non considera la componente parallela della 
posizione, solo la sua proiezione sul piano ortogonale all'asse $z$.  




Se il corpo è formato da un numero discreto di punti allora 
il momento di inerzia è dato dalla somma dei momenti di inerzia dei punti per lo stesso asse di rotazione: $I_z=\sum_{i=1}^{N}R_i^2m_i$. 
Se dovesse cambiare la forma del corpo, cambierebbe 
il momento di inerzia, quindi si studia il momento d'inerzia 
rispetto corpi fissi. 
\\
La componente ortogonale all'asse di rotazione del momento angolare non dipende dal momento d'inerzia $I_z$:
\begin{equation*}
    L_{xy}=\omega\int_V Rr\cos\theta \rho \df V
\end{equation*}

Se corpo ruota su un asse di simmetria del corpo, il momento angolare totale ha una componente ortogonale all'asse di rotazione nulla. I contributi per ogni coppia di 
punti simmetrici tra di loro hanno componenti ortogonali simmetriche tra di loro, quindi si bilanciano a vicenda, e la risultante dei momenti angolari ortogonali è nulla. 
Più in generale se il corpo ruota su un asse di inerzia il momento angolare è parallelo all'asse di rotazione. 
\begin{equation}
    \vect{L}_{x,y}=\vect{0}\iff\vect{L}=\vect{L}_z=I_z\vect{\omega}
\end{equation}
Se il momento angolare presenta componenti 
nelle tre direzioni $(x,y,z)$, ognuna avente un suo momento 
di inerzia diverso, si può rappresentare il momento di inerzia 
complessivo come un tensore $I$ tale che:
\begin{equation*}
    \vect{L}=I\vect{\omega}\Rightarrow
    \begin{pmatrix}
        L_x\\
        L_y\\
        L_z
    \end{pmatrix}=
    \begin{pmatrix}
        I_{xx} & I_{xy} & I_{xz}\\
        I_{yx} & I_{yy} & I_{yz}\\
        I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
    \end{pmatrix}\cdot
    \begin{pmatrix}
        \omega_x\\
        \omega_y\\
        \omega_z
    \end{pmatrix}
\end{equation*}

Dato un corpo rigido è sempre possibile esprimere il suo momento di inerzia rispetto ad un asse di rotazione $z$ in funzione del raggio d'inerzia o raggio di girazione $k$. 
Viene definito come la distanza necessaria dall'asse $z$ ad un polo contenente tutta la massa del corpo rigido affinché il momento d'inerzia rimanga invariato. 
\begin{equation*}
    I_z=mk^2
\end{equation*}

\subsubsection{Cinematica del Corpo Rigido}

Se un corpo rigido si muove di un generico moto di traslazione a velocità costante $\vect{V}$, 
il centro di massa ha velocità: 
\begin{equation*}
    \vect{v}_{\mathrm{c.d.m.}}=\displaystyle\frac{\int_M\vect{V}\df m}{\int_M \df m}=\vect{V}
\end{equation*}    
La quantità di moto del corpo rigido è quindi: 
\begin{equation*}
    \vect{p}^\mathrm{tot}=\vect{p}_{\mathrm{c.d.m.}}=M\vect{V}
\end{equation*}
Essendo la velocità costante, per la prima equazione cardinale si ha:
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\df\vect{p}_{\mathrm{c.d.m.}}}{\df t}=\vect{F}^\mathrm{tot}=\vect0
\end{equation*}
Se la velocità varia nel tempo:
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\df\vect{p}_{\mathrm{c.d.m.}}}{\df t}=\vect{F}^\mathrm{tot}
\end{equation*}
La dinamica è quella di un punto materiale, non c'è rotazione rispetto al centro di massa, per cui il 
momento angolare dipende solamente dalla posizione del centro di massa e dalla sua quantità di moto:
\begin{equation*}
    \vect L=\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}\times\vect{p}_{\mathrm{c.d.m.}}
\end{equation*}    
La seconda 
equazione cardinale non aggiunge quindi alcuna informazione: 
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\df\vect{L}}{\df t}=\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}\times\vect{F}^\mathrm{tot}
\end{equation*}


Se un corpo rigido si muove di moto rotazionale con una velocità 
angolare $\vect{\omega}$ su asse di inerzia, ogni punto ha la stessa velocità angolare, ma una velocità tangenziale diversa a seconda della distanza 
dall'asse di rotazione. Si analizza mediante la seconda equazione cardinale:
\begin{equation}
    \displaystyle\frac{\df\vect{L}}{\df t}=I_z\frac{\df\vect\omega}{\df t}=I_z\vect\alpha=\vect{\tau}
\end{equation}
In generale la legge oraria del moto rotazionale viene ricavata dalla componente parallela all'asse di rotazione del momento torcente totale $\vect{\tau}$. 
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{\df\vect{L}}{\df t}=\frac{\df(\vect{L}_z+\vect{L}_{x,y})}{\df t}=\vect{\tau}_z+\vect{\tau}_{x,y}
\end{equation*}
Per ottenere una rotazione di velocità angolare costante, è necessario che la risultante dei momenti delle forze sia nulla. 



In generale il moto di un corpo rigido può essere sempre considerato come la somma di una traslazione e di una rotazione. Ogni punto del corpo rigido viene traslato 
allo stesso modo del centro di massa, e può ruotare indipendentemente su un asse $z$ traslato allo stesso modo. La velocità di traslazione $\vect{V}$ dipende dalla descrizione 
del moto, mentre la velocità angolare $\vect{\omega}$ è indipendente dalla descrizione del moto. In generale i componenti $\vect{V}$ e $\vect{\omega}$ sono quindi indipendenti 
tra di loro, il moto del corpo rigido è simile al moto di un sistema di riferimento non inerziale, poiché anch'esso contiene un termine di traslazione ed uno di rotazione. 

Se il corpo si muove di moto di rototraslazione il moto è descritto da:
\begin{equation}
    \begin{cases}
        \vect{a}_{\mathrm{c.d.m.}}=\displaystyle\frac{\strut 1}{\strut M}\frac{\strut \df\vect{p}}{\strut \df t}=\frac{\strut \vect{F}^\mathrm{tot}}{\strut M}\\
        \vect{\alpha}=\displaystyle\frac{\strut 1}{\strut I_z}\frac{\strut \df\vect{L}_z}{\strut \df t}=\frac{\strut \vect{\tau}_z-\vect{v}_P\times\vect{p}}{\strut I_z}
    \end{cases}
\end{equation}
Quindi un corpo rigido si trova in uno stato di quiete, o di moto rettilineo uniforme, se $\vect{F}^\mathrm{tot}=\vect{0}$ e $\vect{\tau}_z=\vect{0}$. 





L'energia cinetica del corpo in rotazione è data dalla somma delle energie 
cinetiche dei singoli punti, considerando un corpo esteso il 
numero di punti tende all'infinito:
\begin{equation}
    K=\displaystyle\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N}\frac{m_iv_i^2}{2}=\int_M\frac{v^2}{2}\df m=\int_M\frac{\omega^2R^2}{2}\df m=\frac{\omega^2}{2}\int_M R^2\df m=\frac{1}{2}I_z\omega^2
\end{equation}
Viene così definita l'energia cinetica rotazionale di un corpo rigido. 

\subsection{Teorema di Huygens-Steiner}
\begin{quotation}
    Il momento d'inerzia di un corpo rispetto a un asse di 
    rotazione qualsiasi è uguale alla somma del momento d'inerzia rispetto all'asse parallelo a quello dato e 
    passante per il centro di massa, e del prodotto della massa 
    per il quadrato della distanza tra i due assi:
    \begin{equation}
        I_z(S_O)=I_z(S_{\mathrm{c.d.m.}})+M\cdot R^2_{O(\mathrm{c.d.m.})}
    \end{equation}
\end{quotation}
Si considera un asse $z$ di un sistema di riferimento $S$, e 
un asse $z_{\mathrm{c.d.m.}}$ parallelo di un sistema di riferimento $S_{\mathrm{c.d.m.}}$. 
I centri dei due sistemi $O$ e $\mathrm{c.d.m.}$ sono distanti $\vect{R}_{O(\mathrm{c.d.m.})}$, 
la distanza dall'asse $z$ di un punto del corpo in $S$ espresso rispetto al 
sistema $S_{\mathrm{c.d.m.}}$ è: $\vect{r}(S_O)=\vect{r}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+\vect{R}_{O(\mathrm{c.d.m.})}$,  
dove $\vect{r}(S_{\mathrm{c.d.m.}})$ è la stessa distanza nel sistema $S_{\mathrm{c.d.m.}}$. 
Considerando il momento di inerzia nel sistema $S_O$: 
\begin{gather*}
    I_z=\displaystyle\int_M {r}^2(S_O)\df m\\
    \int_M({r}(S_{\mathrm{c.d.m.}})+{R}_{O(\mathrm{c.d.m.})})^2\df m\\
    \int_M r^2(S_{\mathrm{c.d.m.}})+R_{O(\mathrm{c.d.m.})}^2+2r(S_{\mathrm{c.d.m.}})R_{O(\mathrm{c.d.m.})}\df m\\
    \int_M r^2(S_{\mathrm{c.d.m.}})\df m+R_{O(\mathrm{c.d.m.})}^2\int_M \df m+2R_{O(\mathrm{c.d.m.})}\cancelto{0}{\int_Mr(S_{\mathrm{c.d.m.}})\df m}\\
    I_z(S_{\mathrm{c.d.m.}})+R_{O(\mathrm{c.d.m.})}^2M
\end{gather*}
Il componente:
\begin{equation*}
    \displaystyle\int_M r(S_{\mathrm{c.d.m.}})\df m=r_{\mathrm{c.d.m.}}(S_{\mathrm{c.d.m.}})M
\end{equation*}    
Corrisponde alla posizione del centro di massa nel sistema di riferimento del centro di massa, per cui è nulla. 

\subsection{Pendolo Fisico}
Quando un corpo rigido è vincolato ad un asse, soggetto 
alla sua forza peso tende a ruotare attorno ad esso. 
Poiché la forza peso agisce su un'unica direzione, il momento torcente generato è solamente sull'asse $z$, per cui $\vect{\tau}_{x,y}=\vect{0}$, 
la somma delle forze agenti sul sistema è nulla, poiché 
la forza peso viene bilanciata dalla reazione vincolare sul vincolo intorno a cui ruota: 
\begin{equation*}
    \vect{N}+\vect{F}_P=\vect{0}=\displaystyle\frac{\df\vect{p}}{\df t}
\end{equation*}
Allora il sistema non trasla, è soggetto alla sola rotazione. 
Per determinare il moto del corpo si applica la seconda 
equazione cardinale. Poiché l'unica forza applicata sul sistema è la forza peso si può usare la relazione $\vect{\tau}=\sum\vect{\tau}_i$, rispetto al 
centro delle forze, di posizione coincidente al centro di massa del sistema $\vect{r}=\vect{r}_{\mathrm{c.d.m.}}$:
\begin{gather*}
    \displaystyle\frac{\df\vect{L}}{\df t}=\frac{\df\vect{L}_z}{\df t}=\vect{\tau}_z\\
    I_z\displaystyle\frac{\df\vect{\omega}}{\df t}=\vect{r}\times\vect{F}_P\\
    I_z\ddot\theta\hat{\vect{z}}=-rMg\sin\theta\hat{\vect{z}}\\
    \mbox{per }\theta<<1\;\mathrm{rad}\rightarrow \sin\theta\approx\theta\Rightarrow\\
    I_z\ddot\theta=-rMg\theta
\end{gather*}
Il moto del corpo per piccole oscillazione si può approssimare come un moto armonico: 
\begin{equation}
    \omega=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{rMg}{I_z}}
\end{equation}
Ha un periodo di oscillazione 
\begin{equation*}
    T=2\pi\displaystyle\sqrt{\frac{I_z(S_O)}{rMg}}
\end{equation*}
Per il teorema di Huygens-Steiner: 
\begin{equation}
    T=2\pi\sqrt{\frac{I_z(S_{\mathrm{c.d.m.}})+Mr^2}{rMg}}=2\pi\sqrt{\frac{I_z(S_{\mathrm{c.d.m.}})}{rMg}+\frac{r}{g}}
\end{equation}


L'energia cinetica di un corpo rigido si ottiene considerando il momento d'inerzia per l'asse di rotazione $z$, si può esprimere rispetto al sistema di riferimento 
del centro di massa considerando il teorema di Huygens-Steiner:
\begin{equation*}
    K=\displaystyle\frac{1}{2}I_z(S_O)\omega^2=\frac{1}{2}(I_z(S_{\mathrm{c.d.m.}})+Mr^2)\omega^2=\frac{1}{2}I_z(S_{\mathrm{c.d.m.}})\omega^2+\frac{1}{2}Mv_{\mathrm{c.d.m.}}^2=K_{\omega,\:\mathrm{c.d.m.}}+K_{v,\:\mathrm{c.d.m.}}
\end{equation*}
Per cui l'energia cinetica di un corpo rigido è data dalla somma dell'energia cinetica rotazionale e di traslazione del centro di massa. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{pendolo-fisico.pdf}%
\end{figure}

\clearpage

\section{Termodinamica}

\subsection{Termometria}
Viene definita la grandezza fisica temperatura $T$. Nella 
meccanica statistica 
quantifica a livello microscopico l'agitazione delle molecole 
di un sistema. In termodinamica rappresenta uno stato di un  
sistema rispetto ad una temperatura di riferimento. La 
temperatura si misura in gradi Celsius $\left[^{\circ}\mathrm{C}\right]$ o 
Fahrenheit $\left[^{\circ}\mathrm{F}\right]$, oppure in Kelvin $\left[\mathrm{K}\right]$. 



Per misurare la temperatura di un sistema si usa un termometro, 
strumento che usufruisce della proprietà di alcuni materiali di 
espandersi o contrarsi a causa di un cambiamento di temperatura.  
Un termometro è formato da un materiale di questo tipo e da una scala graduata che misura la sua 
espansione rispetto all'aumento di temperatura. Viene definita 
una temperatura di riferimento arbitrariamente, corrispondente 
ad un'altezza base $h_0$, detta punto fisso.

Si definisce un grado $1^\circ$ della scala in base alla distanza $h$  
che compie l'espansione del materiale nel termometro ad un'altra temperatura 
scelta arbitrariamente.
\begin{equation*}
    1\mbox{°}\propto h-h_0\Rightarrow T=a(h-h_0)
\end{equation*}
Il punto fisso per i gradi Celsius viene definita 
alla temperatura di fusione del ghiaccio, mentre si definisce 
l'altezza relativa all'ebollizione dell'acqua ad una distanza 
di $100^\circ$ rispetto all'altezza di riferimento.



I gradi Kelvin vengono definiti in base 
all'agitazione termica delle molecole di un sistema. Viene 
definito lo zero assoluto la temperatura dove a livello 
microscopico è assente agitazione termica. Per definire un grado 
della scala si considera il punto triplo dell'acqua, dove coesistono in equilibrio i tre stati dell'acqua, ad una temperatura di $273.16\mathrm{K}$, 
corrispondente ad una temperatura di $0^\circ\mathrm{C}$. 
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{termometro.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Principio Zero e Stato Termodinamico}
Viene definito principio zero della termodinamica un postulato descritto 
successivamente ai primi tre, poiché considerato non necessario. 
Il postulato zero descrive l'equilibrio termico, definito 
come uno stato raggiunto da due corpi dove non avviene nessun 
cambiamento di temperatura tra i due. 



I due corpi si possono scambiare calore per conduzione, quando si trovano a contatto, convezione, quando un gas trasferisce il calore fra i due, o per irraggiamento, 
grazie ad onde elettromagnetiche. Se non viene raggiunto mai l'equilibrio termico tra due corpi, allora essi sono separati da una parete adiabatica, a differenza di una parete 
diaterma, non permette lo scambio di calore. 
Un sistema è detto adiabatico se è circondato da pareti adiabatiche, quindi non è in grado di scambiare calore con l'ambiente. 
Un sistema adiabatico rappresenta un caso limite, realizzabile per tempi brevi, mai in assoluto. 



Lo stato di equilibrio 
termico è transitivo, se due corpi sono in equilibrio termico 
con un terzo, allora quei due corpi sono in equilibrio termico 
tra di loro. 
\\
Lo stato termodinamico di un sistema dipende dalla temperatura, 
dal volume e dalla pressione applicata al sistema. Dove la pressione 
è definita come la forza esercitata su una data superficie:
\begin{equation*}
    p=\displaystyle\frac{F}{S}\left[\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2}\right]
\end{equation*}


Viene rappresentato lo stato termodinamico di un sistema in un sistema di 
riferimento $S(p,V,T)$, dove la pressione $p$, il volume $V$ e la temperatura $T$ vengono chiamate variabili di stato. 
Uno stato di equilibrio di un sistema termodinamico si esprime sotto forma di equazione di stato $f(p,V,T)=0$, nella sua forma implicita, oppure in una delle sue forme 
esplicite $p=p(v,T)$, $V=V(p,T)$ o $T=T(p,V)$. Verrà trattata in seguito l'equazione di stato di un gas ideale, usata per approssimare il comportamento di un qualsiasi 
gas con una certa precisione, in base alle sue condizioni. 



Una trasformazione termodinamica rappresenta un cambiamento di stato di un sistema, dati due stati in equilibrio termodinamico, viene 
rappresentata come una linea che collega due punti nel sistema $S(p,V,T)$. Se la trasformazione è reversibile, 
allora viene rappresentata come una curva continua, poiché 
il corpo durante la trasformazione ha uno stato definito, ovvero 
è in uno stato di equilibrio, per ogni punto della trasformazione tra gli stati iniziali e finali. 



Se una trasformazione 
è irreversibile viene rappresentata come una curva ondulata, 
poiché il sistema non presenta uno stato definito in ogni 
punto della trasformazione, quindi non può essere misurato il suo 
stato in un punto intermedio della trasformazione. 
\\
Se un sistema ha due stati definiti e può presentare stati 
definiti in ogni punto intermedio tra i due stati, allora è 
possibile trasformare il sistema da uno stato all'altro. Se non 
presente stati definiti intermedi, il suo stato sarà descritto da 
fenomeni microscopici, non reversibili. Si analizza il sistema dividendolo in vari domini ognuno di uno stato approssimativamente definito.  

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{stato-termodinamico.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Sistema Termodinamico}
Viene definito sistema termodinamico una porzione del mondo, costituita da una o più parti. 

Viene definito ambiente l'insieme di elementi esterni al sistema termodinamico che interagiscono con esso. 
Viene definito universo termodinamico complessivamente 
il sistema e l'ambiente. 



Un sistema viene definito chiuso rispetto all'ambiente 
se non possono avvenire scambi di materia tra i due, altrimenti si chiama aperto. Viene 
definito isolato quando non possono avvenire scambi di energia e di materia  
tra i due. 


\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{sistema-termodinamico.pdf}%
\end{figure}

Viene definita sorgente un oggetto che può scambiare calore, 
mentre la sua temperatura rimane costante. 


Si definisce la grandezza fisica calore misurata 
in calorie $[\mathrm{cal}]$, rappresenta una forma di energia scambiata durante le trasformazioni termodinamiche. 


Affinché un sistema 
passi da una temperatura ad un'altra bisogna applicare calore 
al sistema, questo calore può essere applicato in un intervallo 
di tempo arbitrariamente lungo, poiché la trasformazione 
termodinamica non dipende dall'intervallo di tempo impiegato. 



Sperimentalmente si è dimostrato che il differenziale parziale 
del calore è proporzionale alla differenza di temperatura tra i 
due stati del sistema $\delta Q \propto\Delta T$. Sempre 
sperimentalmente si è definita la costante di proporzionalità 
$C$ la capacità termica di un sistema, data dal prodotto tra il 
calore specifico $c$ di un materiale per la sua massa $C=c\cdot m$. 


Poiché la variazione di calore non è un 
differenziale esatto, il calore scambiato tra due corpi $A$ e $B$ 
sarà 
dipendente dal cammino $\Gamma_{AB}$ percorso dalla trasformazione nel 
sistema $S(p,V,T)$:
\begin{equation}
    \displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\delta Q =\int_{\Gamma_{AB}}C\:\df T
\end{equation}
Se la capacità termica è costante durante la trasformazione 
allora il calore scambiato non dipenderà dalla trasformazione 
effettuata:
\begin{gather*}
    C=\mathrm{cost.}\\
    \displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\delta Q =\int_{\Gamma_{AB}}C\:\df T=C\int_{\Gamma_{AB}}\df T=C\Delta T_{AB}\\
    Q=C\Delta T\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

Dati due corpi a temperature diverse $T_A$ e $T_B$ in grado di poter scambiare calore tra di loro allora
se il sistema è isolato il calore totale scambiato 
durante la trasformazione è nullo. Corrisponde alla  
somma dei calori scambiati tra i due corpi fino al raggiungimento dell'equilibrio termico alla temperatura $T_g$:
\begin{gather*}
    Q_\mathrm{tot}=Q_A+Q_B=0\\
    C_A(T_A-T_g)+C_B(T_B-T_g)=0\\
    C_B(T_B-T_g)=C_A(T_g-T_A)\\
    T_g=\displaystyle\frac{C_AT_A+C_BT_B}{C_A+C_B}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Nel caso di una sorgente la sua temperatura sarà costante 
quindi si avrà $T_g=T_A$, ciò è possibile solo se avesse 
un capacità termica tendente all'infinito: Per cui si definisce 
una sorgente un oggetto che presente una capacità termica $C_A\to\infty$. 
\\
Se la temperatura del sistema aumenta $\df T>0$ allora la 
quantità di calore scambiata con l'ambiente è positiva, 
quindi l'ambiente fornisce calore al sistema. Se invece la 
temperatura diminuisse, l'ambiente assorbirebbe calore dal 
sistema.
\begin{gather*}
    \delta Q\propto \df T\\
    \begin{cases}
        \df T>0\Rightarrow\delta Q_{A\to S}>0\\
        \df T<0\Rightarrow\delta Q_{A\to S}<0
    \end{cases}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}

\subsection{Primo Principio ed Energia Interna}
Un gas che si espande in un pistone idraulico eserciterà una pressione $p$, e di conseguenza una forza $F$ 
che sposta il pistone di un'altezza $\df h$, per cui produrrà un lavoro $\delta W$. 
Il lavoro prodotto dal gas sarà allora:
\begin{equation}
    \delta W=F\df h=pS\df h=p\df V
\end{equation}



Di conseguenza un sistema termodinamico eserciterà un lavoro positivo
sull'ambiente circostante se si espande, mentre subirà un 
lavoro negativo dall'ambiente esterno se si contrae. 
Il lavoro dipenderà dal tipo di trasformazione che ha provocato il cambiamento di pressione, quindi dipenderà dal percorso compiuto dalla trasformazione $\Gamma_{AB}$:
\begin{equation}
    W=\int_{\Gamma_{AB}}\delta W=\int_{\Gamma_{AB}}p(V,T)\df V
\end{equation}


Tramite una serie di esperimenti riuscì 
a scoprire la relazione tra lavoro, calore ed energia interna di un sistema termodinamico. 
Considerò due modi per poter cambiare la temperatura di un 
sistema, esercitando lavoro in un sistema isolato e fornendo 
calore ad un sistema senza esercitare lavoro. Uno di questi 
esperimenti consiste nel generare lavoro facendo cadere dei 
gravi legati ad una corda per far ruotare delle palette in 
un contenitore di acqua, in modo che l'attrito aumenti la temperatura dell'acqua. 


Tramite questo e altri esperimenti Joule scoprì che indipendentemente dal tipo di trasformazione  
impiegata tutte generano un cambiamento di temperatura, proporzionale all'energia fornita al sistema. 


Per una trasformazione adiabatica, ovvero con uno scambio di calore nullo, Joule scoprì che l'aumento della 
temperatura viene causato dal solo lavoro esercitato sul sistema. Inoltre scoprì 
che il lavoro necessario per alterare la temperatura del sistema è 
indipendente dal cammino intrapreso dalla trasformazione e 
costante. 



Per una trasformazione con scambio di lavoro nullo, l'aumento 
della temperatura viene causato dal calore assorbito dal 
sistema, ed è indipendente dal cammino intrapreso dalla trasformazione 
e costante.



Per una trasformazione con scambi di calore e lavoro non nulli, queste grandezze non saranno costanti, mentre la loro differenza è e proporzionale alla differenza 
di temperatura.  



Sulla base di queste ed altre evidenze sperimentali, Joule 
descrisse una funzione di stato del sistema $U$ che 
rappresenta l'energia interna del sistema. Nel caso di una 
trasformazione adiabatica il calore scambiato sarà nullo ed il 
lavoro esercitato sarà dato da:
\begin{equation}
    W=-\Delta U_{AB}
\end{equation}
Joule scoprì che allo stesso modo anche il calore scambiato 
può essere espresso 
rispetto alla funzione di stato, in caso il lavoro esercitato 
è nullo:
\begin{equation}
    Q=\Delta U_{AB}
\end{equation}
Analizzando una trasformazione generale Joule scoprì che 
la differenza tra il calore scambiato ed il lavoro esercitato è 
costante ed è uguale alla variazione di energia interna, da cui 
postulò il primo principio delle termodinamica:
\begin{quotation}
    In una trasformazione termodinamica generale la variazione 
    di energia interna del sistema è uguale alla differenza tra 
    il calore scambiato tra il sistema e l'ambiente e il lavoro 
    esercitato dal sistema sull'ambiente:
    \begin{equation*}
     (i)\:   Q-W=\Delta U
    \end{equation*}
\end{quotation}
Per cui fornendo energia ad un sistema, essa viene immagazzinata sotto forma di energia interna, e successivamente riutilizzata. 



Il lavoro esercitato dal sistema sull'ambiente si può 
esprimere come il lavoro esercitato dall'ambiente sul sistema 
ad una pressione $p_0$ a causa della variazione di volume 
del sistema:
\begin{equation*}
    W_S=-W_A=p_0\Delta V
\end{equation*}
Segue dal primo principio che la 
variazione della funzione di stato $U(p,V,T)$ di un sistema in uno stato 
di equilibrio dipende solamente dalle condizioni iniziali e 
finali del sistema. 

\subsection{Trasformazioni Termodinamiche}
Per il primo principio data una qualsiasi trasformazione, 
indipendentemente dal fatto sia reversibile o meno, è 
possibile trovare la variazione di energia interna del 
sistema
poiché dipende solamente dallo stato iniziale e finale del sistema. 
\begin{equation*}
    Q_1-W_1=Q_2-W_2=\Delta U_{AB}
\end{equation*}
Dal punto di vista meccanico l'energia interna di un 
sistema termodinamico agisce 
come l'energia potenziale, immagazzinando lavoro. 
Applicata una trasformazione infinitesima, si avrà:
\begin{equation*}
    \delta Q-\delta W=\df U
\end{equation*}

Per delle trasformazioni isobare, il differenziale del lavoro $\delta W$ corrisponde ad un differenziale esatto $\delta W=p\df V$. 
Allora si potrà descrivere il calore in termini dell'energia 
interna e del lavoro:
\begin{equation*}
    \delta Q=\delta W+\df U=p\df V+\df U
\end{equation*}
Il calore infinitesimo può essere espresso come: $\delta Q=cm\df T$, 
si può quindi esprimere il calore specifico come:
\begin{equation*}
    c=\displaystyle\frac{1}{m}\frac{\delta Q}{\df T}
\end{equation*}
Per i gas, è più conveniente esprimere il calore specifico 
rispetto al numero di moli $n$. Una mole è definita come un numero 
di Avogadro $N_A\approx 6\times10^{23}$ di molecole: 
\begin{equation*}
    n\:[\mathrm{mol}]:=\displaystyle\frac{N}{N_A}=\frac{n\cdot N_A}{N_A}
\end{equation*}
Dove $N$ è il numero di molecole totali nel gas. Il calore specifico molare verrà quindi espresso come: 
\begin{equation*}
    c=\displaystyle\frac{1}{n}\frac{\delta Q}{\df T}
\end{equation*}



Un gas è un fluido senza forma e volume proprio, occupa tutto il volume a sua disposizione ed è facilmente comprimibile. 
Per approssimare il suo comportamento viene definito 
un gas ideale, una rappresentazione di un gas molto 
rarefatto in un grande volume, a pressioni relativamente piccole 
e temperature relativamente alte. Poiché è molto rarefatto le 
molecole urtano solamente con le pareti, quindi il calore 
trasmesso da un gas ideale dipendo dall'energia cinetica delle 
molecole. 

Sulla base della legge isoterma di Boyle, sulle leggi isobare e isocore di Volta-Gay Lussac e sulla legge di Avogadro è stato possibile determinare un'equazione di stato 
generale per un qualsiasi gas ideale. Per cui un qualsiasi gas in uno stato di equilibrio che rispetta questa equazione viene considerato un gas ideale: 
\begin{equation}
    pV=nRT
\end{equation}
Dove $n$ è il numero di moli, $T$ è la temperatura in Kelvin, 
$R$ è la costante dei gas ideali. Se il gas viene espresso 
rispetto rispetto al numero di molecole, si usa la costante di 
Boltzman $k_{\mathrm{B}}$:
\begin{gather*}
    k_\mathrm{B}=\displaystyle\frac{R}{N_A}\\
    pV=nRT=\displaystyle\frac{N}{N_A}RT=Nk_\mathrm{B}T
\end{gather*} 
Dato l'equazione di stato di un qualsiasi gas reale, questa tenderà asintoticamente all'equazione di stato di un gas ideale al diminuire della pressione del gas. 



L'equazione di stato dei gas ideali è un'equazione a $3$ 
variabili, se il numero di moli non è costante sono $4$ 
variabili. Il generale il numero minimo di variabili necessarie per descrivere un sistema termodinamico non è fissato a priori, dipende dalla caratteristiche 
fisico-chimiche del sistema. In un sistema chiuso il numero di moli 
rimane costante $n=\mathrm{cost.}$. Viene considerata una delle $3$ variabili 
costante, nella rappresentazione di Clayperyon viene scelta 
la temperatura. Le trasformazioni vengono quindi rappresentate 
nel piano di Clayperyon $(p,V)$ come delle curve.  



Vengono descritte le seguenti trasformazioni notevoli:

\subsubsection{Isocora}
Una trasformazione isocora è una trasformazione termodinamica 
a volume costante, nel piano di Clayperyon viene rappresentata 
come una verticale, di verso verso l'alto se la temperatura 
aumenta, verso il basso se la temperatura diminuisce. 
\begin{equation*}
    V=\mathrm{cost.}\Rightarrow
    \displaystyle\frac{p}{T}=\mathrm{cost.}\Rightarrow
    \Delta p \propto\Delta T
\end{equation*}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{isocora.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Isobora}
Una trasformazione isobora è una trasformazione 
termodinamica a pressione costante, per cui il 
volume è direttamente proporzionale alla variazione di 
temperatura. Viene rappresentata sul piano di Clayperyon come 
una curva orizzontale, diretta verso sinistra se la 
temperatura diminuisce, oppure verso destra se la temperatura 
aumenta. 
\begin{equation*}
    p=\mathrm{cost.}\Rightarrow \Delta V\propto\Delta T
\end{equation*}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{isobara.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Isoterma}
Una trasformazione isoterma è una trasformazione termodinamica 
a temperatura costante:
\begin{equation*}
    T=\mathrm{cost.}\Rightarrow pV=\mathrm{cost.}\Rightarrow\Delta p\propto\displaystyle\frac{1}{\Delta V}
\end{equation*}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{isoterma.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Adiabatica}
Una trasformazione adiabatica è una trasformazione termodinamica 
dove il calore scambiato tra il sistema e l'ambiente è nullo, 
per cui il lavoro esercitato è uguale all'opposto della variazione 
dell'energia interna.
\begin{gather*}
    Q=0\Rightarrow W\propto\Delta V\Rightarrow W=\int p\:\df V
\end{gather*}
Nel piano di Clayperyon una trasformazione adiabatica è 
simile ad una trasformazione isoterma, ma l'adiabatica presente 
una pendenza sempre maggiore.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{adiabatica.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Ciclo Termodinamico}
Viene chiamato un ciclo termodinamico, una qualsiasi trasformazione 
termodinamica il cui stato iniziale e finale coincidono. Avrà 
quindi una variazione di energia interna nulla $\Delta U=0$, ed il 
lavoro risultante coincidente al calore scambiato sarà dato dall'area racchiusa dal ciclo 
nel piano di Clayperyon. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{ciclo.pdf}%
\end{figure}

Verrà effettuata una trasformazione isobara per 
passare dallo stato $A$ allo stato $B$, una trasformazione 
isocora per passare da $B$ a $C$, mentre due trasformazioni 
o isoterme o adiabatiche per passare da $C$ a $D$ e da $D$ a $A$. 
Si può notare come le prime due trasformazioni esercitino 
lavoro sull'ambiente e assorbano calore da esso, mentre 
le ultime due trasformazioni cedano calore dall'ambiente e 
subiscano lavoro dall'ambiente, poiché si ha $W\propto \Delta V$ 
e si ha una compressione del sistema che subisce la trasformazione 
da $C$ a $A$. Non necessariamente se il lavoro esercitato totale è 
congruente al calore totale assorbito, si avrà che il calore 
assorbito coincida con il lavoro esercitato o che il calore 
ceduto sia uguale al lavoro subito. Poiché il lavoro esercitato 
è un integrale si può dedurre come il lavoro totale sia 
coincidente all'area socchiusa dal ciclo, ovvero:
\begin{gather*}
    W^S=\displaystyle\int_{V_A}^{V_B}p\:\df V+\cancelto{0}{\int_{V_B}^{V_C=V_B}p_0(V)\:\df V}+\int_{V_C}^{V_D}p_1(V)\:\df V+\int_{V_D}^{V_A}p_2(V)\:\df V\\
    p\Delta V_{AB}-\int_{V_A}^{V_D}p_1(V)\df V-\int_{V_D}^{V_C}p_2(V)\:\df V
\end{gather*}
Vengono definite:

\begin{itemize}
    \item Macchina Termica:= ciclo che ruota in senso orario, 
    assorbendo calore e fornendo lavoro all'ambiente;
    \item Macchina Frigorifera:= ciclo che ruota in senso 
    antiorario, cedendo calore e subendo lavoro dall'ambiente.
\end{itemize}
Lo stesso ciclo termodinamico può essere sia frigorifero che 
termico, in base al verso in cui le trasformazioni vengono 
effettuate. Per misurare quanto un ciclo termico ``spreca" 
energia, ovvero di quanto diminuisce l'energia interna del 
sistema dopo un ciclo completo, si definisce l'efficienza di 
un ciclo termodinamico. 
Per un ciclo termico si considera l'efficienza termica $\eta$, 
definita come il rapporto tra il lavoro totale e ed il 
calore assorbito dall'ambiente necessario per attivare la 
macchina termica:
\begin{gather*}
    \eta:=\displaystyle\frac{W^\mathrm{tot}}{Q_\mathrm{ass}}\\
    W^\mathrm{tot}=Q_\mathrm{ass}+Q_\mathrm{ced}=Q_\mathrm{ass}-\left|Q_\mathrm{ced}\right|\\
    \eta=\displaystyle\frac{Q_\mathrm{ass}-\left|Q_\mathrm{ced}\right|}{Q_\mathrm{ass}}=1-\frac{\left|Q_\mathrm{ced}\right|}{Q_\mathrm{ass}}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Poiché il lavoro è positivo si ha che il calore ceduto  
è minore del calore assorbito dall'ambiente, quindi il loro 
rapporto è compreso tra $0$ e $1$: 
\begin{equation*}
    0<\left|\displaystyle\frac{Q_\mathrm{ced}}{Q_\mathrm{ass}}\right|\leq1
\end{equation*}
L'efficienza $\eta$ è compresa anch'essa tra $1$, per 
un'efficienza massima, e $0$, per un efficienza minima dove il 
lavoro prodotto dalla macchina è nullo.
\\
Per un ciclo frigorifero si considera l'efficienza frigorifera $\varepsilon$, 
data dal rapporto tra il calore assorbito $Q_\mathrm{ass}$ ed il lavoro 
$\left|W\right|$ complessivo subito dalla macchina, in questo caso negativo. 
Considerando il lavoro come somma tra calore assorbito e calore 
ceduto $W=Q_\mathrm{ass}+Q_\mathrm{ced}<0$, il calore ceduto sarà maggiore in modulo 
$\left|Q_\mathrm{ass}\right|<\left|Q_\mathrm{ced}\right|$, l'efficienza sarà 
quindi:
\begin{equation}
    \varepsilon:=\displaystyle\frac{Q_\mathrm{ass}}{\left|W\right|}=\displaystyle\frac{Q_\mathrm{ass}}{Q_\mathrm{ass}-\left|Q_\mathrm{ced}\right|}=\frac{1}{\displaystyle\frac{|Q_\mathrm{ced}|}{Q_\mathrm{ass}}-1}
\end{equation}
L'efficienza di un ciclo frigorifero è massima per un valore $0$, poiché il calore 
ceduto sarà tendente all'infinito. \'{E} minima 
per un valore tendente all'infinito, quando il calore assorbito 
dal sistema coincide con il calore ceduto. 

\subsection{Calorimetria}
Durante i suoi esperimenti sul calore Joule lo descrisse come 
un fluido calorico. A livello microscopico i fenomeni 
analizzati da Joule hanno le loro origini dall'agitazione 
delle molecole che, urtandone altre, trasmettono la loro 
velocità. Per cui il processo di trasferimento di calore richiede tempo, prima che si propaghi per tutto il corpo. 



La grandezza fisica calore è difficile da 
definire poiché quantifica qualcosa che dipende dal modello 
usato per descrivere la temperatura. Viene definita la 
caloria come unità di misura della grandezza calore come 
l'energia necessaria per aumentare di un grado centigrado 
la temperatura 
di un grammo di acqua, contemporaneamente viene assegnato al 
calore specifico dell'acqua il valore $1\:[\mathrm{cal}\cdot\mathrm{g}^{-1}\cdot\mathrm{^\circ C}^{-1}]$:
\begin{equation}
    1\:[\mathrm{cal}]=1\left[\mathrm{cal}\cdot\mathrm{g}^{-1}\cdot\mathrm{^\circ C}^{-1}\right]\cdot 1\left[\mathrm{g}\right]\cdot1\:\left[\mathrm{^\circ C}\right]
\end{equation}



Joule eseguì alcuni esperimenti sull'espansione libera del gas ideale. Usò contenitore adiabatico, diviso in due parti uguali, contenenti la prima una certa mole di gas, la seconda 
in una condizione di vuoto. Se il gas viene lasciato fluire liberamente nel contenitore, allora provocherà una trasformazione adiabatica 
e senza lavoro, poiché il gas non esercita una pressione contro l'ambiente per espandersi, entrando all'interno di un volume già presente. Questa trasformazione viene chiamata 
espansione libera. 

In base alle condizioni dell'esperimento, Joule scoprì che la temperatura rimane invariata. Inoltre
lo stato dell'ambiente rimane invariato, quindi la variazione 
di energia interna dell'ambiente è nulla $\Delta U^A=0$. Per 
il primo principio: 
\begin{gather*}
    \Delta U^S=Q-W=0\\
    \Delta U^{(S+A)}=\cancelto{0}{\Delta U^A}+\cancelto{0}{\Delta U^S}=0
\end{gather*}
Allora per un gas ideale la variazione di energia 
interna dipende dalla sola temperatura: $U=U(T)$. Questo risultato è vero solo per dei gas ideali. 



Considerando una trasformazione qualsiasi $A\to B$, essa può essere 
effettuata come una trasformazione isocora ed una isobara, 
o una isobara. Applicando all'intera trasformazione il primo 
principio si avrà nella trasformazione isocora:
\begin{equation*}
    \Delta U_{AC}=Q_{AC}=\int_{T_A}^{T_B}c_V(T)n\:\df T\approx c_Vn\int_{T_A}^{T_B}\df T=c_Vn\Delta T_{AB}
\end{equation*}
In un intorno abbastanza ristretto di temperature il calore specifico rimane costante e non dipende dalla temperatura. In una trasformazione isocora l'energia interna 
dipende dal solo calore scambiato, per cui dipende dalla sola temperatura e dal calore specifico molare a volume costante $c_V$. 


Poiché la seconda trasformazione 
è isoterma $\Delta T_{AB}=\Delta T_{AC}+\Delta T_{CB}=\Delta T_{AC}$. 



In una trasformazione isoterma l'energia interna del sistema 
si conserva, poiché non avviene un cambiamento di temperatura: 
\begin{equation*}
    \Delta U_{CB}^S=0
\end{equation*}
Joule verificò sperimentalmente la seguente relazione: 
\begin{equation}
    \Delta U^S_{AB}=\Delta U^S_{AC}+\cancelto{0}{\Delta U^S_{CB}}=c_Vn\Delta T_{AB}
\end{equation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{calorimetria.pdf}%
\end{figure}

\subsubsection{Relazione di Mayer}

Data una qualsiasi trasformazione reversibile di un gas ideale essa può essere sempre rappresenta come una trasformazione isobara ed una isoterma. Per cui uno scambio infinitesimo di calore $\delta Q$ 
corrisponde alla somma tra la variazione infinitesime di energia interna $\df U$ durante la trasformazione isobara ed il lavoro esercitato dal gas $\delta W$ durante la trasformazione isoterma: 
\begin{gather*}
    \delta Q=\delta W+\df U=p\:\df V+c_Vn\:\df T\\
    \delta Q :=c_gn\:\df T\\
    c_gn\:\df T=p\:\df V+c_Vn\:\df T\\
    c_g=\displaystyle\frac{p}{n}\frac{\df V}{\df T}+c_V
\end{gather*}
In una trasformazione qualsiasi, il calore specifico molare sarà sempre maggiore o uguale al calore specifico molare a volume costante. 
In una trasformazione isobara si considera il calore specifico molare a pressione costante $c_p=c_g$: 
\begin{gather*}
    c_p=\displaystyle\frac{p}{n}\frac{\df}{\df T}\left(\frac{nRT}{p}\right)+c_V\\
    c_p=R+c_V\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Questa viene definita relazione di Mayer, tra il 
calore specifico molare a pressione costante e a volume costante. Viene definito il fattore $\gamma$:
\begin{equation}
    \gamma=\displaystyle\frac{c_p}{c_V}
\end{equation}
Se la pressione non è costante, il calore specifico del gas 
ideale della trasformazione sarà dato da:
\begin{equation*}
    c_g=\displaystyle\frac{p}{n}\frac{\df}{\df T}\left(\frac{nRT}{p(T)}\right)+c_V
\end{equation*}

Per cui a parità di scambio di calore e temperature iniziali, la temperatura finale massima si ottiene in una trasformazione isocora, poiché in ogni altra trasformazione 
il gas compie anche lavoro. Il calore necessario per aumentare la temperatura di $n$ moli di gas ideale di $k$ gradi Kelvin sarà minima in una trasformazione isocora. 


Sperimentalmente si è determinato il calore 
specifico dei gas monoatomici a volume costante: 
\begin{equation}
    c_V=\displaystyle\frac{3}{2}R
\end{equation}
Mentre per i gas biatomici:
\begin{equation}
    c_V=\displaystyle\frac{5}{2}R
\end{equation}
Quindi il fattore $\gamma$ per i gas monoatomici 
corrisponde a: 
\begin{equation}
    \gamma=\displaystyle\frac{R+\frac{3}{2}R}{\frac{3}{2}R}=\frac{5}{3}
\end{equation}
Per i gas biatomici: 
\begin{equation}
    \gamma=\displaystyle\frac{R+\frac{5}{2}R}{\frac{5}{2}R}=\frac{7}{5}
\end{equation}

\subsection{Trasformazioni di Gas Ideali}
Si analizza il comportamento delle varie trasformazioni termodinamiche elementari rispetto al calore specifico.


In una trasformazione iscocora reversibile valgono le leggi osservate 
in precedenza per cui il calore scambiato è dato da: 
\begin{equation}
    Q=W+\Delta  U=p\cdot 0+c_Vn\Delta T_{AB}
\end{equation}
Fisicamente ciò viene approssimato ponendo il gas in un contenitore diatermico, e mettendolo a contatto con una numero elevato di sorgenti, a temperatura ognuna superiore, o 
inferiore, di poco della precedente. In caso ci sia solo una sorgente la trasformazione sarebbe irreversibile poiché il sistema e l'ambiente non sono in equilibrio termico 
tra di loro. 



In una trasformazione isobara reversibile, il lavoro generato sarà: 
\begin{equation*}
    W=\displaystyle\int_{V_A}^{V_B}p\:\df V=p\Delta V_{AB}
\end{equation*}    
Poiché la pressione a cui si trova il gas durante tutta la trasformazione corrisponde alla pressione 
del sistema e dell'ambiente $p=p_{S}=p_\mathrm{amb}$. Mentre il 
calore scambiato tra il sistema e l'ambiente sarà 
dato da: 
\begin{gather*}
    Q=W+\Delta U=p\Delta V_{AB}+c_Vn\Delta T_{AB}\\
    pV=nRT\Rightarrow p=\displaystyle\frac{nRT}{V}\\
    Q=\displaystyle\frac{nR\Delta T_{AB}}{\Delta V_{AB}}\Delta V_{AB}+c_Vn\Delta T_{AB}\\
    (R+c_V)n\Delta T_{AB}{,}\:c_p=R+c_V\\
    Q=c_pn\Delta T_{AB}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Se la trasformazione è irreversibile, se la pressione esterna è costante, ovvero se il processo avviene sotto la pressione atmosferica, il lavoro è comunque calcolabile 
considerando la pressione esterna $p_\mathrm{amb}$: 
\begin{equation*}
    W=p_\mathrm{amb}\Delta V_{AB}
\end{equation*}







In una trasformazione isoterma reversibile la temperatura rimane costante. Poiché la funzione di 
stato di un gas ideale dipende solo dalla temperatura essa 
sarà costante per tutta la reazione, e la sua variazione sarà 
nulla. Per cui per il principio il calore scambiato è uguale al lavoro esercitato:
\begin{gather}
    Q=W+0=\int_{V_A}^{V_B}p\:\df V=nRT\int_{V_A}^{V_B}\displaystyle\frac{\df V}{V}=nRT\ln\left(\displaystyle\frac{V_B}{V_A}\right)
\end{gather}
Questa trasformazione permette di trasformare interamente il 
lavoro esercitato sul sistema in calore e viceversa.



In una trasformazione adiabatica reversibile il lavoro complessivo 
sarà dato dall'opposto della variazione di energia interna del sistema. 
Considerando una variazione infinitesime si avrà:
\begin{gather*}
    \delta W=-\df U\\
    p\:\df V=-c_Vn\:\df T\\
    \displaystyle\frac{nR\:T}{V}\df V=-c_Vn\:\df T\\
    \displaystyle R\frac{\df V}{V}=-c_V\frac{\df T}{T}\\
    \displaystyle R\int_{V_A}^{V_B}\frac{\df V}{V}=-c_V\int_{T_A}^{T_B}\frac{\df T}{T}\\
    \displaystyle\frac{R}{c_V}\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)=\ln\left(\frac{T_B}{T_A}\right)\\
    \displaystyle\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\frac{R}{c_V}}=\frac{T_B}{T_A},\:\gamma=\frac{c_p}{c_V}=\frac{R+c_V}{c_V}=\frac{R}{c_V}+1\Rightarrow\frac{R}{c_V}=\gamma-1\\
    \displaystyle\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_B}{T_A}\\
    T_BV_B^{\gamma-1}=T_AV_A^{\gamma-1}\tag{\stepcounter{equation}\theequation}
\end{gather*}
Considerando l'equazione di stato dei gas ideale $pV=nRT$, si può esprimere rispetto alle altre variabili termodinamiche. Queste tre equazioni vengono chiamate equazioni 
di una trasformazione adiabatica reversibile di un gas ideale.  
\begin{gather}
    T_B^{\gamma}p_B^{1-\gamma}=T_A^{\gamma}p_A^{1-\gamma}\\
    p_BV_B^{\gamma}=p_AV_A^{\gamma}
\end{gather}
Da quest'ultima è possibile notare come il comportamento di una 
trasformazione adiabatica sia simile ad una trasformazione 
isoterma, avendo nel piano di Clayperyon una pendenza 
maggiore, dovuto all'esponente $\gamma>1$. 


Una trasformazione adiabatica reversibile rappresenta un caso limite, poiché come già discusso in precedenza un processo completamente adiabatico in natura potrà resistere 
per poco tempo. Per essere reversibile e mantenere l'adiabaticità bisogna svolgere la trasformazione molto lentamente, ma una trasformazione adiabatica in natura comporta una variazione rapida di 
volume affinché non ci sia uno scambio di calore. Una trasformazione adiabatica reversibile rappresenta quindi in natura un caso limite. L'espansione libera di Joule rappresenta 
una trasformazione sia adiabatica che isoterma, ciò è possibile poiché si tratta di una trasformazione irreversibile, ciò sarebbe impossibile per una trasformazione reversibile. 


Se la trasformazione adiabatica è irreversibile tra due stati $A$ e $B$, allora si possono ottenere informazioni solo sulla variazione di energia interna, non sulle 
relazioni tra le coordinate termodinamiche:
\begin{equation*}
    W_{AB}=-\Delta U_{AB}=-nc_V(T_B-T_A)=\displaystyle n\frac{1}{\gamma-1}(p_AV_A-p_BV_B)
\end{equation*}
Si avrà un'espansione adiabatica se la temperatura diminuisce, mentre si avrà una compressione adiabatica se la temperatura aumenta. 


Poiché il calore 
specifico di un gas ideale in una reazione isobara è sempre 
maggiore del calore specifico in una reazione isocora. 


Segue che 
una reazione adiabatica riduce la pressione in maniere maggiore 
rispetto ad una trasformazione isoterma per uno stesso 
cambiamento di volume.


Il lavoro compiuto da un gas in una qualsiasi trasformazione ciclica reversibile corrisponde all'area racchiusa dal ciclo stesso nel piano di Clayperyon. Il lavoro è positivo 
se si tratta di una macchina termica, negativo per una macchina frigorifera. 

\subsection{Teoria Cinetica}


Le proprietà elastiche dei gas e l'esistenza della pressione sulle pareti del contenitore di un gas, avevano suggerito che i gas fossero composti da particelle in moto 
continuo. Joule fornì una spiegazione microscopica 
dei fenomeni macroscopici della termodinamica, analizzando 
un caso molto semplificato di un gas ideale, avente le seguenti 
caratteristiche:
\begin{itemize}
    \item Le singole particelle sono approssimata a delle sferette rigide;
    \item Le particelle si scontrano con l'ambiente di urti elastici;
    \item Il sistema analizzato è isolato, non sono presenti forze 
    esterne nel sistema, e tutte le forze interne sono impulsive;
    \item Le traiettorie vengono approssimate come fossero dei 
    moti rettilinei uniformi, a causa dell'\\elevata velocità 
    delle particelle;
    \item Le particelle sono distribuite spazialmente uniformemente;
    \item Hanno velocità isotrope, ovvero la probabilità che 
    il vettore posizione sia in una qualsiasi direzione è uniforme. 
\end{itemize}
Il gas si trova in un contenitore cubico di lato $a$, 
si analizza il comportamento di una singola particella.



Il contenitore non si muove 
dopo l'urto, quindi la particella del gas avrà una velocità 
finale $\vect v_f=-\vect v_i$.  
Una singola particelle sarà soggetta ad una forza impulsiva 
$\vect{F}_{p\to g}$, 
per essersi scontrata con la parete. Si misura la forza in 
un intervallo di tempo $\Delta t$, integrando su questo intervallo la forza misurata si ottiene 
la variazione di quantità di moto in quel dato intervallo di tempo:
\begin{equation*}
    \int_{t_0}^{t_1}\vect{F}_{p\to g}\:\df\tau=\Delta\vect{p}
\end{equation*}
Si suppone l'urto avvenga lungo un'unica direzione
\begin{equation*}
    \int_{t_0}^{t_1}F_{p\to g, x}\:\df\tau=\Delta p_x=m(v_{f,x}-v_{i,x})=-2mv_{i,x}
\end{equation*}
Questa forza eserciterà un lavoro sull'ambiente 
$\delta W=p\df V$. Supponendo che le particelle non si urtino 
tra di loro, se l'urto avviene su una sola direzione, il percorso che compiono per ritornare ad urtare la stessa parete equivale a due volte la lunghezza di una parete: 
$\Delta x=2a$. 
L'intervallo di tempo tra due urti equivale al tempo con 
cui una particella percorre questa distanza: 
\begin{equation*}
    \Delta t_\mathrm{urto}=\displaystyle\frac{\Delta x}{v_x}=\frac{2a}{v_x}
\end{equation*}
Nell'intervallo di tempo che stiamo misurando una singola particella effettuerà  
un numero $h$ di urti su una delle pareti del contenitore, calcolato come il rapporto tra il tempo di misurazione ed il ``periodo" di un urto: 
\begin{equation*}
    h=\displaystyle\frac{\Delta t}{\Delta t_\mathrm{urto}}=\frac{v_x\Delta t}{2a}
\end{equation*}
Si suppone che la forza impulsiva sia costante nell'intervallo di tempo 
misurazione, allora per ognuno degli $h$ urti verrà scambiata una 
quantità di moto:
\begin{gather*}
    \int_{t_0}^{t_1}F_{p\to g,x}\df\tau=F_{p\to g,x}\Delta t=-2mv_{i,x}
\end{gather*}
La variazione totale di quantità di moto, per una singolar particella corrisponderà alla variazione di quantità di moto di un singolo urto moltiplicata per il numero $h$ di 
urti: 
\begin{equation*}
    \Delta p_x=-2hmv_{i,x}
\end{equation*}
Per il terzo principio, poiché il gas esercita una certa forza sulla parete, anche la parete eserciterà una forza di verso opposto e stesso modulo sul gas: 
$F_{g\to p}=-F_{p\to g}$. 
La variazione di quantità di moto complessiva di una singola particella $\Delta p_x$ può essere quindi espressa rispetto alla forza esercitata dal gas sulla parete: 
\begin{equation*}
    F_{g\to p}\Delta t=2hmv_{i,x}
\end{equation*}
La forza esercitata dal gas sull'ambiente in un singolo 
urto sarà data da:
\begin{equation*}
    F_{g\to p}=\displaystyle h\frac{2mv_{i,x}}{\Delta t}=\frac{v_{i,x}\Delta t}{2a}\frac{2mv_{i,x}}{\Delta t}=\frac{mv_{i,x}^2}{a}
\end{equation*} 
Una singola particella eserciterà sull'ambiente una pressione:
\begin{equation*}
    p_i=\displaystyle\frac{F_{g\to p}}{a^2}=\frac{mv_{i,x}^2}{a^3}
\end{equation*}
La pressione totale sarà data dalla somma di tutte le 
pressioni esercitate dalle particelle del gas:
\begin{equation*}
    p^\mathrm{tot}=\sum_{i=1}^{N}p_i=\displaystyle\frac{m}{V}\frac{\sum_{i=0}^Nv_x^2}{N}N=\frac{mN\overline{v_x^2}}{V}
\end{equation*}
Dove $\overline{v_x^2}$ o $\braket{v_x^2}$ è la velocità quadratica 
media, si usa al posto di una media normale, poiché essendo le 
velocità costanti e isotrope, la loro media è nulla.



Le particelle hanno tutte la stessa massa, quindi si può 
considerare la massa del gas come: $M=m\cdot N$, dove 
$m$ è la massa di una singola particella.
La pressione totale può quindi essere espressa come:
\begin{equation*}
    p=\displaystyle\frac{mN\overline{v_x^2}}{V}=\frac{M}{V}\overline{v_x^2}=\rho\overline{v_x^2}
\end{equation*}
Dove $\rho$ è la densità del gas. 
La velocità media quadratica totale 
è data dalla somma dalla velocità media quadratica su ogni 
direzione, ma essendo isotrope le velocità medie quadratiche 
sono uguali, per cui si può esprimere la velocità media 
quadratica come:
\begin{equation*}
    \overline{v^2}=\overline{ v_x^2}+\overline{ v_y^2}+\overline{ v_z^2}=\overline{v_x^2}
\end{equation*}
Quindi la pressione totale sarà:
\begin{equation*}
    p=\displaystyle\frac{\rho\overline{ v^2}}{3}
\end{equation*}
Questa pressione rappresenta un effetto macroscopico, espresso 
rispetto alle caratteristiche delle sue componenti microscopiche. 
Maggiore è il modulo delle velocità delle particelle, maggiore 
è la pressione totale esercitata dal gas sull'ambiente $p\propto v$. 
Considerando l'equazione di stato di un gas ideale $pV=nRT$, si può esprimere la temperatura rispetto alle caratteristiche microscopiche del gas: 
\begin{gather*}
    \displaystyle\frac{\rho\overline{ v^2}}{3}=\frac{nRT}{V}
\end{gather*}
\begin{gather}
    T=\displaystyle\frac{\rho\bar v^2 V}{3nR}=\frac{M\overline{ v^2}}{3nR}
\end{gather}
Analogamente alla pressione la temperatura risulta direttamente proporzionale alla velocità delle particelle $T\propto v$. 

Considerando l'energia cinetica di una singola particella che si muove di velocità quadratica media $\overline{v_x^2}$, potrà essere espressa rispetto alle caratteristiche 
macroscopiche del gas: 
\begin{gather*}
    K_g=\displaystyle\frac{1}{2}M\overline {v^2}=\frac{3}{2}nRT=\frac{3}{2}\frac{N}{N_A}RT=\frac{3}{2}\frac{R}{N_A}NT
\end{gather*}
Viene definita la costante di Boltzman: 
\begin{equation*}   
    k_\mathrm{B}=\displaystyle\frac{R}{N_A}
\end{equation*}
Con la quale si può esprimere l'energia cinetica di un gas ideale 
rispetto alla temperatura del gas:
\begin{equation*}
    K^\mathrm{tot}=\displaystyle\frac{3}{2}NkT=NK_{(i)}
\end{equation*}
Si assume l'energia potenziale trascurabile, per cui 
l'energia totale del sistema è data da:
\begin{equation}
    E^S=NK_i=\displaystyle\frac{3}{2}NkT
\end{equation}
L'energia totale è quindi direttamente proporzionale alla 
temperatura del sistema in Kelvin, equivale all'energia cinetica totale del gas: 
\begin{gather*}
    E^S= U=\displaystyle\frac{3}{2}NkT=\frac{3}{2}\frac{R}{N_A}NT=\frac{3}{2}nRT\\
    \Delta U=c_Vn\Delta T\\
    c_V=\displaystyle\frac{3}{2}R
\end{gather*}
Tramite la teoria cinetica viene dimostrato che il calore 
specifico molare a volume costante di un gas ideale 
monoatomico risulta essere: 
\begin{equation*}
    c_V=\displaystyle\frac{3}{2}R
\end{equation*}

\subsubsection{Teoria dell'Equipartizione dell'Energia}


Considerando l'energia totale di un gas monoatomico:
\begin{gather*}
    E=E_x+E_y+E_z=\displaystyle\frac{3}{2}NkT\\
    E_x=E_y=E_z=\displaystyle\frac{1}{2}NkT
\end{gather*}
L'energia corrispondente ad ogni grado di libertà della particella $(x,y,z)$ equivale a $NkT/2$, per cui l'energia totale di una singola particella di un 
gas può essere espressa rispetto al numero dei suoi gradi di libertà $l$. 
\begin{equation*}
    E=l\times\frac{1}{2}NkT
\end{equation*} 
\`{E} già stato dimostrato precedentemente come un gas monoatomico necessiti di tre gradi di libertà per descrivere la sua energia $(v_x,v_y,v_z)$.  



Per un gas biatomico, le sue molecole vengono approssimate 
come un corpo rigido, quindi potranno ruotare con una certa 
velocità angolare, quindi saranno necessari $5$ gradi di 
libertà per poter descrivere l'energia: le velocità del 
centro di massa e le velocità angolare sull'asse $z$, e sul piano ortogonale ad esso $xy$: 
$(v_x,v_y,v_z,\omega_{xy},\omega_z)$, l'energia del gas  
sarà quindi: $E=5NkT/2$. 

Se il gas biatomico si trova ad alte temperature, comincerà a vibrare, per cui sarà necessario considerare altri due gradi di libertà per descrivere le vibrazioni di 
entrambe le particelle: $E=5NkT/2$. 



Se un gas biatomico viene riscaldato ad una temperatura molto 
alta, comincerà a vibrare, rendendo necessario usare altri due 
gradi di libertà per descrivere questa vibrazione, l'energia 
sarà quindi: $K={7}NkT/2$. 



Se le molecole sono posizionate in un reticolo cristallino, i legami tra la singola 
molecola e i suoi $6$ primi vicini, cominceranno a 
vibrare di un moto, simile ad un moto armonico, per 
cui servirà un altro grado di libertà per descrivere 
la velocità della vibrazione, e altre $6$ per descrivere 
l'energia potenziale elastica che questa vibrazione genera, 
l'energia totale sarà allora: $E=12NkT/2=6NkT$. 



L'aumento da un livello energetico ad un altro non è 
continuo, poiché l'energia viene trasmessa discretamente in 
pacchetti di energia. Nell'intorno dove aumenta il livello 
energetico, l'energia aumenta rapidamente, per poi 
rimanere costante per tutto il livello successivo. 
\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{energia.pdf}%
\end{figure}

\subsection{Secondo Principio della Termodinamica}


Il primo principio presenta delle limitazioni 
nella sua descrizione dei fenomeni termodinamici. 



Dato un sistema conservativo, per il lavoro ed il calore nulli, la variazione di energia interna è la variazione di energia meccanica. 



Se su un sistema agisce un lavoro meccanico dall'ambiente esterno, ed il sistema è isolato, la variazione di energia interna dipenderà anche dal lavoro esercitato sul 
sistema $S$. 



In caso non possa essere supposto nulla sul sistema $S$, si applica il primo principio per determinare la variazione di energia interna del sistema.



Tutte le trasformazioni compatibili con il primo principio possono essere così descritte. 
\\
Se si volesse trasformare tutto il 
lavoro in calore, allora si avrebbe una variazione nulla di energia 
interna del sistema, avrà quindi temperatura costante e sarà 
quindi una trasformazione isoterma di un gas ideale. Una 
trasformazione inversa invece, descrivibile tramite il primo 
principio, non potrà essere fisicamente possibile, poiché 
richiederebbe l'esistenza di una trasformazione che trasforma 
tutto il calore ceduto dal sistema in lavoro esercitato sull'ambiente. 
\\
Considerando due corpi a temperature diverse, spontaneamente 
avviene un trasferimento di calore tra il corpo più caldo al 
corpo più freddo fino ad uno stato di equilibrio 
termico. Questa trasformazione non comprende uno 
scambio di lavoro, si avrà una variazione di energia 
interna nulla durante la trasformazione. 
\\
Dato un ciclo termodinamico reversibile, è sempre possibile invertire le trasformazioni per percorrere il ciclo in senso opposto. Percorrendo 
il ciclo in senso inverso gli scambi energetici tra il sistema e l'ambiente sono eguali e opposti, ritornando allo stato di partenza. Una trasformazione reversibile non 
comporta alterazioni permanenti al sistema, è sempre possibile ritornare agli stati iniziali del sistema e dell'ambiente. 



Se il ciclo è irreversibile, anche invertendo gli scambi energetici tra il sistema e l'ambiente, è impossibile ritornare allo stato iniziale, poiché le trasformazioni 
irreversibili producono meno energia di una trasformazione reversibile, per cui ad ogni ciclo l'universo perde energia utilizzabile. Sarà possibile ritornare allo stato iniziale 
del sistema, ma l'ambiente sarà modificato in maniera irreversibile o viceversa. 


Spesso le trasformazioni reversibili rappresentano delle idealizzazioni di fenomeni reali, essendo tutti i fenomeni reali irreversibili. Per cui le trasformazioni reversibili 
rappresentano dei limiti superiori delle grandezze analizzate. 
\\
Quindi 
il calore ceduto dal primo corpo corrisponde interamente al 
calore assorbito dal secondo. Solamente rispettando il primo 
principio è possibile descrivere una trasformazione 
inversa, mantenendo le stesse relazioni, ovvero da due 
corpi in equilibrio termico, uno dei due spontaneamente cede 
all'altro una data quantità di calore. Ma ciò non è 
realizzabile in natura.
\\
Questo dimostra i limiti della descrizione fisica del 
primo principio della termodinamica. Venne quindi 
descritto in due forme equivalenti da Kelvin e da Clausius 
il secondo principio della termodinamica. 

\subsubsection{Enunciato di Kelvin-Planck}

Kelvin sulla base delle limitazioni del primo principio descrisse il secondo principio della termodinamica: 
\begin{quotation}
    Non esiste una trasformazione termodinamica, il cui unico 
    risultato è assorbire calore e trasformarlo interamente in 
    lavoro. 
\end{quotation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{kelvin.pdf}%
\end{figure}

Un sistema che trasforma tutto il calore assorbito in lavoro 
cambierà il suo stato, non potrà quindi ripetere 
la stessa trasformazione. Sarà necessaria un'altra fonte di 
energia per permettere al sistema di ritornare allo stato iniziale. 
Vengono quindi considerati solamente cicli termodinamici, la macchina descritta da Kelvin coincide con un ciclo monotermo, utilizzando una sola sorgente, quindi non può 
essere realizzabile fisicamente. 


Questo è uno dei motivi per cui non può esistere un moto 
perpetuo, poiché la quantità di energia utilizzabile in un sistema isolato diminuisce nel tempo, per cui non sarà in grado di alimentare 
indefinitamente il moto. 
\\ 
Per trasformare il calore interamente in lavoro è necessaria una trasformazione 
isoterma. Per ritornare allo stato iniziale si possono considerare 
due trasformazioni isocore, ed un'altra isoterma, ad una temperatura $T_1$ 
minore della prima. Questo mostra come sia necessario utilizzare un'altra sorgente per descrivere la macchina di Kelvin. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{kelvin-1.pdf}%
\end{figure}

Il sistema cederà calore per le trasformazioni da $B$ a $D$ e 
assorbirà calore durante le trasformazioni da $D$ a $B$. 
Per chiudere il ciclo sarà necessario dissipare una parte del 
calore totale. 


Se al posto di trasformazioni isoterme vengono 
usate trasformazioni adiabatiche, si avrà una variazione 
di energia interna del sistema nulla, come il lavoro totale. 
Quindi il lavoro esercitato sull'ambiente è uguale al lavoro 
esercitato sul sistema. 


Per riportare il sistema alla temperatura 
iniziale $T_1$ sarà necessario usare una seconda sorgente ad 
una temperatura $T_2<T_1$. 

\subsubsection{Enunciato di Clausius}


Clausius descrisse il secondo principio: 
\begin{quotation}
    Non esiste un ciclo frigorifero che scambia calore da un corpo 
    di temperatura minore ad un corpo di temperatura maggiore.
\end{quotation}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{clausus.pdf}%
\end{figure}

Per dimostrare che sono due forme equivalenti si suppone possa esistere 
uno di questi due cicli descritti da Kelvin e Clausius, e si dimostra come si possa esprimere l'altro rispetto a questo. 
\\
Si suppone possa esistere il ciclo descritto da Kelvin, allora il lavoro 
generato da esso da una sorgente a temperatura $T_1$, potrà essere usato per 
fornire energia ad un ciclo frigorifero che trasferisce calore dalla 
sorgente $T_1$, ad un'altra sorgente $T_2>T_1$. 

Sarà possibile creare una 
macchina descritta da Clausius, se questa non dovesse esistere, allora 
necessariamente non dovrebbe neanche esistere una macchina di Kelvin.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{secondo-principio-1.pdf}%
\end{figure}

Analogamente, se esistesse una macchina di Clausius sarebbe possibile 
fornire calore da una sorgente $T_1$ ad un'altra $T_2>T_1$, questo 
calore potrà essere trasferito ad una macchina termica, che ne trasformerà una 
parte in lavoro $W$, cedendo l'energia restante come calore alla sorgente $T_1$. 
Per cui la sorgente a temperatura $T_2$ riceverà e cederà la stessa quantità di calore, per può 
essere ignorata. Allora il sistema complessivo si comporterà come una macchina di Kelvin che 
assorbe calore da una sorgente a temperatura $T_1$ e lo trasforma interamente in lavoro. 
Quindi se non può esistere una 
macchina di Kelvin, non potrà neanche esistere la macchina di Clausius.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{secondo-principio-2.pdf}%
\end{figure}

Si è dimostrato come i due enunciati di Kelvin e Clausius sono due forme 
equivalenti del secondo principio della termodinamica. 

\subsection{Ciclo di Carnot}

Un ciclo di Carnot è formato da due trasformazioni isoterme e due 
trasformazioni adiabatiche.

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{carnot-1.pdf}%
\end{figure}

Si vuole calcolare l'efficienza della data macchina termica. Il 
lavoro della trasformazione $AB$ e della trasformazione $CD$, entrambe isoterme a temperatura $T_1$ e $T_2>T_1$, sarà dato da: 
\begin{gather*}
    W_{AB}=\int_{V_A}^{V_B}p\:\df V=nRT_2\ln\displaystyle\frac{V_B}{V_A}>0\\
    W_{CD}=\int_{V_C}^{V_D}p\:\df V=nRT_1\ln\displaystyle\frac{V_D}{V_C}<0
\end{gather*}
Il lavoro dato dalle due trasformazioni adiabatiche $BC$ e $DA$ corrisponde a:
\begin{gather*}
    W_{BC}=-\Delta U_{BC}=-c_Vn\Delta T_{BC}=c_Vn(T_2-T_1)>0\\
    W_{DA}=-\Delta U_{DA}=-c_Vn\Delta T_{DA}=c_Vn(T_1-T_2)<0\\
    W_{BC}=-W_{DA}
\end{gather*}
Verrà trasferito calore solamente durante le trasformazioni isoterme, per cui 
$Q_{AB}$ è il calore assorbito dal sistema, mentre $Q_{CD}$ è il calore 
ceduto dal sistema. Il lavoro totale $W$ corrisponde al calore totale $Q$:
\begin{gather*}
    Q=W\\
    Q_{AB}+Q_{CD}=W_{AB}-W_{DA}+W_{CD}+W_{DA}=W_{AB}+W_{CD}\\
    Q_{AB}=W_{AB}>0\\
    Q_{CD}=W_{CD}<0
\end{gather*}
\\
L'efficienza della macchina termica sarà data da:
\begin{equation*}
    \eta_C=1-\displaystyle\frac{|Q_{CD}|}{Q_{AB}}=1-\frac{|W_{CD}|}{W_{AB}}=1-\frac{T_1\ln\displaystyle\frac{V_C}{V_D}}{T_2\ln\displaystyle\frac{V_B}{V_A}}
\end{equation*}
Poiché $BC$ e $DA$ sono isoterme:
\begin{gather*}
    T_2=V_B^{\gamma-1}=T_1V_A^{\gamma-1}\\
    T_1=V_D^{\gamma-1}=T_2V_C^{\gamma-1}\\
    \displaystyle\frac{T_1}{T_2}=\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\cancelto{1}{\gamma-1}}=\left(\frac{V_C}{V_D}\right)^{\cancelto{1}{\gamma-1}}
\end{gather*}
L'efficienza del ciclo di Carnot di un gas ideale dipenderà solamente dalle temperature iniziali e finali del gas:
\begin{equation}
    \eta_C=1-\displaystyle\frac{T_1}{T_2}
\end{equation}
La macchina termica avrà quindi efficienza massima per $T_2\to\infty$, 
in generale sarà molto efficiente per $T_2$ molto maggiore di $T_1$.
\\
Se il ciclo viene attraversato in senso antiorario allora, sarà un ciclo 
frigorifero, la sua efficienza potrà quindi essere calcolata 
analogamente all'efficienza $\eta_C$:
\begin{equation}
    \varepsilon_C=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{T_2}{T_1}-1}
\end{equation}
Un ciclo frigorifero sarà più efficiente per temperature simili tra di loro, 
ed avrà efficienza massima per temperature uguali, rendendo il frigorifero 
inutile. 

\subsubsection{Teorema di Carnot}
Il teorema di Carnot rappresenta una prima espressione matematica del secondo principio della termodinamica: 
\begin{quotation}
    Tutte le macchine termiche, che operano su solo due sorgenti, hanno un'efficienza minore dell'efficienza di una macchina di Carnot che opera sulle stesse sorgenti, 
    se irreversibile; mentre hanno un'efficienza uguale alla macchina di Carnot se sono reversibile. 
    \begin{equation}
        \eta\leq\eta_C
    \end{equation}
\end{quotation}
Se un ciclo è reversibile, la sua efficienza sarà uguale all'efficienza di una corrispondente macchina di Carnot, 
se il ciclo è irreversibile, la sua efficienza sarà inferiore. 


Il teorema di Carnot rappresenta un'altra forma equivalente del secondo principio della termodinamica. Si dimostra per assurdo, assumendo esista una macchina termica $X$ 
reversibile o irreversibile, avente un'efficienza $\eta_X>\eta_C$, che produce 
un lavoro $W_X$ trasferendo una quantità di calore $Q_2$ da una sorgente a temperatura $T_2>T_1$ ad una sorgente a temperatura $T_1$. 
Il lavoro prodotto da questa macchina sarà dato da: 
\begin{equation*}
    \eta_X=\displaystyle\frac{W_X}{Q_2}\Rightarrow W_X=\eta_XQ_2
\end{equation*}
Considerando una macchina reversibile $R$, questa avrà un'efficienza $\eta_R$ e produrrà un lavoro $W_R$ trasferendo la stessa quantità di calore $Q_2$: 
\begin{equation*}
    \eta_R=\displaystyle\frac{W_R}{Q_2}\Rightarrow W_R=\eta_RQ_2
\end{equation*}

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{carnot-2.pdf}%
\end{figure}

Poiché è reversibile, si può considerare una macchina inversa $\tilde{R}$, che produce un lavoro $W_{\tilde{R}}=-W_R$, scambiando una quantità di calore 
$\tilde{Q}_2=-Q_2$ con la sorgente $T_2$. Se si uniscono questa macchina $\tilde R$ e $X$, si può bilanciare il calore assorbito e ceduto alla sorgente $T_2$, producendo 
un lavoro totale $W_{X+\tilde{R}}=W_X+W_{\tilde{R}}=W_X-W_R=(\eta_X-\eta_R)Q_2>0$, poiché l'efficienza della macchina $X$ è superiore all'efficienza della macchina di Carnot. 
Questa macchina $\tilde{R}+X$ rappresenta una macchina di Kelvin, poiché produce un lavoro $W_{X+\tilde{R}}$, assorbendo un calore $Q=Q_1-|Q_1'|>0$ da una sorgente $T_1$. 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{carnot-2.pdf}%
\end{figure}

Poiché non può esistere una macchina di Kelvin, non potrà neanche esistere la macchina $X$. Quindi per ogni macchina $R$, la sua efficienza sarà: 
\begin{equation*}
    \eta_R\leq1-\displaystyle\frac{T_1}{T_2}
\end{equation*}
Si può dimostrare analogamente che l'efficienza di una macchina frigorifera qualsiasi $R$ è: 
\begin{equation*}
    \varepsilon_R\leq\varepsilon_C=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{T_2}{T_1}-1}
\end{equation*}

A parità di calore assorbito $Q_A$, la macchina reversibile è quella che fornisce il lavoro massimo $W_{\max}$, ovvero a parità di lavoro fornito $W_B$ la macchina reversibile è quella che assorbe 
il calore minimo $Q_{\min}$. 
\begin{gather*}
    W_{\max}=Q_A\eta_{\max}=Q_A\eta_C\\
    Q_{\min}=\displaystyle\frac{W_B}{\eta_{\max}}=\frac{W_B}{\eta_C}
\end{gather*}
\\
Per un ciclo reversibile $R$ tra due temperature $T_1$ e $T_2$, si avrà:
\begin{gather*}
    \eta_R=1-\displaystyle\frac{T_1}{T_2}=1-\displaystyle\frac{|Q_1|}{Q_2}\\
    \displaystyle\frac{|Q_1|}{Q_2}=\frac{T_1}{T_2}\\
    T_2=T_1\displaystyle\frac{|Q_1|}{Q_2}
\end{gather*}
La temperatura $T_2$ viene misurata su una scala assoluta, poiché dipende solamente dalla variazione di calore. Sarà quindi impossibile raggiungere 
una temperatura assoluta nulla, poiché sarebbe 
necessario che: 
\begin{equation*}
    \displaystyle\frac{|Q_1|}{Q_2}\to 0
\end{equation*}
La temperatura assoluta potrà solamente arrivare asintoticamente al valore di $0K$. 
Per il terzo principio della termodinamica una temperatura assoluta di $0K$, viene definita un punto ideale irraggiungibile. 

\subsection{Teorema di Clausius ed Entropia}

Le considerazioni di Carnot sui cicli termodinamici possono essere estese e generalizzate anche su macchine operanti tra più di due sorgenti. Sezionando un qualsiasi ciclo 
termodinamico in una serie di cicli di Carnot contigui, che operano su una data coppia di temperature, è possibile approssimare il ciclo originario. Poiché le trasformazioni 
adiabatiche interne al ciclo vengono attraversate in versi opposti, i loro contributi si compensano a vicenda. 
Se questi cicli sono reversibili si avrà per ognuno dei cicli:
\begin{gather*}
    \displaystyle\frac{Q_i}{|Q_j|}=\frac{T_i}{T_j}\\
    \displaystyle\frac{Q_i}{T_i}-\frac{|Q_j|}{T_j}=0
\end{gather*}
Se uno dei cicli di Carnot è irreversibile, avrà un'efficienza $\eta_C$ minore dell'efficienza del ciclo reversibile $\eta$, si avrà per questo ciclo: 
\begin{gather*}
    \eta_C<\eta\\
    1-\displaystyle\frac{|Q_i|}{Q_j}<1-\frac{T_i}{T_j}\\
    \displaystyle\frac{|Q_i|}{Q_j}>\frac{T_i}{T_j}\\
    \displaystyle\frac{Q_j}{T_j}-\frac{|Q_i|}{T_i}<0
\end{gather*}
Sulla base di queste osservazioni Clausius descrisse il seguente teorema: 
\begin{quotation}
    Per ogni sorgente di un ciclo termodinamico può essere definita una quantità ${Q_i}/{T_i}$, dove $Q_i$ è il calore scambiato dalla sorgente, mentre $T_i$ è 
    la temperatura in Kelvin della stessa. La somma tra ogni sorgente di questa quantità sarà minore di zero, se si tratta di un 
    ciclo irreversibile mentre sarà nulla se si tratta di un ciclo reversibile. 
\end{quotation}
Per un numero di suddivisioni tendenti all'infinito, si potrà considerare un integrale sulla curva 
definita dal ciclo termodinamico nel piano di Clayperyon:
\begin{equation*}
    \lim_{N\to\infty}\displaystyle\frac{\sum_{i=0}^NQ_i}{T_i}=\oint_{\Gamma}\frac{\delta Q}{T}\leq0
\end{equation*}
Se la trasformazione $\Gamma$ è reversibile, allora si avrà:
\begin{equation*}
    \displaystyle\oint_{\Gamma}\frac{\delta Q}{T}=0
\end{equation*}    
Allora l'integrale sarà conservativo, e 
il differenziale $\delta Q$ sarà uguale al differenziale esatto di una funzione di stato $S$ chiamata entropia:
\begin{equation}
    \Gamma:\mbox{rev. }\iff\displaystyle\frac{\delta Q}{T} =\df S
\end{equation} 
L'entropia sarà quindi una funzione di stato, dipendente dal calore e dalla temperatura. Quindi viene sempre definita come variazione e, come l'energia potenziale, il suo 
valore in un dato stato sarà definito a meno di una costante. 
L'entropia è una quantità additiva, aumenta in proporzione all'aumento della massa di un sistema. Ha le caratteristiche di una grandezza estensiva. Rappresenta 
la distribuzione dell'energia in un dato universo analizzato, minore è l'entropia, minore la porzione dell'universo considerato che contiene l'energia. 




Considerando una trasformazione reversibile $\tau_\mathrm{rev}$ tra due stati $A$ e $B$, si potrà applicare 
l'integrale di Clausius tra i due stati del sistema:
\begin{equation}
    \int_{\tau_{AB}}\displaystyle\frac{\delta Q}{T}=\int_{S_A}^{S_B}\df S=\Delta S_{AB}
\end{equation}
Trattandosi di una quantità conservativa, la variazione di entropia tra due stati di un sistema sarà uguale per ogni trasformazioni reversibile tra quei due stati. 
Per 
calcolare la variazione di entropia tra due stati di un sistema legati da una trasformazione irreversibile si sceglie una qualsiasi trasformazione reversibile per 
quei due stati.
Per questo alcune trasformazioni vengono rappresentate in un piano $(T,S)$. 
Dato un ciclo termodinamico tra due stati $A$ e $B$, composto da una trasformazione reversibile ed una irreversibile: 

\begin{figure}[H]%
    \centering
    \includegraphics{trasformazione.pdf}%
\end{figure}


Poiché comprende una trasformazione irreversibile la sua efficienza sarà minore dell'efficienza di una macchina di Carnot, per cui l'integrale di Clausius su tutta la trasformazione 
sarà minore di $0$:

\begin{gather*}
    \eta<\eta_C\\
    \oint_{\Gamma}\displaystyle\frac{\delta Q}{T}<0\\
    \int_{\Gamma_{\mathrm{rev}}}\displaystyle\frac{\delta Q}{T}+\int_{\Gamma_{\mathrm{irr}}}\frac{\delta Q}{T}<0\\
    \Delta S_{BA}+\displaystyle\int_{\Gamma_{\mathrm{irr}}}\frac{\delta Q}{T}<0\\
    \displaystyle\int_{\Gamma_{\mathrm{irr}}}\frac{\delta Q}{T}<-\Delta S_{BA}=\Delta S_{AB}
\end{gather*}
Per cui in una qualsiasi trasformazione $\Gamma$ tra due stati $A$ e $B$:
\begin{equation*}
    \displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\frac{\delta Q}{T}\leq\Delta S_{AB}
\end{equation*}
Se si considera una trasformazione adiabatica qualsiasi, allora l'entropia del sistema dovrà o aumentare o rimanere costante:
\begin{gather*}
    \displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\frac{\cancelto{0}{\delta Q}}{T}=0\leq\Delta S_{AB}\\
    S_B\geq S_A
\end{gather*}
L'entropia di un sistema termicamente isolato non può diminuire, aumenta se la trasformazione è irreversibile, mentre resta costante se è reversibile. Viene così definito 
il principio dell'aumento dell'entropia per un sistema isolato: 
\begin{equation*}
    \df S\geq0
\end{equation*}
Questa rappresenta la formulazione matematica del secondo principio della termodinamica. 



Se l'entropia del sistema diminuisce, allora dovrà essere compensata dall'aumento dell'entropia dell'ambiente e viceversa:
\begin{gather*}
    \Delta S^U=\Delta  S^A+\Delta S^S\geq0
\end{gather*}
Ogni processo naturale si svolge necessariamente nel verso che determina un aumento dell'entropia complessiva del sistema e del suo ambiente. 



Se si espande il sistema analizzato, fino all'intero universo, questo sarà un sistema termicamente isolato. Poiché alcune trasformazioni saranno necessariamente irreversibili, 
l'entropia dell'universo tenderà ad aumentare spontaneamente nel tempo:
\begin{equation}
    \Delta S>0
\end{equation}
Lo stato di un sistema tenderà quindi al disordine, ovvero ad uno stato di maggiore entropia, solo se il sistema è isolato rispetto all'ambiente esterno. 






In una trasformazione isoterma si avrà:
\begin{gather*}
    \Gamma_{\mathrm{rev}}:\Delta S_{AB}=\displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\frac{\delta Q}{T}=\frac{1}{T}\int_{Q_A}^{Q_B}\delta Q=\frac{\Delta Q_{AB}}{T}\Rightarrow T\Delta S_{AB}=\Delta Q_{AB}\\
    \Gamma_{\mathrm{irr}}:\Delta S_{AB}>\frac{\Delta Q_{AB}}{T}
\end{gather*}
Per cui il calore generato da una reazione isoterma reversibile è maggiore del calore generato da una reazione irreversibile. 


In una trasformazione adiabatica o isoentropica, l'entropia rimarrà costante:
\begin{equation*}
    \Delta S_{AB}=\displaystyle\int_{\Gamma_{AB}}\frac{\cancelto{0}{\delta Q}}{T}=0
\end{equation*}
Date due sorgenti a contatto, aventi temperature $T_1$ e $T_2>T_1$ che si scambiano una quantità di calore $Q$, la variazione di entropia del 
sistema si ottiene tramite la seguente espressione: 
\begin{gather*}
    \Delta S_1=\displaystyle\int_{A}^B\frac{\df Q}{T_1}=\frac{Q}{T_1}\\
    \Delta S_2=\displaystyle\int_{A}^B\frac{\df Q}{T_2}=-\frac{Q}{T_2}\\
    |\Delta S_2|<\Delta S_1\Rightarrow\Delta S=Q\left(\displaystyle\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)>0
\end{gather*}

Per un gas ideale dato il differenziale dell'entropia $\df S$, si può esprimere rispetto al lavoro ed all'energia interna del sistema:
\begin{gather*}
    \df S=\displaystyle\frac{\delta Q}{T}=\frac{\df U+\delta W}{T}\\
    \delta  W=p\:\df V=\displaystyle\frac{nRT}{V}\df V,\:\df U=c_Vn\:\df T\\
    \df S=\displaystyle\frac{c_Vn\:\df T}{T}+\frac{nR\:\df V}{V}\\
    \Delta S_{AB}=\int_{T_A}^{T_B}\displaystyle\frac{c_Vn\:\df T}{T}+\int_{V_A}^{V_B}\frac{nR\:\df V}{V}
\end{gather*} 
\begin{equation}
    \Delta S_{AB}=nc_V\ln\left(\displaystyle\frac{T_B}{T_A}\right)+nR\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)
\end{equation}
Questa relazione per la variazione di entropia varrà per ogni trasformazione di un gas ideale poiché l'entropia è una funzione di stato. Potrà essere espressa 
alternativamente, tramite l'equazione di stato dei gas ideali:
\begin{gather}
    \Delta S_{AB}=nc_p\ln\left(\displaystyle\frac{T_B}{T_A}\right)-nR\ln\left(\displaystyle\frac{p_B}{p_A}\right)\\
    \Delta S_{AB}=nc_p\ln\left(\displaystyle\frac{V_B}{V_A}\right)+nc_V\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)
\end{gather}

\end{document}